摩擦角及應(yīng)用

1、1摩擦角及其應(yīng)用提要：建立摩擦角的概念，知道用摩擦角解平衡問題的思路，會用摩擦角解 題關(guān)鍵詞：全反力；摩擦角；最大靜摩擦角；臨界平衡 一、摩擦角的概念全反力：物體所受的正壓力與摩 擦力的合力，圖1中的F就是全反力，N為物體所受 的正壓力，fk為摩擦力。動摩擦角：物體受動摩擦力作用時，正壓力 N與全反力F的夾角，圖1中的、就是動摩擦角fk-1 -1k =ta n N =ta n 叫說明：接觸面一定，動摩擦因數(shù) 山一定，動摩擦角就一定靜摩擦角：物體所受靜摩擦力作用時，正壓力 N與全反力F'的夾角。圖2圖2中的角就是靜摩擦角fs8 = ta n -1 N最大靜摩擦角：物體所受最大靜摩擦力f

2、m作用時，正壓力N與全反力F的夾角。圖2中的角：m就是 最大靜摩擦角m= tan -1 N = tan -1 匕說明：接觸面一定，靜摩擦因數(shù) 譏一定，最大摩擦角 就一定一般情況下，物體平衡時，靜摩擦力不超過最大靜摩擦力，即- m，其中是臨界平衡狀態(tài)。判斷一個受摩擦力的物體是否能靜止時，可先假設(shè)該物體靜止，由平衡條件求出此時全反力與正壓力間的夾角s = tan -1后，然后判斷：若 < ：m，物體能靜止平衡或臨界平衡，假設(shè)正確；若 's>'m，物體不能靜止平衡,假設(shè)錯誤。、意義引入摩擦的意義：摩擦力與支持面的支持力是成對出現(xiàn)的， 引入摩擦角后，可以將這對力合成一個力，

3、在物體的平衡態(tài)受力分析中很大程度上起到問題簡化的效果。尤其是在物體在四個力作用下保持動態(tài)平衡的問題中，引入摩擦角后就可以簡化成我們熟悉的三力平衡問題 (如：三個力中有一個力確定，即大小、方向不變，另一個力方向確 定，這個力的大小和第三個力的大小、方向變化情況待定)這里特別補充說明的是：在物體的三力平衡問題中，作用在物體這三個力合力為0等效于三力共點，則三力的作用線匯交于一點，即三力匯交三、應(yīng)用摩擦角解12年高考24題第2問1、( 2012新課標)24( 14分)拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖3)。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為 m拖桿質(zhì)量可忽略；拖把頭與地板之間的動摩擦因數(shù)為常數(shù)卩，重力加速度為g

4、。某同學(xué)用該拖把在水平地板上 拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為9。(1) 若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小。(2) 設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為入。已知存在一臨界角9 o若9 < 9 o，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使 拖把從靜止開始運動。求這一臨界角的正切tan 9 0。解法一(標準答案)：(1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為 F的力推拖把。將 推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有Feos 9 + mg=N Fsin 9 =f(2)式中N和f分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力。按摩擦定律有f=卩N

5、(3)聯(lián)立得F= . mg (4)si n 日一卩 cosH(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運動，應(yīng)有Fsin 9 w入N(5)這時式仍滿足，聯(lián)立得sin 9 -入 cos 9 w 入 mg (6)F現(xiàn)考察使上式成立的9角的取值范圍，注意到上式右邊總是大于零，且 當F無限大時極限為零，有sin 9 -入cos 9 w 0(7)使上式成立的9角滿足9 w 9 °,這里9 0是題中所定義的臨界角，即當9 w 9 0 時，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把。臨界角的正切為tan 9 0=入3解法二：用摩擦角解第二問4#(2)臨界平衡時，受力分析如圖4,有9 0=：爲

6、fm=Fsin nmtan m = NF#聯(lián)立得：臨界角的正切為 tan Tic =入 顯然，本題的難點是臨界平衡條件方程的構(gòu)建， 而用摩擦角尋找臨界平衡條件 直觀明了，省去了用數(shù)學(xué)方法探討極值的過程，這是用摩擦角解臨界平衡問題的 優(yōu)點所在。以下例題我們將支持力與摩擦力合成為支持面作用力F (以下講到 的斜面對物體的作用力或平面對物體的作用力都為此力)，例1,如圖2所示，用繩通過定滑輪物塊，使物塊在水平面上從圖示位置開始沿地面勻速直線運動， 若物塊與地面的摩擦因素：:1，滑輪的質(zhì)量及摩擦不計，則物塊運動過程中，以下判斷正確的是( )。A.繩子的拉力將保持不變B.繩子的拉力將不斷增大C.地面對物

