勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)

1、 第四節(jié)第四節(jié) 勞斯勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù) 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問(wèn)題，也是對(duì)系統(tǒng)最起碼的要求。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載或能源的波動(dòng)、環(huán)境條件的改變、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它受到擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中各物理量就會(huì)偏離其平衡工作點(diǎn)，并隨時(shí)間推移而發(fā)散，即使擾動(dòng)消失了，也不可能恢復(fù)原來(lái)的平衡狀態(tài)。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是控制理論的基本任務(wù)之一。 常用的穩(wěn)定性分析方法有： 1. 勞斯赫爾維茨（RouthHurwitz）判據(jù) 這是一種代數(shù)判據(jù)方法。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來(lái)判斷特征根在S平面的位置，從而決定

2、系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 2. 根軌跡法 這是一種圖解求特征根的方法。它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)以某一（或某些）參數(shù)為變量作出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在S平面的軌跡，從而全面了解閉環(huán)系統(tǒng)特征根隨該參數(shù)的變化情況。 3. 奈魁斯特（Nyquist）判據(jù) 這是一種在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上建立起來(lái)的方法。它根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣避免了求解閉環(huán)系統(tǒng)特征根的困難。這一方法在工程上是得到了比較廣泛的應(yīng)用。 4. 李雅普諾夫方法 上述幾種方法主要適用于線性系統(tǒng)，而李雅普諾夫方法不僅適用于線性系統(tǒng)，更適用于非線性系統(tǒng)。該方法是根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的特征來(lái)決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、穩(wěn)定性的概念 穩(wěn)定性的概念可以通過(guò)

3、圖3-31所示的方法加以說(shuō)明?？紤]置于水平面上的圓錐體，其底部朝下時(shí)，若將它稍微傾斜，外作用力撤消后，經(jīng)過(guò)若干次擺動(dòng)，它仍會(huì)返回到原來(lái)狀態(tài)。而當(dāng)圓錐體尖部朝下放置時(shí)，由于只有一點(diǎn)能使圓錐體保持平衡，所以在受到任何極微小的擾動(dòng)后，它就會(huì)傾倒，如果沒有外力作用，就再也不能回到原來(lái)的狀態(tài)了。 (a) 穩(wěn)定的 (b) 不穩(wěn)定的 圖3-31 圓錐體的穩(wěn)定性 根據(jù)上述討論，可以將系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為，系統(tǒng)在受到外作用力后，偏離了正常工作點(diǎn)，而當(dāng)外作用力消失后，系統(tǒng)能夠返回到原來(lái)的工作點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 瞬態(tài)響應(yīng)項(xiàng)不外乎表現(xiàn)為衰減、臨界和發(fā)散這三種情況之一，它是決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。由于輸入量只影響到穩(wěn)態(tài)

4、響應(yīng)項(xiàng)，并且兩者具有相同的特性，即如果輸入量r(t)是有界的： | r(t)|， t 0 則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)項(xiàng)也必定是有界的。這說(shuō)明對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論可以歸結(jié)為，系統(tǒng)在任何一個(gè)有界輸入的作用下，其輸出是否有界的問(wèn)題。 一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)定義為，在有界輸入的作用下，其輸出響應(yīng)也是有界的。這叫做有界輸入有界輸出穩(wěn)定，又簡(jiǎn)稱為BIBO穩(wěn)定。 線性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)在S平面內(nèi)的位置予以確定。假如單輸入單輸出線性系統(tǒng)由下述的微分方程式來(lái)描述，即 (3.58) 則系統(tǒng)的穩(wěn)定性由上式左端決定，或者說(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定性可按齊次微分方程式 (3.59) 來(lái)分析。這時(shí)，在任何初始條件下，若滿足 (3.60)( )(1

