技術(shù)數(shù)學(xué)1-2王家德ppt課件

1、 函 數(shù) 初等函數(shù) 數(shù)列的極限 函數(shù)的極限 第一章第一章 函數(shù)與極限與連續(xù)函數(shù)與極限與連續(xù) 無窮小與無窮大 極限的運(yùn)算法則 無窮小階的比較 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)多元函數(shù)的極限與連續(xù) 一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限 二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限三、極限的性質(zhì)三、極限的性質(zhì)四、極限的運(yùn)算法則四、極限的運(yùn)算法則 五、無窮小量五、無窮小量 六、無窮大量六、無窮大量 第二節(jié)第二節(jié) 極限的定義極限的定義引例割圓術(shù)劉徽）引例割圓術(shù)劉徽） 設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正四邊形設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正四邊形 它的面積記為它的面積記為A1A1；再作內(nèi)接正八邊形再作內(nèi)接正八邊形 它的面積記為它的面積

2、記為A2A2；再作內(nèi)接正十六邊；再作內(nèi)接正十六邊形，它的面積記為形，它的面積記為A3A3；如此下去，每次邊數(shù)加倍，一般把；如此下去，每次邊數(shù)加倍，一般把內(nèi)接正內(nèi)接正8 82n2n1 1邊形的面積記為邊形的面積記為An An 。這樣就得到一系列內(nèi)。這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：接正多邊形的面積： A1A1 A2 A2 A3 A3 An An 圓內(nèi)接正多邊形的周長設(shè)想圓內(nèi)接正多邊形的周長設(shè)想n n 無限增大記為無限增大記為n n 讀作讀作n n 趨于窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限趨于窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時增加，在這個過程中，內(nèi)接正

3、多邊形無限接近于圓，同時An An 也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積。這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的為圓的面積。這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)數(shù)列數(shù)數(shù)列A1A1 A2 A2 A3 A3 An An 當(dāng)當(dāng)n n 時的極限。時的極限。一、一、 數(shù)列的極限數(shù)列的極限2 2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限例例 3 3 觀觀察察下下列列數(shù)數(shù)列列的的極極限限： ( (1 1) ) 1nnun： ( (2 2) ) nnu21： ( (3 3) ) 12 nun： ( (4 4) ) 1) 1(nn

4、u 解解 觀察數(shù)列在觀察數(shù)列在n時的發(fā)展趨勢，得時的發(fā)展趨勢，得 （ 1 1 ） 對 于 數(shù) 列對 于 數(shù) 列1nnun， 即， 即,.1,.,43,32,21nn極 限極 限11limnnn； （2 2） 對于數(shù)列對于數(shù)列nnu21， 即， 即,.21,.,21,21,2132n極限極限021limnn； （ 3 3 ） 對 于 數(shù) 列） 對 于 數(shù) 列12 nun， 即， 即,.12,.,7 , 5 , 3n極 限極 限) 12(limnn不存在不存在； （4 4）對于數(shù)列）對于數(shù)列1) 1(nnu，即，即,.) 1(,.,1 , 1, 11n極限極限1) 1(limnn不存在不存在 3.

5、 3.數(shù)列極限存在定理數(shù)列極限存在定理單單調(diào)調(diào)數(shù)數(shù)列列 如如果果數(shù)數(shù)列列nu對對于于每每一一個個正正整整數(shù)數(shù) n， 都都有有1nnuu， 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nu為為單單調(diào)調(diào)遞遞增增數(shù)數(shù)列列； 類類似似地地， 如如果果數(shù)數(shù)列列nu對對于于每每一一個個正正整整數(shù)數(shù) n， 都都有有1nnuu， 則則稱稱數(shù)數(shù)列列nu為為單單調(diào)調(diào)遞遞減減數(shù)數(shù)列列 有有 界界 數(shù)數(shù) 列列 如如 果果 對對 于于 數(shù)數(shù) 列列 nu， 存存 在在 一一 個個 正正 常常 數(shù)數(shù) M， 使使 得得 對對 于于 每每 一一 項項 nu， 都都 有有| |nu M ， 則則 稱稱 數(shù)數(shù) 列列 nu為為 有有 界界 數(shù)數(shù) 列列 定理定理

