哈爾濱工業(yè)大學(xué) 計(jì)算傳熱學(xué) 第五章 對(duì)流-擴(kuò)散方程的離散格式-2013

1、導(dǎo)熱型方程：導(dǎo)熱型方程： 二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng)對(duì)流對(duì)流- -擴(kuò)散方程：擴(kuò)散方程： 二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（擴(kuò)散），源項(xiàng) 一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（對(duì)流）一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（對(duì)流）一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對(duì)流一維穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的對(duì)流- -擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程: : ()()dddudxdxdx 密度，密度， 擴(kuò)散系數(shù)。擴(kuò)散系數(shù)。22dTd Tcukdxdx00,LxTTxL TT精確解精確解 對(duì)流熱能量方程對(duì)流熱能量方程00exp() 1exp(/ ) 1exp(/ ) 1exp() 1eLePxTTcux kLTTcuL kP貝克立數(shù)貝克立數(shù) 對(duì)流傳熱量對(duì)流傳熱量/ /導(dǎo)熱量導(dǎo)熱量ecu

2、LcuA TPTkkAL 純導(dǎo)熱純導(dǎo)熱 0eP 上游信息對(duì)流到下游，上游信息對(duì)流到下游，下游信息無法通過擴(kuò)下游信息無法通過擴(kuò)散傳到上游。散傳到上游。eP 純對(duì)流純對(duì)流 以上述精度解為例討論各種差分格式的性能。以上述精度解為例討論各種差分格式的性能。xTL1-5Pe=015LT00 5-1 5-1 對(duì)流項(xiàng)中心差分與迎風(fēng)差分。對(duì)流項(xiàng)中心差分與迎風(fēng)差分。 連續(xù)方程連續(xù)方程()0,duudx常數(shù)常數(shù)而而 ()()dddudxdxdx 對(duì)控制容積采用分段線性進(jìn)行積分。對(duì)控制容積采用分段線性進(jìn)行積分。()()()()ewewdduudxdx ()()11() ()() ()22eEPwPWeEPwWPew

3、uuxx記記 FuDxwxexWeEw對(duì)流項(xiàng)中心差分格式對(duì)流項(xiàng)中心差分格式則則 1111()()()2222PewewEeeWwwFFDDFDFD記記 11()22EeeWwwPEWewaDFaDFaaaFF即即記記 以網(wǎng)格間距以網(wǎng)格間距 為特征尺寸的貝克列數(shù)。為特征尺寸的貝克列數(shù)。Fu xPD x在均勻網(wǎng)格和常物性條件下，上式為在均勻網(wǎng)格和常物性條件下，上式為: :W11(2)()()22PEDDFDF即即 W1211122EPPP（B B）（A A）PPEEWWaaa(5)(5)中心差分格式只適用于中心差分格式只適用于低雷諾數(shù)問題低雷諾數(shù)問題 (2)(2)式（式（A A）為中心差分格式為中

4、心差分格式 (4)(4)導(dǎo)致不合理的原因?qū)е虏缓侠淼脑?而使而使 在在 大時(shí)，大時(shí)， 分布偏離線性很遠(yuǎn)，積分假設(shè)不合理。且分布偏離線性很遠(yuǎn)，積分假設(shè)不合理。且 大時(shí)，在大時(shí)，在x=L/2x=L/2處，處， 上游值而非平均值。上游值而非平均值。(3)(3)存在的問題，用（存在的問題，用（B B）式計(jì)算。式計(jì)算。 (1)(1)當(dāng)滿足連續(xù)性條件時(shí)，當(dāng)滿足連續(xù)性條件時(shí)， 討論討論 W,PEewaaaFF取取 144DFP（a a） W200,100E得得 50P（b b） W100,200E250P得得 顯然不合理，真實(shí)值顯然不合理，真實(shí)值 在在 和和 之間。之間。PEW2P0Ea PxP0 為了避