7、塊的摩擦力不斷減小D.物塊對地面的壓力不斷減小 解析：如圖3所示，取物體O點，作力的三角形。重力為有向線段，從該線段箭頭端點做全反力的作用所在射線， 作從射線上任意點指向O點且將圖形封閉成三角形的一系列的有向線段，它們就是繩子拉力矢量，用曲箭頭標明變化趨勢。由：1知力三角形中和的夾角小于450，初始狀態(tài)繩子拉力與水平呈450，力三角形中和的夾角從 450開始慢慢減小，圖3中9 <90o，不難得 出結(jié)論：繩子的拉力不斷增大，地面的作用力不斷減小，由圖 1易知，地面支持力與摩擦力均隨之減小，所以BCD正確。例2，如圖4所示，傾角450的斜面上，放置一質(zhì)量 m的小物塊，小物塊與斜面的動摩擦因素

8、，欲使小物塊能靜止3在斜面上，應(yīng)對小物塊再施加一力，該力最小時大小與方向是( )。A. mgsin 150，與水平成 15o 斜向右 B.mgs in300，豎直向上C. mgsin750，沿斜面向上D.mgtan15°，水平向右J3J3解析：由得,摩擦角 =tan，"二 tan '=30°，33作出力的三角形，如圖 5所示，藍色有向線段為重力，黑色射線為斜面全反力，紅色有向線 段為施加的力，青色有向線段為施加的力的最小位置（與斜面的作用力相垂直），則F =mgsin（45° -）= mgsin15°方向與水平成I5o斜向右。即 A正確

9、。例3， （2009.遼 寧、寧夏理綜）水平地面上有一木箱，木箱與地面之間的動摩擦因數(shù)為（0 - 1）。現(xiàn)對木箱施加一拉力 F,使木箱做勻速直線運動。 設(shè)F的方向與水平面夾角為二，如圖6,在二從0逐漸增大到90°的過程中， 木箱的速度保持不變，則（）A. F先減小后增大 B. F 一直增大 C. F的功率減小 D. F的功率不變 解析：方法一（傳統(tǒng)方法）： 由于木箱的速 度保持不變，因此木箱始終處于平衡狀態(tài)，受力分析如圖所示，則由平衡條件得：mg = N F sin ' ，f =N F cost 兩式聯(lián)立解得fmsmg，可COST + A sinB+ A2 sin（日）見F有

10、最小值，所以F先減小后增大，A正確；B錯誤；F的功率P二Fvcosr二 "mgVC°s 二 mgV ，可見在 二從0逐漸增大到 90°的過程中tan二cosT + 4sin 日 1+4tan日逐漸增大，則功率 P逐漸減小，C正確，D錯誤。（此常規(guī)方法對數(shù)學(xué)要求比較高，如果是 在高考時過于緊張，一時半會兒對其中的F表達式里變化情況弄不清楚從而半途而廢）6方法二（引入摩擦角）：由叫0 ：:：:1）得，摩擦角出力的三角形，如圖 7所示，黑色射線為地面對木箱 的全反力F1,紅色有向線段為拉力 F，藍色有向線段 為重力。由題意在'從0逐漸增大到90°的過程

11、中， F的變化趨勢為青色曲箭頭方向變化，易得到：F先減小后增大。對于F的功率，由矢量表達式： F - F1 G，重力的功率顯然為0 （重力與速度成90o），得到F的功率與F1的功率互為相反數(shù)，F(xiàn)1的 功率P1 =F1 VCOS'-：,顯然F1與v的角度“保持不 變，而F1不斷的減小，從而F的功率 P H P1 H F 1 v c O的值不斷的減小，所以答案為 AC結(jié)論：對比兩種方法，方法二顯然要簡單容易的0 <45o，作F1© <45o多。因此高中有必要掌握摩擦角的應(yīng)用，而不一定非得參加競賽的學(xué)生才掌握。例4,（競賽訓(xùn)練題）如圖 8所示，質(zhì)量為 m的物體放在水平地面上，物體與地面的動摩擦因素二，想用力F推動物3體沿水平地面滑動，推力方向與水平夾角在什么范