數(shù)列極限說課稿

1、數(shù)列極限說課稿（修改稿）北大附中李寧各位評委、老師們：你們好！我是北大附中的數(shù)學(xué)教師李寧。北大附中是北京市重點中學(xué)。有機會能參加這次教學(xué)研討活動，向全國各省的數(shù)學(xué)老師們學(xué)習(xí)，我深感榮幸。這次我說課的內(nèi)容是高中代數(shù)課本（下冊）第六章第二部分6.4 節(jié)數(shù)列極限的起始課。這部分內(nèi)容在課本第60 頁至 65 頁。下面由我根據(jù)自己編寫的教案，把我對本節(jié)課的教學(xué)目的、過程、方法、工具等方面的簡單認(rèn)識作一個說明。希望專家們、老師們對我說課的內(nèi)容多提寶貴意見。一、關(guān)于教學(xué)目的的確定：眾所周知，對數(shù)列極限這個概念的理解可為今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，但由于學(xué)生對數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語言表述的理解比較困難，

2、這種理解上的困難將影響學(xué)生對后繼知識的學(xué)習(xí)，因此，我從知識、能力、情感等方面確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)。1在知識上， 使學(xué)生理解極限的概念，能初步利用極限定義確定某些簡單的數(shù)列極限；2在能力上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、 分析、概括的能力和在探索問題中的，由靜態(tài)到動態(tài)、由有限到無限的辨證觀點。體驗“ 從具體到抽象，從特殊到一般再到特殊” 的認(rèn)識過程；3在情感上， 通過介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的成就，激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國主義思想情感，并使他們對數(shù)列極限知識有一個形象化的了解 。二、關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計：為了達(dá)到以上教學(xué)目的，根據(jù)北大附中教學(xué)傳統(tǒng)把這次課連排兩節(jié)。在具體教學(xué)中，根據(jù)“循序漸進(jìn)原則”，我把這次課分

3、為三個階段： “概念探索階段”；“概念建立階段”；“概念鞏固階段”。下面我將對每一階段教學(xué)中計劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明。（一）“概念探索階段”1. 這一階段要解決的主要問題在這一階段的教學(xué)中，由于注意到學(xué)生在開始接觸數(shù)列極限這個概念時，總是以靜止的觀點來理解這個描述變化過程的動態(tài)概念，總覺得與以前知識相比，接受起來有困難，似乎這個概念是突然產(chǎn)生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段計劃主要解決這樣幾個問題：使學(xué)生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢的觀點研究無窮數(shù)列，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程；使學(xué)生形成對數(shù)列極限的初步認(rèn)識；使學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)列極限概念的必要性。2本階段教學(xué)安排我采取溫故知新、推陳

4、出新的教學(xué)過程，分三個步驟進(jìn)行教學(xué)。 溫故知新由于研究數(shù)列極限首先應(yīng)對數(shù)列知識有一個清晰的了解，因此在具體教學(xué)中通過對教案中 5 個具體數(shù)列通項公式的思考讓學(xué)生對數(shù)列通項公式這個概念產(chǎn)生回憶，指出以前研究數(shù)列都是研究的有限項的問題，現(xiàn)在開始研究無限項的問題。 然后引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，通項公式就是以 n 為自變量的、定義域為自然數(shù)集的函數(shù)an 的解析式。再引導(dǎo)學(xué)生回憶研究函數(shù)，實際上研究的就是自變量變化過程n 1中，函數(shù)值變化的情況和變化的趨勢，并以第1為例說2 的數(shù)列 an2明：當(dāng) n=2 、3、4、5 時，對應(yīng)的 a n1、 1、 1、 1 就說明自變量由 224816增

5、加到 5 時，對應(yīng)的函數(shù)值就由 1 減小到 1這種變化情況。若問自然數(shù)216n 一直增加下去，函數(shù)a n 應(yīng)怎樣變化下去，這就是研究變化的趨勢。這樣利用通項公式就可把數(shù)列變化趨勢問題與函數(shù)值變化趨勢問題有機地結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值變化趨勢的角度來看待例題中五個數(shù)列的變換趨勢。通過這種討論，在對變化趨勢這個概念的理解上發(fā)揮心理學(xué)上所提“ 無意注意” 的作用，使學(xué)生對進(jìn)一步討論的數(shù)列變換趨勢問題不至于太陌生。 推陳出新在對 5 個數(shù)列變化趨勢的分析過程中，通過引導(dǎo)，由學(xué)生討論得到數(shù)列（ 2）、（3）、（5）的共同特征，近而向?qū)W生說明： “具有類似于數(shù)列（ 2）、（3）、（ 5）共性的數(shù)列稱為有

