討論質(zhì)點(diǎn)的角動量是相對于某一參考點(diǎn)而言的實(shí)用教案

1、L的直角(zhjio)分量式zyxpppzyxkjiprL yzxzpypL zxyxpzpL xyzypxpL SI 中 單位(dnwi)：kgm2/s二、作圓周運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的角動量LrvOm一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)繞圓心o作半徑為r的圓周運(yùn)動，由于r始終與p垂直，故質(zhì)點(diǎn)對圓心o的角動量的大小為L=rp，L的方向垂直于圓周軌道平面，與角速度的方向相同。rmmvp 2rmmvrL2mrL 第1頁/共23頁第一頁，共23頁。2p1pmm12sinr1r2rO三、作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)的角動量若質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，任一時刻對o點(diǎn)的矢徑為r，動量(dngling)為p,

2、則任一時刻對于點(diǎn)o的角動量(dngling)的大小為 sinsinmrvrpL r,P逐點(diǎn)變化，但點(diǎn)o到p的方向(fngxing)的垂直距離rsin保持不變。L的方向保持不變。若p 的大小保持不變，則自由質(zhì)點(diǎn)對任意參考點(diǎn)的角動量保持不變。當(dāng)p的方向正好指向或背離參考點(diǎn)時，質(zhì)點(diǎn)的角動量為零。第2頁/共23頁第二頁，共23頁。質(zhì)點(diǎn)角動量的改變?nèi)Q于矢積 rF ，把作用于質(zhì)點(diǎn)上的合外力(wil)F對參考點(diǎn)o的矢徑r的矢積 rF 定義為力矩FrM單位(dnwi)：牛米（Nm）FOrMsinr力矩的大?。篗=rFsin 方向：由右手(yushu)螺旋定則確定。作用于質(zhì)點(diǎn)上所有力矩的矢量和，等于合力的力矩

3、。niFrFrFrM21MFrFFFrn)(21zyxFFFzyxkjiFr0 pvFrtLdd一、力矩)(ddddprttL tprptrdddd Frpv3-2 3-2 質(zhì)點(diǎn)的角動量原理力矩滿足疊加原理第3頁/共23頁第三頁，共23頁。二、質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)的角動量原理tLMdd 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的角動量原理即: :質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩等于它的角動量的變化率. .（M,LM,L是對慣性(gunxng)(gunxng)系中同一參考點(diǎn)而言的）積分關(guān)系 2121LLtttMLdd 21tttMLd即, ,角動量原理質(zhì)點(diǎn)角動量的增量等于質(zhì)點(diǎn)受到的角沖量?；蚧驔_沖量量矩矩效效應(yīng)應(yīng)稱稱為為

4、力力矩矩的的角角沖沖量量用用于于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)上上的的時時間間積積累累內(nèi)內(nèi)作作表表示示在在的的增增量量，內(nèi)內(nèi)在在21121221ttdtMLttLLLtt 微分關(guān)系tMLdd 第4頁/共23頁第四頁，共23頁。三、 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)的角動量守恒定律若質(zhì)點(diǎn)(zhdin)所受的合力矩恒矢量。，則LtLM00dd, 若對某一參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)(zhdin)所受的合外力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)(zhdin)對該參考點(diǎn)的角動量將保持不變，稱為角動量守恒定律。矩矩。大大小小相相等等方方向向相相反反的的力力或或受受到到了了兩兩個個，均均可可使使但但任任一一時時刻刻也也可可能能是是，可可能能是是而而,0000Mr

5、FFFFrMM作勻速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)和僅受有心力作用的質(zhì)點(diǎn)，角動量守恒.第5頁/共23頁第五頁，共23頁。小結(jié)(xioji)(xioji) 動 量 角 動 量 定 義 vmP vmrPrL 微分形式 tFPdd tMLdd 原 理 積分形式 2112tttFPPPd 2112tttMLLLd 守恒定律 恒矢量PF, 0 恒矢量LM, 0 第6頁/共23頁第六頁，共23頁。P114 例題1 質(zhì)量為m、線長為l的單擺，可繞點(diǎn)o在豎 直平面內(nèi)擺動，初始時刻擺線被拉止水平(shupng)，然后自由放下，求擺線與水平(shupng)線成角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c(diǎn)o的角動量；擺球到達(dá)點(diǎn)B時，角速度的大小。