6、 3 3 ( (單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理) ) 單單調(diào)有界數(shù)列調(diào)有界數(shù)列必有極限必有極限 0 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限 引引例例 從從函函數(shù)數(shù)圖圖形形特特征征觀觀察察函函數(shù)數(shù)的的極極限限 如如圖圖：當(dāng)當(dāng)1x 時時，( )1f xx無無限限接接近近； 如如圖圖：當(dāng)當(dāng)1x 時時，21( )1xg xx無無限限接接近近于于 O 1 -1 x 1 1 ) ( 2 x x x g y 圖圖 圖圖O1-1(1,2)xyf(x)=x+1二、函數(shù)的極限二、函數(shù)的極限 鄰鄰域域的的概概念念：開開區(qū)區(qū)間間（x，x）稱稱為為以以 x為為中中心心，以以 （）為為半半徑徑的的鄰鄰域域， 簡簡稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)

7、 x的的鄰鄰域域，記記為為N（x，） 用用0(, )N x表表示示 0 x的的空空心心鄰鄰域域，即即0000(,) ( ,)(0)xxx x 函數(shù)函數(shù)( )1f xx與與21( )1xg xx是兩個不同的函數(shù)， 前者是兩個不同的函數(shù)， 前者在在1x 處有定義，后者在處有定義，后者在1x 處無定義這就是說，當(dāng)處無定義這就是說，當(dāng)1x 時，時，( )f x，( )g x的極限是否存在與其在的極限是否存在與其在1x 處是否處是否有定義無關(guān)有定義無關(guān) 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)( )f x在在 0 x的的某某一一空空心心鄰鄰域域0(, )N x內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 x在在0(, )N

8、 x內(nèi)內(nèi)無無限限接接近近于于 0 x時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則 A為為0 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限， 記記作作0lim( )xxf xA或或0( )()f xA xx 0 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x在在 0 x的右半鄰域的右半鄰域00(,)x x內(nèi)內(nèi)有定義，當(dāng)自變量有定義，當(dāng)自變量x在此半鄰域內(nèi)無限接近于在此半鄰域內(nèi)無限接近于 0 x時，相應(yīng)時，相應(yīng)的函數(shù)值的函數(shù)值( )f x無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù) A，則稱，則稱 A為函數(shù)為函數(shù)( )f x在在 0 x處的右極限，記為處的右極限，

9、記為 由該定義可知由該定義可知, , 討論函數(shù)討論函數(shù)( )f x在在 0 x處的右極限處的右極限0lim( )xxf xA時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于 0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx . .于是有于是有 00lim( )lim( )xxxxf xf xA. . 000lim ( )()( )().xxf xAf xAf xA xx，或定義定義 3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在 0 x的左半鄰域的左半鄰域),(00 xx內(nèi)內(nèi)有定義，當(dāng)自變量有定義，當(dāng)自變量 x在此半鄰域內(nèi)無限接近于在此半鄰域內(nèi)無限接近于 0 x時，時，相應(yīng)的函數(shù)值相應(yīng)的函數(shù)值)(xf 無限接近于

10、常數(shù)無限接近于常數(shù) A，則稱，則稱 A為函數(shù)為函數(shù))(xf在在 0 x處的左極限，記為處的左極限，記為，Axfxx)(lim0或或Axf)(0或或).()(0 xxAxf 3 3 0 xx時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 由 該 定 義 知由 該 定 義 知 , , 討 論 函 數(shù)討 論 函 數(shù))(xf在在0 x處 的處 的 左 極 限左 極 限Axfxx)(lim0時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx , ,于是有于是有 Axfxfxxxx)(lim)(lim00. . 定定理理 1 1 Axfxx)(lim0的的充充要要條條件件是是 .