5、免上式造成物理不真實(shí)，而構(gòu)造迎風(fēng)差分格式：為了避免上式造成物理不真實(shí)，而構(gòu)造迎風(fēng)差分格式：（介紹第二類，有守恒性）在控制容積積分時(shí)，界面上的（介紹第二類，有守恒性）在控制容積積分時(shí)，界面上的未知量恒取上游節(jié)點(diǎn)的值，而不象中心差分那樣取兩邊節(jié)未知量恒取上游節(jié)點(diǎn)的值，而不象中心差分那樣取兩邊節(jié)點(diǎn)的平均值。點(diǎn)的平均值。對(duì)流迎風(fēng)差分格式對(duì)流迎風(fēng)差分格式()|,0|,0|eeePeEeuFFF 取最大值取最大值 EePeFFW()|,0|,0|wwwwPwuFFF 二階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散項(xiàng)仍采用中心差分，二階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散項(xiàng)仍采用中心差分，整理后得整理后得 WWpPEEaaa但但 WW|,0|,|,0|(C)()E

6、eewwPEewaDFaDFaaaFF當(dāng)當(dāng)u0u0當(dāng)當(dāng)u0u0C 一、指數(shù)格式一、指數(shù)格式d-dJ =ux 記總通量記總通量 對(duì)流和擴(kuò)散，對(duì)流和擴(kuò)散， 則則 dddd()()()0dddduJxxxx 控制容積積分控制容積積分 0ewJJ把精度解代入把精度解代入 J J 中中 000exp1expexp1exp( ) 1LeLeeeePxPPxJuPLPLL0000exp()1exp()1LLeeuFPP 5-2 5-2 指數(shù)格式、混合格式與乘方格式指數(shù)格式、混合格式與乘方格式/ePuLexp() 1exp() 1WPPEePwWewFFPP故故 exp()exp()1exp() 1exp()

7、 1exp() 1exp() 1eewwPewEWewewPFFPFFPPPPWWPPEEaaa而而 Wexp(),exp() 1exp() 1ewwEewFFPaaPPW()PEewaaaFF(D)EeeaPD112EeeaPD EeaD指數(shù)指數(shù)0EeaDEWaa和區(qū)別就在函數(shù)區(qū)別就在函數(shù) exp() 1eEeePaDPexp()exp() 1WwwwwaPPDP二混合格式二混合格式 雖然指數(shù)格式是精確解雖然指數(shù)格式是精確解, ,但計(jì)算過繁但計(jì)算過繁, ,通過對(duì)通過對(duì) 隨隨 變化及其三條切線變化及其三條切線EeaDeP;0EeeaPD ;EeeeaPPD 122;12EeeeaPPD 斯波爾

8、丁提出斯波爾丁提出 1|,1,0 |21|,1,0 |2()PPEEWWEeeeWwwwPEWewaaaaDPPaDPPaaaFF(e)討論討論 (1)(1)在在 之間，之間， ，就是中心差分格式。，就是中心差分格式。 22eP 12EeeaDF(2)(2)在在 的區(qū)域里的區(qū)域里 即擴(kuò)散項(xiàng)取零的逆風(fēng)格式。即擴(kuò)散項(xiàng)取零的逆風(fēng)格式。22eePP 和0,EeEaFa 或 由于其綜合了中心和迎風(fēng)兩種格式的優(yōu)點(diǎn)，故稱混合格由于其綜合了中心和迎風(fēng)兩種格式的優(yōu)點(diǎn)，故稱混合格式。但最好還是看成精確解的三條直線的近似，包絡(luò)線。式。但最好還是看成精確解的三條直線的近似，包絡(luò)線。三、乘方格式三、乘方格式 由于混合格

9、式在由于混合格式在 附近，偏離真值較遠(yuǎn)，帕坦卡附近，偏離真值較遠(yuǎn)，帕坦卡提出乘方格式。提出乘方格式。 2eP 10eP 55(1 0.1)(1 0.1)0EeEEeeEEeEEEaPDaPPDaPDaD 100eP010eP10eP5|0,(1 0.1|) | |0,|EeeeaPPD討論討論 該格式計(jì)算量比指數(shù)小，且與指數(shù)格式的解差別很小。該格式計(jì)算量比指數(shù)小，且與指數(shù)格式的解差別很小。 (f)系數(shù)系數(shù)A A和和B B的性質(zhì)的討論的性質(zhì)的討論(1)(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，擴(kuò)散量時(shí)，擴(kuò)散量=0=0， 完全由對(duì)流造成，即完全由對(duì)流造成，即 5-3 5-3 通用表達(dá)式通用表達(dá)式為了在討論中引入為了在討論中