5、)(1)110()(1)(1)110nnnnmmmma caca ca cb rbrbrb r( )(1)(1)110nnnna cacaca c0(1)(1)lim ( )lim( )lim( )ntttc tctct0 則稱系統(tǒng)(3.58)是穩(wěn)定的。 為了決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可求出式(3.59)的解。由數(shù)學(xué)分析知道，式(3.59)的特征方程式為 (3.61) 設(shè)上式有k個(gè)實(shí)根pi （i=1，2，k），r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根(s ijw i ) (i=1，2，r)，k+2r=n，則齊次方程式(3.59)解的一般式為 (3.62) 式中系數(shù)Ai，Bi和Ci由初始條件決定。 從式(3.62)可知： (1)

6、 若pi 0，s i 0，則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是上述系統(tǒng)特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)。 證明如下： 設(shè)式(3.63)有n個(gè)根，其中k個(gè)實(shí)根 p j (j=1，2，k)，r對(duì)復(fù)根s ijw i (i=1，2，r)，n = k+2r。則特征方程式可寫為1110( )nnnnD sa sasa sa0111022221211( )()()()()()nnnnnkrrD sa sasa saa spspspssswsw0 假如所有的根均在左半平面，即 p j 0，s i0 ，s i 0 。所以將各因子項(xiàng)相乘展開后，式（3.63）的所有系數(shù)都是正數(shù)。 根據(jù)這一原則，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可首先檢查系統(tǒng)特征

7、方程的系數(shù)是否都為正數(shù)，假如有任何系數(shù)為負(fù)數(shù)或等于零（缺項(xiàng)），則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。但是，假若特征方程的所有系數(shù)均為正數(shù)，并不能肯定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還要做進(jìn)一步的判別。因?yàn)樯鲜鏊f(shuō)的原則只是系統(tǒng)穩(wěn)定性的必要條件，而不是充分必要條件。 (二二) 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 這是1877年由勞斯(Routh)提出的代數(shù)判據(jù)。 1. 若系統(tǒng)特征方程式 設(shè)an0，各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)。 2. 按特征方程的系數(shù)列寫勞斯陣列表：1110nnnna sasa sa02411352123312341231101nnnnnnnnnnnsaaasaaasbbbscccsdddsfsg表中直至其余bi項(xiàng)均為零。21131421513

8、11111nnnnnnnnnnnnnnnaabaaaaabaaaaabaaa 67131121152131173141111nnnnnnaacbbbaacbbbaacbbb 按此規(guī)律一直計(jì)算到n -1行為止。在上述計(jì)算過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化數(shù)值運(yùn)算，可將某一行中的各系數(shù)均乘一個(gè)正數(shù)，不會(huì)影響穩(wěn)定性結(jié)論。 3. 考察陣列表第一列系數(shù)的符號(hào)。假若勞斯陣列表中第一列系數(shù)均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù)。 例3.3 系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均

9、為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫勞斯陣列表如下432ssss6121160 1 12 6 6 11 0 61/6 6 455/61 0 6 第一列系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。事實(shí)上，從因式分解可將特征方程寫為其根為2，3， ，均具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0 13j220s1s2s3s4s例例3.4 已知系統(tǒng)特征方程式為 解 列寫勞斯陣列表 1 2 5 3 1 6 5 9 （各系數(shù)均已乘3） -11 15 （各系數(shù)均已乘5/2） 174 （各系數(shù)均已乘11） 15 勞斯陣列表第一列有負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列系數(shù)的符號(hào)改變了兩次(5

10、11174)，所以，系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)根的實(shí)部為正。54320sssss32565s4s3s2s1s0s 4. 兩種特殊情況 在勞斯陣列表的計(jì)算過(guò)程中，如果出現(xiàn)： (1) 勞斯陣列表中某一行的第一個(gè)系數(shù)為零，其余各系數(shù)不為零（或沒有其余項(xiàng)），這時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù)e來(lái)代替這個(gè)零，從而使勞斯陣列表可以繼續(xù)運(yùn)算下去（否則下一行將出現(xiàn)）。如果e的上下兩個(gè)系數(shù)均為正數(shù)，則說(shuō)明系統(tǒng)特征方程有一對(duì)虛根，系統(tǒng)處干臨界狀態(tài)；如果e的上下兩個(gè)系數(shù)的符號(hào)不同，則說(shuō)明這里有一個(gè)符號(hào)變化過(guò)程，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)由符號(hào)變化次數(shù)決定。 例3.5 設(shè)系統(tǒng)特征方程為s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0 解解

