材料力學(xué)劉鴻文PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1材料力學(xué)劉鴻文材料力學(xué)劉鴻文第2頁/共55頁第1頁/共55頁受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。第3頁/共55頁第2頁/共55頁3-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖直接計算直接計算1 1外力偶矩外力偶矩第4頁/共55頁第3頁/共55頁按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me em)(N9550nPm第5頁/共55頁

2、第4頁/共55頁例例3-2-1 傳動軸如圖所示，主動輪傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率輸入功率PA=50kW，從動，從動輪輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的，軸的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。，計算各輪上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩mN6379550mN5 .4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA第6頁/共55頁第5頁/共55頁2 2扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖, 0 xM由0eMTeMT得扭矩的正負(fù)號規(guī)定：扭矩的正負(fù)號規(guī)定：按右手螺按右手螺旋法則，

3、旋法則，T矢量背離截面為正，矢量背離截面為正，指向截面為負(fù)（或矢量與截面指向截面為負(fù)（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為外法線方向一致為正，反之為負(fù)）負(fù)）T稱為截面稱為截面n-n上的扭矩。上的扭矩。用截面法求扭矩時，建議均假設(shè)各截面扭矩用截面法求扭矩時，建議均假設(shè)各截面扭矩T為正，為正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T為正，則說明是正的扭矩，如為正，則說明是正的扭矩，如果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫軸的扭矩圖，果為負(fù)，則是負(fù)的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭正的扭矩畫在矩畫在x x軸上方，負(fù)的扭矩畫在軸上方，負(fù)的扭矩畫在x x軸下方。軸下方。注意注意MeMeMeTx第7頁/共55頁第6頁/共

4、55頁第8頁/共55頁第7頁/共55頁扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強(qiáng)度計算（危險截面）。xT第9頁/共55頁第8頁/共55頁例例3-2-2 3-2-2 計算例計算例3-2-13-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩圖如左圖示。作扭矩圖如左圖示。第10頁/共55頁第9頁/共55頁例例3-2-3 3-2-3

5、 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/minn =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 P P1 1=500kW=500kW，從動輪輸出，從動輪輸出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，試，試?yán)L制扭矩圖。繪制扭矩圖。解：計算外力偶矩解：計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPmnA B C Dm2 m3 m1 m4112233第11頁/共55頁第

6、10頁/共55頁求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT第12頁/共55頁第11頁/共55頁繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37第13頁/共55頁第12頁/共55頁3-3 純剪切純剪切薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚r101（r：為平均半徑）1實驗：實驗：實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶

7、m。一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力 第14頁/共55頁第13頁/共55頁2 實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。3 結(jié)論：結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第15頁/共55頁第14頁/共55頁 acddxbdy 無正應(yīng)力橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿

8、周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示： 第16頁/共55頁第15頁/共55頁5 薄壁圓筒剪應(yīng)力薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。捍笮。?2 2 2 2d d 2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均半徑所作圓的面積。 第17頁/共55頁第16頁/共55頁二、切應(yīng)力互等定理：二、切應(yīng)力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為剪應(yīng)力互等定理為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相

9、等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz第18頁/共55頁第17頁/共55頁三、切應(yīng)變?nèi)?、切?yīng)變 剪切胡克定律剪切胡克定律 單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。第19頁/共55頁第18頁/共55頁 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（時（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。第

10、20頁/共55頁第19頁/共55頁 G式中：式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗值可通過實驗確定，鋼材的確定，鋼材的G值約為值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個可見，在

11、三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。量就可以推算出來。)1 ( 2EG第21頁/共55頁第20頁/共55頁 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。平面假設(shè)：平面假設(shè)： 變形前為平面的橫截面變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了性平面一樣繞軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度。一個角度。3-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：第22頁/共55頁第21頁/共55頁二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：二、

12、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xddtg距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與與到圓心的距離到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。變化率。第23頁/共55頁第22頁/共55頁2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 第24頁/共55頁第23頁/共55頁3. 靜力學(xué)關(guān)系：靜力學(xué)關(guān)系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT第25頁/共55頁第24頁/共55頁pIT橫截面上距圓心為處任一點

13、剪應(yīng)力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。面直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。第26頁/共55頁第25頁/共55頁單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD

14、.DAIDAp對于實心圓截面：DdO第27頁/共55頁第26頁/共55頁對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd第28頁/共55頁第27頁/共55頁 應(yīng)力分應(yīng)力分布布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。第29頁/共55頁第28頁/共55頁 確定最大剪應(yīng)力：確定最大剪應(yīng)力：pIT由知：當(dāng)max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)

15、（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt第30頁/共55頁第29頁/共55頁 三、強(qiáng)度條件三、強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件： ， 許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力；pmaxmaWTx軸扭轉(zhuǎn)時，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點處于軸扭轉(zhuǎn)時，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點處于純剪切純剪切狀態(tài)狀態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。 理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應(yīng)力理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應(yīng)力 與許用正應(yīng)力與許用正應(yīng)力之間存