6、gmTABlm解：受力：重力；張力。重力對O點(diǎn)的力矩為M=mglcos，力矩的方向垂直于紙面向(min xin)里，大小隨變化。由角動量原理(yunl) cosmglMtL d dd d ddddLtLd dd d瞬時角動量L=ml2 sin322glmL lgmlL/222時時，當(dāng)當(dāng) dcosd32glmLL0320dcosdglmLLL第7頁/共23頁第七頁，共23頁。 rr |rrS 21|rrS 21|limlimtrrtrrtStttdd2121ddS00 mLvmrmvr22121|解：如圖，行星在太陽引力作用(zuyng)下沿橢圓軌道運(yùn)動，t時間內(nèi)行星徑矢掃過的面積常量常量， t

7、SLd dd dP115P115例題2 2 利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律行星相對太陽(tiyng)(tiyng)的徑矢在單位時間內(nèi)掃過的面積( (面積速度) )是常量面積(min j)(min j)速度: :第8頁/共23頁第八頁，共23頁。P116例3 1971年科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星(wixng) 橢圓軌道地心為焦點(diǎn) 近地高度h1=226km,遠(yuǎn)地高度h2=1826km,近地點(diǎn)的速率v1=8.13km/s,求遠(yuǎn)地速率和周期。1vab1r2r2v地心解：因只有(zhyu)引力且為有心力，故衛(wèi)星對地球中心的角動量守恒。取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則)(1060. 6311kmhRr )(1020. 832

8、2kmhRr 由角動量守恒(shu hn)2211mvrmvr1212vrrv 31. 81020. 81060. 633 )/(58. 6skm 111122vrabvrabtSST /d/d221/ )(rra21212)(rrraab )(1037. 6)(312121srrvrrT 第9頁/共23頁第九頁，共23頁。3-3 3-3 質(zhì)點(diǎn)系的角動量原理(yunl)(yunl)nLLLL21nnprprpr 2211niiipr1 niiiiitprptrtL1)(d dd dd dd dd dd dniiiifFr1)(niiiniiifrFr11)()( niiiFrtL1)(d dd

9、 d對時間(shjin)(shjin)求導(dǎo)一. .質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)系的角動量原理質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)系的角動量為各個質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)對同一參考點(diǎn)的角動量之和。由于質(zhì)點(diǎn)系中的內(nèi)力是成對出現(xiàn)的，每一對內(nèi)力都大小相等方向相反，作用在同一條直線上，所以內(nèi)力對同一參考點(diǎn)力矩的矢量和等于零。01niiifr)( niiiFrM1)(令令第10頁/共23頁第十頁，共23頁。tLMtLMtLMMtLzzyyxxd dd dd dd dd dd dd dd d ,分分量量式式為為是是一一個個矢矢量量方方程程，直直角角tLMd dd d 即, ,質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩(l

10、j)(l j)之和等于系統(tǒng)角動量的時間變化率稱為質(zhì)點(diǎn)系的角動量原理。積分(jfn)形式 21tttMLd d 2121ttLLtMLd dd d討論(toln)：統(tǒng)的總角動量統(tǒng)的總角動量的角動量，但不影響系的角動量，但不影響系矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)關(guān)，內(nèi)力關(guān)，內(nèi)力矩之和，而與內(nèi)力矩?zé)o矩之和，而與內(nèi)力矩?zé)o只取決于系統(tǒng)所受外力只取決于系統(tǒng)所受外力d dd dtL即, ,角動量的增量等于外力矩的角沖量LtMdd 微分形式第11頁/共23頁第十一頁，共23頁。常常矢矢量量。時時，即即LM0二. .質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)系不受外力矩作用(zuyng)(zuyng)或所受外力矩對某