11、 勞斯陣列表為 由于e的上下兩個(gè)系數(shù)(2和2)符號(hào)相同，則說(shuō)明有一對(duì)虛根存在。上述特征方程可因式分解為 (2) 若勞斯陣列表中某一行（設(shè)為第k行）的所有系數(shù)均為零，則說(shuō)明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根。在這種情況下可做如下處理： a. 利用第k1行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，它的次數(shù)總是偶數(shù)的； 1 1 2 2 e 22(1)()0ss20s1s2s3s b. 求輔助多項(xiàng)式對(duì)s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)構(gòu)成新行，代替第k行；c. 繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列表；d. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根可通過(guò)令輔助多項(xiàng)式等于零求得。例3.6 系統(tǒng)特征方程為 解 勞斯陣列表為 1 16 10 160 輔助多項(xiàng)式 10 + 1

12、60 0 0 求導(dǎo)數(shù) 20 0 構(gòu)成新行 20s + 0 16032sss101616000s1s2s3s2s 從上表第一列可以看出，各系數(shù)均未變號(hào)，所以沒有特征根位于右半平面。由輔助多項(xiàng)式知道10s 2 + 160 = 0有一對(duì)共軛虛根為j4。 例3.7 特征方程式為 解 勞斯陣列表如下： 1 3 -4 2 6 -8 輔助多項(xiàng)式 2s 4 + 6s 2 - 8 0 0 0 求導(dǎo)數(shù) 8 12 0 構(gòu)成新行 8s 3 + 12s 3 -8 100/3 -84240sssss5323680s1s2s3s4s5s 勞斯陣列表第一列變號(hào)一次，故有一個(gè)根在右半平面。由輔助多項(xiàng)式： 可得s1, 2 = ，

13、s3, 4 = j2，它們均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中一個(gè)根在S平面的右半平面。 (三) 勞斯判據(jù)的應(yīng)用 應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定不穩(wěn)定，即系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且也可檢驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對(duì)穩(wěn)定性。另外勞斯判據(jù)還可用來(lái)分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2s 4 + 6s 2 - 8 = 01. 穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn) 如圖3-33所示，令 (3.64) 即把虛軸左移s1 。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式，得以z為變量的新特征方程式，然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個(gè)根位于新虛軸(垂直線s= s1 )的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)），則說(shuō)系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量

14、 s 1 。 s = z -s 1 圖3-33 穩(wěn)定裕量s1 例例3.8 檢驗(yàn)特征方程式是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線s = -的右邊。 解 勞斯陣列表為 2 13 10 4 12.2 4 第一列無(wú)符號(hào)改變，故沒有根在S平面右半平面。 再令s= z-1，代入特征方程式，得即 320sss21013432(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 23s2s1s0s 則新的勞斯陣列表 從表中可看出，第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在直線s= -（即新座標(biāo)虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1。 2. 分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響 設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-34所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

15、 系統(tǒng)的特征方程式為 z 3 2 -1 z 2 4 -1 z 1 -1/2 z 0 -1( )( )( )(1)()BC sKGsR ss ssK5320sssK65圖3-34 求K的范圍 列寫勞斯陣列表： s 3 1 5 s 2 6 K s 1 s 0 K K306 若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充要條件是勞斯陣列表的第一列均為正數(shù)，即K 0， 30 - K 0所以0 K 25系統(tǒng)才能穩(wěn)定。 3. 鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性 勞斯判據(jù)適用于系統(tǒng)特征方程式是s的高階代數(shù)方程的場(chǎng)合。而包含有延滯環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，其特征方程式帶有指數(shù)e-t s項(xiàng)。若應(yīng)用勞斯判據(jù)來(lái)判別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則需要采用近似的方法處理。 例如