6、極限的數(shù)列，共性中的“ 趨近于一個確定的常數(shù)” 稱它為有極限數(shù)列的極限” 。并進(jìn)一步和學(xué)生討論如何給數(shù)列的極限下定義，此時我根據(jù)學(xué)生情況給予提示，給出數(shù)列極限概念的描述性說明：當(dāng)項數(shù)無限增加時，數(shù)列的項無限趨近于某一個確定的常數(shù)的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，這個確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。 劉徽及其割圓術(shù)的介紹學(xué)生對數(shù)列極限概念有了一定的認(rèn)識，為了使學(xué)生認(rèn)識到這個概念并不是突然產(chǎn)生的，是和他們已有的知識結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的，為此在第一階段我設(shè)計了這一部分教學(xué)。我一方面介紹了我國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn)， 如“在世界數(shù)學(xué)史上，劉徽是最早運用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學(xué)問題的大數(shù)學(xué)家。用這種指導(dǎo)思想計算圓

7、面積的方法，就稱為劉徽割圓術(shù).用類似劉徽割圓術(shù)的方法求出圓周率的近似值，雖然在公元前 3 世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德也算出過，但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的多?！痹诹硪环矫嬷攸c結(jié)合計算機模擬劉徽割圓術(shù)，介紹這種算法的指導(dǎo)思想：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。通過課件動態(tài)演示，進(jìn)一步在“無意注意” 作用的發(fā)揮上下文章，加深學(xué)生對“變化趨勢”、“趨近于”、“極限” 等概念的認(rèn)識，為下一階段極限概念的教學(xué)提供對這個概念感性認(rèn)識的基礎(chǔ)。（二）“概念建立階段”1這一階段要解決的任務(wù)由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語言表述具有高度的概括性、抽象性，學(xué)生初次接觸很

8、困難。具體講，在-N 語言中，學(xué)生搞不清的兩重性絕對的任意性、相對的確定性；學(xué)生搞不清“ N”，不太理解 N 的實質(zhì)是表示項數(shù) n 無限增大過程中的某一時刻，從這一時刻起，所有 an(n>N) ，都聚集在以極限值 A 為中心， 為半徑的鄰域中， N 是否存在是證明數(shù)列極限存在的關(guān)鍵。因此在這一階段的教學(xué)中，我采取“ 啟發(fā)式談話法” 與“ 啟發(fā)式講解法”， 注意不“一次到位”，這樣在本階段我設(shè)計解決的幾個主要問題是：建立、理解數(shù)列極限的定義；認(rèn)識定義中反映出的靜與動的辨證關(guān)系；初步學(xué)習(xí)論證數(shù)列極限的方法。2本階段教學(xué)安排本階段教學(xué)安排分三個步驟進(jìn)行。問題的提出在教學(xué)安排上，我根據(jù)學(xué)生形成對

9、數(shù)列極限的初步認(rèn)識，以數(shù)列“ 1 ,2 ,3 ,4 ,n ,”2345n 1為例，提出一個學(xué)生形成極限概念時不好回答的問題：根據(jù)數(shù)列極限定義直觀描述，這個數(shù)列的極限是1，即當(dāng)項數(shù) n 無限增大時，這個數(shù)列的項無限地趨近于1，問題是為什么不說這個數(shù)列的項無限地趨近于1.1 ，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題在于自己已獲得的數(shù)列極限概念中“ 無限趨近于” 這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對極限定義做進(jìn)一步精確描述。問題的解決具體講，由于數(shù)軸上兩點的距離及其解析表示對學(xué)生來說是很熟悉的，故我在教學(xué)中利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生先得出結(jié)論： “趨近于”是距離概念，距離的解析表示是絕對值， “無限趨近于”就可用距離要多小有

10、多小來表示。即數(shù)列項與確定常數(shù)差的絕對值要多小有多小。然后讓學(xué)生通過具體計算如： “思考已知數(shù)列中是否有到 1.1 的距離為 0.01 的項？”使學(xué)生知道已知數(shù)列的項不能與 1.1 的距離要多小有多小，即 1.1 不是已知數(shù)列的極限，從而使學(xué)生對“ 要多小有多小” 這一概念有了進(jìn)一步認(rèn)識， 并為量化 |an -1|當(dāng)項數(shù)無限增加時要多小有多小打下基礎(chǔ)。數(shù)列極限定義的得出在“ 檢驗 1是否滿足：已知數(shù)列的項與1 的差的絕對值是否要多小有多小” 的教學(xué)過程中，我采取“給距離找項數(shù)” 的方法。具體講讓學(xué)生考慮已知數(shù)列中有哪些項與1 的差的絕對值小于0.1、0.05 、 0.0011 、0.0001