16、在下述關(guān)系：之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料對于塑性材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表許用拉應(yīng)力。代表許用拉應(yīng)力。第31頁/共55頁第30頁/共55頁強(qiáng)度計算三方面：強(qiáng)度計算三方面： 校核強(qiáng)度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt第32頁/共55頁第31頁/共55頁解：解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得trT2max2)1 (1643maxDT(2) 利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得利用精確的扭轉(zhuǎn)理論可求得43329023011

17、629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56第33頁/共55頁第32頁/共55頁解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為解：設(shè)空心圓軸的內(nèi)、外徑原分別為d、D，面積增大一，面積增大一倍后內(nèi)外徑分別變?yōu)楸逗髢?nèi)外徑分別變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為最大許可扭矩為1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得第34頁/共55頁第33頁/共55頁例例3-4-3：某汽車主傳動軸鋼管外徑某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩，傳遞扭矩T=1

18、.98kNm， =100MPa，試校核軸的強(qiáng)度。，試校核軸的強(qiáng)度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解：計算截面參數(shù)解：計算截面參數(shù)： 由強(qiáng)度條件：由強(qiáng)度條件：故軸的強(qiáng)度滿足要求故軸的強(qiáng)度滿足要求。 第35頁/共55頁第34頁/共55頁同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故故空心軸較實心軸合理空心軸較實心軸合理。 31334. 044)2(222dtDDAA實空空心軸與實心軸的截面面積比空心軸與實心軸的截面面積比(重量比重量比)為：為： MPadWTma

19、xmax5 .9716/1098. 133p由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。MPamax5 .97若將空心軸改成實心軸，仍使若將空心軸改成實心軸，仍使，則，則第36頁/共55頁第35頁/共55頁例例3-4-4：功率為功率為150150kW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為15.415.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如秒的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力圖，許用剪應(yīng)力 =30=30M Pa, Pa, 試校核其強(qiáng)度。試校核其強(qiáng)度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：求扭矩及扭矩圖解：求扭矩及扭矩圖計算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度計算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。此軸

20、滿足強(qiáng)度要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT第37頁/共55頁第36頁/共55頁3-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變一、扭轉(zhuǎn)時的變形形由公式由公式pGITx dd 知：長為知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角 為為 1nipiiiGIlT第38頁/共55頁第37頁/共55頁二、單位扭轉(zhuǎn)角二、單位扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條三、剛度條件件 (rad/m)

21、maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp 抗扭剛度抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱。 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。第39頁/共55頁第38頁/共55頁剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷： max GT Ip max pGIT 有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。 max 第40頁/共55頁第39頁/共55頁例例3-5-1：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB與與MC 作用，試作用，試計算該軸的總扭轉(zhuǎn)角計算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC(即截面即截面C對截面對截面A的相對轉(zhuǎn)角的相

22、對轉(zhuǎn)角)，并校核，并校核軸的剛度。軸的剛度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭轉(zhuǎn)變形分析扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分別為：段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMll第41頁/共55頁第40頁/共55頁rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為設(shè)其扭轉(zhuǎn)

23、角分別為AB和和BC，則：，則：第42頁/共55頁第41頁/共55頁 各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。 由此得軸由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為的總扭轉(zhuǎn)角為rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 剛度校核剛度校核 軸軸AC為等截面軸，而為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段的扭矩最大，所以，應(yīng)校核該段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。段軸的扭轉(zhuǎn)剛度。AB段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：段的扭轉(zhuǎn)角變化率為：可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度可見，該軸的扭轉(zhuǎn)剛度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN1

24、80dd0412591GITx第43頁/共55頁第42頁/共55頁 例例3-5-2：長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m= =20Nm/m 的作的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 =0.8 ，G=80=80GPa ，許，許用剪應(yīng)力用剪應(yīng)力 =30=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若，試設(shè)計桿的外徑；若 =2=2/ /m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。第44頁/共55頁第43頁/共55頁 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT解：解：設(shè)計桿的外徑設(shè)計桿的外徑maxTWt 1

25、16D 43）（tW314max 116）（TD代入數(shù)值得：代入數(shù)值得：D 0.0226m。 89. 1)1 (108018040324429D第45頁/共55頁第44頁/共55頁40NmxT右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：為：弧度）( 033.0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP第46頁/共55頁第45頁/共55頁 例例3-5-3：某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 N2 = 200馬力及馬力及 N3 = 300馬力馬力，已知：，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？主動輪與從動輪如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB第47頁/共55頁第46頁/共55頁解：解：圖示狀態(tài)下圖示狀態(tài)下, ,扭矩如圖扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：，由強(qiáng)度條件得：m)(kN024.