16、圖3-35是一個(gè)延滯系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為T - 5 0 ， ， TT102505 ( )(1)sBsKeGss sKett特征方程式為 (3.65) 若采用解析法來(lái)分析系統(tǒng)，首先需將指數(shù)函數(shù)e-t s用有理函數(shù)去近似。常用的指數(shù)函數(shù)近似法有： (1) 用有限項(xiàng)簡(jiǎn)單有理函數(shù)的乘積近似 (3.66)(1)ss sKet 0圖3-35 延滯系統(tǒng) 1lim1nsnesntt 若取n為有限值，則 (3.67) 即用n個(gè)具有同一實(shí)數(shù)極點(diǎn)的有理函數(shù)的乘積來(lái)近似指數(shù)函數(shù)。式中n值的選取與s值有關(guān)，而s是指在分析問(wèn)題時(shí)所感興趣的S平面中某一區(qū)域的值。例如在穩(wěn)定性分析時(shí)，s的值就是對(duì)應(yīng)于那些在S平面虛軸附近的特

17、征根所在的區(qū)域。只有選取的n值使式(3.67)在該區(qū)域內(nèi)成立，則近似分析才是正確的。 現(xiàn)在若把式(3.67)代入式(3.65)，就可應(yīng)用勞斯判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性或決定參數(shù)的穩(wěn)定性范圍。但是，為了保證一定的準(zhǔn)確度，n值往往較大，分析起來(lái)還是相當(dāng)麻煩的。11nsesntt (2) 用有理分式近似 指數(shù)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為 (3.68) 由此可見，可用一個(gè)有理分式p(s)/q(s)來(lái)近似e-t s 。 表3.5所列出的派德(pade)近似式，其分子為m次，分母為n次，在一定的m值和n值下，與式(3.68)相同的項(xiàng)數(shù)為最多。關(guān)于階次m和n的選取，應(yīng)在滿足近似準(zhǔn)確度要求的前提下，盡可能少增加特征方程式的階次

18、。 因此，對(duì)式(3.65)所示的特征方程式，令 e-t s= p(s)/q(s) (3.69) 則 s(s+1)q(s)+Kp(s)= 0 (3.70) 23()()1sssestttt 2!3! 選擇q(s)的階次n比p(s)的階次m低2階，使之盡可能少增加特征方程式的次數(shù)。選n=1，m=3，派德近似式為 設(shè)t =秒，將上式代入式(3.65)得或23()()114ssssesttttt3211442!43!2311(1)(1)(1)44s ssKsss31042432()()(1)4KK ssK sK1153042444 應(yīng)用勞斯判據(jù)可求出K的臨界值為1.13，而實(shí)際上K的準(zhǔn)確值為1.14。

19、所以應(yīng)用派德近似式可以不增加分析的復(fù)雜程度，而仍能保證有較好的近似性。 應(yīng)用上述分析方法的缺點(diǎn)是：只有應(yīng)用近似式后，才能確定需要的近似準(zhǔn)確度，同時(shí)隨著近似程度的提高，多項(xiàng)式的階次也將隨之增加，分析會(huì)顯得愈加復(fù)雜。 從上述分析可以看出，因?yàn)橄到y(tǒng)具有延滯，大大降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性（當(dāng)t =時(shí)，則K為任何正值，系統(tǒng)均能穩(wěn)定）。 三、赫爾維茨判據(jù)三、赫爾維茨判據(jù) 若系統(tǒng)特征方程式為 ansnan-1sn-1a1sa0= 0 赫爾維茨判據(jù)為：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是an0的情況下，對(duì)角線上所有子行列式（如表中橫豎線所隔）i (i=1，2，,n)均大于零。 赫爾維茨行列式由特征方程的系數(shù)按下述規(guī)則構(gòu)成：主對(duì)角線上為特征方程式自an-1至a0的系數(shù)，每行以主對(duì)角線上的系數(shù)為準(zhǔn)，若向左，系數(shù)的注腳號(hào)碼依次下降；若