11、，讓學(xué)生把用計算器計算的結(jié)果在黑板上列表寫出并解釋所得的結(jié)果，如提示學(xué)生得出結(jié)論： “已知數(shù)列中第 908 項以后各項與 1 的差的絕對值小于 0.0011 。”這種討論的目的是使學(xué)生感受到“ N”是項數(shù) n 無限增大的過程中的一個標(biāo)志，進(jìn)而說明對于給定的每一個正數(shù)，可找到 N，當(dāng) n>N 時， |an -1|小于這個正數(shù)。進(jìn)而讓學(xué)生注意無論表示距離的正數(shù)取的多么小，也不能說成“ 要多小有多小”，而把具體值改為后即可解決這個問題。這樣通過討論，在我的引導(dǎo)下，使學(xué)生得到結(jié)論：“數(shù)列：1 ,2 ,3 ,4 ,n ,2345n1當(dāng)項數(shù)無限增大時，它的項越來越趨近于1”，也就是數(shù)列：1 ,2 ,

12、3 ,4 ,n ,2345n1的極限為 1，并進(jìn)一步讓學(xué)生總結(jié)出一般數(shù)列的極限的準(zhǔn)確定義。（三）“概念鞏固階段”1本階段的教學(xué)計劃在這一階段的教學(xué)中我計劃做兩件事情：說明 N、|an-A |<在討論數(shù)列極限時所起的作用;是習(xí)題訓(xùn)練。2本階段的教學(xué)過程根據(jù)上述說明，這一階段分為兩個步驟。 定義說明除了對極限概念予以說明外為了加深學(xué)生對數(shù)列極限概念中N、 、|an-A |< 的認(rèn)識，我讓學(xué)生討論問題“ 任意有極限的無窮數(shù)列能否使極限值為數(shù)列中的項” 及“常數(shù)列是否有極限” ，當(dāng)學(xué)生有困難時，可通過舉數(shù)列“1, 0,111n”4, 0,16,2 n 1 sin2,并提示其根據(jù)定義考慮問題

13、。這樣使學(xué)生進(jìn)一步體會由特殊到一般再到特殊的認(rèn)識規(guī)律。 習(xí)題訓(xùn)練在學(xué)生對數(shù)列極限定義的初步掌握的基礎(chǔ)上，為鞏固學(xué)生所學(xué)，我讓學(xué)生作課本例1，練習(xí)這道題目的在于總結(jié)上一階段得到數(shù)列極限的過程，同時讓學(xué)生熟悉數(shù)列極限定義的應(yīng)用步驟；在此基礎(chǔ)上結(jié)合北大附中學(xué)生的特點我安排了例 2，讓學(xué)生作這道題目的在于通過對這道題的證明與討論可讓學(xué)生對等比數(shù)列 1，q，q2， qn， 收斂、發(fā)散性有一個清楚的了解。在例2 的處理手法上我讓學(xué)生先各抒己見，然后采用幾何畫板演示，驗證同學(xué)猜想，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。由于1，q，q2 ， qn， 和1, 1 , 1 ,1 , 是今后學(xué)習(xí)過程中的常用數(shù)列，因此我覺得2 3

14、n學(xué)生對例 1、例 2 的掌握的好壞將對后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接影響。補充說明對于較好的班級，還可考慮用直角坐標(biāo)系來代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集為定義域的特殊函數(shù)，其圖象是離散的點 .這使得數(shù)列的項與點 (n,f(n) ，即點 (n,an )對應(yīng)起來 .當(dāng)數(shù)列 an有極限 A 時，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的幾何意義為：任給正數(shù) ，存在一個以直線 y=A+ 和 y=A- 為邊界的條形區(qū)域，存在一個 N，當(dāng) n>N 時，所有的點（ n, a n）都落在這個條形區(qū)域內(nèi)。換句話說數(shù)列的項在坐標(biāo)平面內(nèi)對應(yīng)的點，只有有限個點落在條形區(qū)域外。利用這種方式教授這節(jié)課，形象直觀，并為今后函數(shù)極限的教學(xué)打下基礎(chǔ)。三、關(guān)于教學(xué)用具的說明：這節(jié)課的教學(xué)目的之一是使學(xué)生通過對極限概念形成過程的了解，較為自然地接受極限的定義，以利于加深對概念的理解和掌握。因此在本節(jié)課中主要使用的是計算器和計算機課件演示。計算器的作用在于使學(xué)生理解 “ ”和“ N”內(nèi)在關(guān)系；計算機課件演示目的有三：其一是通過史料的簡單介紹對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育；其二是在概念形成階段，為學(xué)生提供感性認(rèn)識的基礎(chǔ)；其三可對學(xué)生所得的結(jié)論驗證、 完善，加深對問題的理解， 鞏固所學(xué)的