10、引入 EP記記 界面界面i+ i+ 上的值可以用界面兩側(cè)節(jié)點(diǎn)值表示上的值可以用界面兩側(cè)節(jié)點(diǎn)值表示 *1iiJBA（y y）1ii*J*11iiiiJPPBA12得得B-A= 此為和差特性。此為和差特性。 P*Jxii+1i+1/2x（2 2）對(duì)稱特性）對(duì)稱特性 對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo)I I：D D在界面前。在界面前。 *()()CDJB PA P坐標(biāo)坐標(biāo)II相對(duì)相對(duì)I反向，流向不變，而反向，流向不變，而此時(shí)此時(shí)D D在界面后。（界面的前后相在界面后。（界面的前后相對(duì)坐標(biāo)方向而言）對(duì)坐標(biāo)方向而言） *()()DCJBPAP由于坐標(biāo)描述的是同一量，故由于坐標(biāo)描述的是同一量，故 *JJ ()()()()CDC

11、DB PA PAPBP()()()()CDB PAPA PBP*J*JICCDDII是是 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 是與之對(duì)稱的。是與之對(duì)稱的。 上述若對(duì)任何成立，必得上述若對(duì)任何成立，必得()()()()B PAPA PBP即即 ()A PP與B(的值以的值以 =0 =0的軸對(duì)稱的。的軸對(duì)稱的。 P 根據(jù)對(duì)稱特性可以說明為什么前面討論格式特性根據(jù)對(duì)稱特性可以說明為什么前面討論格式特性只研究函數(shù)只研究函數(shù) Ea因?yàn)橐驗(yàn)?EeaDePWwaDAABBPPA A，B B系數(shù)性質(zhì)的含義系數(shù)性質(zhì)的含義 根據(jù)對(duì)稱及和差特性，我們僅根據(jù)對(duì)稱及和差特性，我們僅須知道紅線的值，即在須知道紅線的值，即在 (,0,)

12、PA P則所有則所有 ()A P和和 ()B P均確定了。均確定了。 在在 0:()()()(|) |PA PB PPAPPA PP通用格式通用格式 ()(|)|,0|A PA PP對(duì)對(duì)B B ()(|)|,0|B PA PP各種格式的通用表達(dá)式各種格式的通用表達(dá)式 *()()eePeEJB PA P*()()wwWwPJB PA PwxexWweE*wJ*eJAB1P而而 *,()uFJPJDDx根據(jù)通量守恒根據(jù)通量守恒 *0eweewwJJD JD JEW()()()PeewweewwDBD A PD A PD B P() (|)|,0|EeeeeeaD A PDA PPW() (|)|,

13、0|wwwwwaD B PDA PP()()PeewwaD B PD A P (|)|,0| ()|1,0|eeewwwDA PPDA PP()EWewaaFF即即 PPEEWWaaa顯然不論那種格式，僅僅是顯然不論那種格式，僅僅是 (|)A P表達(dá)式的區(qū)別。表達(dá)式的區(qū)別。 5|)1 0.5|1|0,1 0.5| exp(|) 1|0,(1 0.1|) |PPPPPA(|P中心中心迎風(fēng)迎風(fēng)混合混合指數(shù)指數(shù)乘方乘方 A( )P1.0迎風(fēng)迎風(fēng)指數(shù)指數(shù)乘方乘方中心中心混合混合P 5-4 5-4 關(guān)于假擴(kuò)散的討論關(guān)于假擴(kuò)散的討論原始的假擴(kuò)散概念原始的假擴(kuò)散概念 一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流方程一維非穩(wěn)態(tài)對(duì)流方程（純

14、對(duì)流（純對(duì)流, ,沒有擴(kuò)散）沒有擴(kuò)散） utx 顯示迎風(fēng)差分格式顯示迎風(fēng)差分格式11,(,)nnnniiiiuoxttx 將上式在將上式在（i，n）點(diǎn)做點(diǎn)做Taylar級(jí)數(shù)展開，保留二階。級(jí)數(shù)展開，保留二階。 2222(1)(,)2u xu tuoxttxxx 變成了對(duì)流變成了對(duì)流- -擴(kuò)散問題，新增項(xiàng)叫做假擴(kuò)散。擴(kuò)散問題，新增項(xiàng)叫做假擴(kuò)散。 utx （1 1） 非穩(wěn)態(tài)或?qū)α黜?xiàng)采用一階階差的格式。非穩(wěn)態(tài)或?qū)α黜?xiàng)采用一階階差的格式。（2 2） 流向與網(wǎng)格線斜交叉。流向與網(wǎng)格線斜交叉。（3 3） 差分格式?jīng)]有考慮非常數(shù)源項(xiàng)的影響。差分格式?jīng)]有考慮非常數(shù)源項(xiàng)的影響。數(shù)學(xué)原因：數(shù)學(xué)原因：一階導(dǎo)數(shù)的差分