11、參考點(diǎn)的力矩之和為零時, ,則質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的角動量守恒角動量守恒定律注意區(qū)分外力矩的矢量和外力的矢量和，它們(t men)(t men)是兩個不同的物理量。第12頁/共23頁第十二頁，共23頁。NOR2v1vgm1gm2ABtLMd dd d 外)(2121LLtMM d dd dP120P120例: :如圖, ,兩人質(zhì)量相等, ,位于同高度, ,各由繩子一端開始爬繩, ,繩子與輪的質(zhì)量不計, ,軸無摩擦. .他們那個(n ge)(n ge)先到達(dá)頂點(diǎn)? ?解: :方法一：角動量原理以兩人及輪為系統(tǒng)(xtng),O(xtng),O為參考點(diǎn), ,以反時針為正受外力N,m1g,m2g,設(shè)任意時刻(

12、shk)t,A的速率v1,對o點(diǎn)的角動量L1, B的速率v2,對o點(diǎn)的角動量L2,則由角動量原理得)(1221LLtgRmgRm d dd dtvmtvmgmmd dd dd dd d112221 )()(1122vRmvRmt d dd d21mm 已知第13頁/共23頁第十三頁，共23頁。012 RmvRmv12vv RvmvmttLgRmmM)()(112221 d dd dd dd d外21mm 如如果果1122vmvm則則12vv 所以方法二: :角動量守恒由于, ,即系統(tǒng)(xtng)(xtng)所受的合外力矩為零, ,則角動量守恒討論:1.:1.若其中一個人相對(xingdu)(x

13、ingdu)繩不動, ,外力矩情況依然, ,內(nèi)力矩對角動量無貢獻(xiàn), ,因而角動量守恒. .即輕者先到達(dá)(dod)(dod)頂點(diǎn)2. 若m1m2,則即兩人同時到達(dá)頂點(diǎn). .2120100vvvv則則且且,2121aatvtv 即,d dd dd dd d作業(yè): : 3 - 1, 2, 4, 93 - 1, 2, 4, 9第14頁/共23頁第十四頁，共23頁。討論題：1.一質(zhì)點(diǎn)在作勻速圓周運(yùn)動的過程(guchng)中，其角動量是否恒定？2.一個小孩摔動一個系在細(xì)線上的膠質(zhì)木塞，使其作圓周運(yùn)動，他用其中一只手慢慢地拉細(xì)線，使其半徑逐漸縮短。小孩這個(zh ge)動作對木塞的角動量有何影響？為什么這樣

14、作細(xì)線容易斷？3.有兩輛小車?yán)@同一中心作圓周運(yùn)動。環(huán)繞的方向相反(xingfn)，每輛車對轉(zhuǎn)動中心都有角動量，由于兩車突然發(fā)生碰撞而靜止，角動量也變?yōu)榱恪＿@是否與角動量守恒定律發(fā)生矛盾？下周討論題：機(jī)械能守恒定律的條件是什么？第15頁/共23頁第十五頁，共23頁。1.角動量保持(boch)恒定。2.由于線的拉力(ll)對轉(zhuǎn)動中心不產(chǎn)生力矩，因此小孩這個動作對木塞的角動量沒有影響，即木塞的角動量保持不變。由角動量不變有rmv=恒量，當(dāng)r縮短時，必是線速度v增加，由牛頓第二定律F=mv2/r得，r的減小以及v的增加，會使向心力增大，所以細(xì)線容易斷。3.在碰撞前每輛小車雖有角動量，但由于角動量方向相

15、反，由它們(t men)所組成系統(tǒng)在碰撞前的總角動量也是為零的，所以符合角動量守恒定律。第16頁/共23頁第十六頁，共23頁。討論題1.2. 在下圖中標(biāo)出的運(yùn)動是什么運(yùn)動？的運(yùn)動是什么運(yùn)動？0011dtvddtvd.vvrr ,o1r2r1v2v1.3.一質(zhì)點(diǎn)做拋體運(yùn)動(po t yn dn)（忽略空氣阻力），問質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中xy0vo 值是多少？處曲率半徑最大？其數(shù)？軌道何法向加速度是否變化是否變化？是否變化？dtvddtdv第17頁/共23頁第十七頁，共23頁。1.4.試分析以下說法是否正確：加速度越大，則物體的速度也越大；作直線運(yùn)動的物體加速度減小，則物體的速度也隨之減?。患铀俣炔粸榱?/p>