15、格式的截?cái)嗾`差（第一一階導(dǎo)數(shù)的差分格式的截?cái)嗾`差（第一 項(xiàng)就是二階導(dǎo)數(shù)）造成的。項(xiàng)就是二階導(dǎo)數(shù)）造成的。廣義假擴(kuò)散：廣義假擴(kuò)散：引起較大的數(shù)值計(jì)算誤差。引起較大的數(shù)值計(jì)算誤差。物理后果：物理后果：由于擴(kuò)散作用使場均化。由于擴(kuò)散作用使場均化。 5-5 5-5 高階迎風(fēng)格式與高階迎風(fēng)格式與QUICKQUICK格式格式一、二階迎風(fēng)格式一、二階迎風(fēng)格式 即一階導(dǎo)數(shù)采用具有二階截差的偏差分格式。即一階導(dǎo)數(shù)采用具有二階截差的偏差分格式。即在一般迎風(fēng)差分加上曲率修正。即在一般迎風(fēng)差分加上曲率修正。(u0)三、三、 QUICK格式格式 界面上函數(shù)采用二次插值界面上函數(shù)采用二次插值 線性插值時(shí)線性插值時(shí) 1()

16、2ePE二、三階迎風(fēng)格式二、三階迎風(fēng)格式 （1 1）該對(duì)流項(xiàng)有三階精度。）該對(duì)流項(xiàng)有三階精度。 但曲線上凹時(shí)，這個(gè)但曲線上凹時(shí)，這個(gè) e比真值偏大，需加曲率修正。比真值偏大，需加曲率修正。W2,011(),2,028EPePEurvurvPEEEuCCu近風(fēng)是指近風(fēng)是指 uvUC是由界面兩側(cè)點(diǎn)和上游的另一側(cè)點(diǎn)組成。是由界面兩側(cè)點(diǎn)和上游的另一側(cè)點(diǎn)組成。 （2 2）該格式具有守恒性。（即從任一界面的兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)）該格式具有守恒性。（即從任一界面的兩側(cè)的節(jié)點(diǎn) 來寫該界來寫該界面上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式都是相同的）面上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式都是相同的） 亦即亦即1( )()ieiw1()()iiew

17、xx注意注意 由于這時(shí)的一維是五點(diǎn)格式，二維為九點(diǎn)，帶來由于這時(shí)的一維是五點(diǎn)格式，二維為九點(diǎn)，帶來兩個(gè)問題。兩個(gè)問題。（1 1）第一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程）第一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程 當(dāng)當(dāng)u0u0時(shí)，節(jié)點(diǎn)的方程需要重新處理。時(shí)，節(jié)點(diǎn)的方程需要重新處理。 a a、設(shè)虛擬點(diǎn)設(shè)虛擬點(diǎn) ， 00212b b、采用一階近風(fēng)或混合格式。采用一階近風(fēng)或混合格式。 （2 2）離散方程如何求解。）離散方程如何求解。 延遲修正方法：延遲修正方法：把特定的界面值作為上次迭代的已知值歸把特定的界面值作為上次迭代的已知值歸入源項(xiàng)，從而保證了系數(shù)矩陣能為三對(duì)角或五對(duì)角陣。入源項(xiàng)，從而保證了系數(shù)矩陣能為三對(duì)角或五對(duì)角陣。 三、采用二階近風(fēng)格式帶來的問題。三、采用二階近風(fēng)格式帶來的問題。01234U5 56 6 對(duì)流擴(kuò)散方程離散化及邊界條件對(duì)流擴(kuò)散方程離散化及邊界條件一、二維方程一、二維方程 通用形式：通用形式： ()()()()()uvStxyxxyy 在控制容積上積分在控制容積上積分 ()()()()neneewnsxxyyswswJJdyJJdxSdxdyt ()()uvxyStxy sxywWSnNeE()()()()()()()eeeePeEeeePeEeee