16、的運(yùn)動，速度大小必然變化；勻加速運(yùn)動一定(ydng)是直線運(yùn)動；在圓運(yùn)動中，加速度的方向一定(ydng)指向圓心，在一般的曲線運(yùn)動中，加速度方向不會指向曲率中心。1.5.假定無風(fēng)時雨點(diǎn)勻速豎直下落。桶平放，在相同時間內(nèi)無風(fēng)與刮水平風(fēng)，哪一種情形進(jìn)入桶中的雨水較多？風(fēng)速不變，沿什么(shn me)方向放置桶接雨最快？2.1.有質(zhì)量分別為m1,m2,m3的三個物體如圖放置，求當(dāng)它們勻速下降時，每個物體受多大的合力？勻速上升時，又受多大的合力？當(dāng)它們自由下落(xilu)時，每個物體受多大的合力？如以勻加速度a上升或下降時，又受多大合力？第18頁/共23頁第十八頁，共23頁。3m1m2m2.2.一人在

17、帆船上用鼓風(fēng)機(jī)正對帆鼓風(fēng)，企圖使船前進(jìn)。結(jié)果船非但(fidn)未能前進(jìn)，反而緩慢后退。這是什么原因？2.3.設(shè)質(zhì)量相同的A,B兩個木塊從同一(tngy)高度自由落下，在下落途中A被飛來的子彈所擊中，并陷入其中，問兩木塊是否同時到達(dá)地面？當(dāng)它們靜止在桌面上時，每個物體(wt)受力的情況又怎樣？2.4.在一條以勻速v0前進(jìn)的船上,有人用力向前方拋出一物體,設(shè)物體的質(zhì)量為m,人,船的總質(zhì)量M,物體離船時相對船的速度為u,問拋物后船速如何變化？在不同慣性系中計算的結(jié)果是否相同？2.5.一只浮在水上不動的小船，若人在船上從船頭走向船尾，船就要向相反方向運(yùn)動，為什么？2.6.你是怎樣接住對方猛擲過來的籃球

18、的？為什么要這樣去接，試用動量原理解釋之。第19頁/共23頁第十九頁，共23頁。2.7.一根細(xì)線上端固定，下端(xi dun)系一重物A,A下面再系一同樣的細(xì)線，如圖，今用力F拉下面的線，若緩慢加力，則上面的線斷，若猛然下拉則下面的線斷。試解釋之。3.1.一質(zhì)點(diǎn)在作勻速圓周運(yùn)動(yndng)的過程中，其角動量是否恒定？3.2.一個小孩摔動一個系在細(xì)線上的膠質(zhì)木塞，使其作圓周運(yùn)動，他用其中一只手慢慢地拉細(xì)線，使其半徑逐漸縮短(sudun)。小孩這個動作對木塞的角動量有何影響？為什么這樣作細(xì)線容易斷？3.3.有兩輛小車?yán)@同一中心作圓周運(yùn)動。環(huán)繞的方向相反，每輛車對轉(zhuǎn)動中心都有角動量，由于兩車突然發(fā)生碰撞而靜止，角動量也變?yōu)榱恪＿@是否與角動量守恒定律發(fā)生矛盾？第20頁/共23頁第二十頁，共23頁。4.1.機(jī)械能守恒的條件(tiojin)是什么？4.2.一物體自高為h處沿光滑表面由靜止開始下滑，試分析當(dāng)表面分別為直的、凹的、凸的三種情況時，物體滑到底部的動能是否(sh fu)相同？動量是否(sh fu)相同？4.3.合外力對物體(wt)所作的功等于物體(wt)動能的增量。而其中某一個分力作的功，能否大于動能的增量？試舉例說明。4.4.試說明內(nèi)力在三個力學(xué)守恒定律中所處的地位。第21頁/共