11、)(lim)(lim00Axfxfxxxx例例 1 1 設(shè)設(shè),0( )1,0,0 xxf xxxx，畫畫出出該該函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形，并并討討論論)(lim0 xfx，)(lim0 xfx，)(lim0 xfx是是否否存存在在 解解 )(xf的的圖圖形形如如圖圖 3 3( (見見下下頁頁) )所所示示，由由該該圖圖不不難難看看出出： 0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx. . 例例 2 2 設(shè)設(shè)1,0sgn0,01,0 xxxx， ( (通常稱通常稱 xsgn為符號為符號函數(shù)函數(shù)) )，畫圖討論，畫圖討論,sgnlim0 xx ,sgnlim0 xx xxsg

12、nlim0是否存在是否存在 解解 函數(shù)函數(shù)xsgn的圖形如圖的圖形如圖 4 4( (見見右右上圖上圖) )所示，不難看所示，不難看出出；1sgnlim0 xx；1sgnlim0 xx；xxsgnlim0不存在不存在. . y O 1 -1 x 1 圖圖 3 3 O -1 x 1 y 圖圖 4 4 4 4 x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 定定義義 4 4 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在ax |時時有有定定義義( ( a為為某某個個正正實實數(shù)數(shù)) )，如如果果當(dāng)當(dāng)自自變變量量 x的的絕絕對對值值無無限限增增大大時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為

13、x時時函函數(shù)數(shù) )(xf的的極極限限，記記為為Axfx)(lim或或)()(xAxf. . 5 5 x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 定定義義 5 5 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在),(a內(nèi)內(nèi)有有定定義義( ( a為為某某個個正正實實數(shù)數(shù)) )，當(dāng)當(dāng)自自變變量量x無無限限增增大大時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值 )(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)A，則則稱稱A為為x時時函函數(shù)數(shù) )(xf的的極極限限，記記為為Axfx)(lim或或 )()(xAxf 定定義義 6 6 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在),(a內(nèi)內(nèi)有有定定義義( ( a為為某某個個實實數(shù)數(shù)) )，當(dāng)當(dāng)自自變變量量無無限限變變小小( (或或x

14、無無限限變變大大) )時時，相相應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A為為x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限，記記Axfx)(lim或或)()(xAxf 定定理理 2 2 lim( )xf xA的的充充要要條條件件是是 )(limxfx =Axfx)(lim 6 6x時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 例例 3 3 由由圖圖 5 5 可可知知： 01limxx；01limxx 圖圖5 5 O x y x e y O x y x y 1 圖圖6 6 由圖由圖 6 6 可知可知 0elimxx 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 ( (惟一性惟一性) ) 若若Axfxx)(lim0

15、，Bxfxx)(lim0，則則BA . . 性性質(zhì)質(zhì) 2 2 ( (有有界界性性) ) 若若Axfxx)(lim0，則則存存在在 0 x的的某某一一空空心心鄰鄰域域),(0 xN，在在),(0 xN內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù))(xf有有界界 三、極限的性質(zhì)三、極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 3 3 ( (保號性保號性) ) 若若Axfxx)(lim0且且 0A( (或或 0A) )，則存在某個，則存在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN，在，在),(0 xN內(nèi)內(nèi)0)(xf ( (或或0)(xf) ) 推論推論 若在某個若在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN內(nèi)，內(nèi)， )(xf0 0 ( (或或)(xf0 0) )，且，且

16、Axfxx)(lim0 , ,則則 A0(0(或或 A0)0). . 性質(zhì)性質(zhì) 4 4 ( (夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則) ) 若若 x),(0 xN ( (其中其中 為為某 個 正 常 數(shù)某 個 正 常 數(shù) ) ) 時 ， 有時 ， 有)(xg)(xf)(xh，Axhxgxxxx)(lim)(lim00 , ,則則 Axfxx)(lim0. . 上述性質(zhì)，若把上述性質(zhì)，若把0 xx 換成自變量換成自變量 x的其他變化過的其他變化過程，有類似的結(jié)論成立程，有類似的結(jié)論成立 定義定義 1 ( (極限的極限的定義定義) ) 設(shè)設(shè))(xf在在 0 x的的某個某個鄰域鄰域),(0 xN中有定義，若對任意給定的正

17、數(shù)中有定義，若對任意給定的正數(shù) ，存在，存在0，使得當(dāng)，使得當(dāng)00 xx時，總有時，總有 Axf)(成成立，立，則稱則稱0 xx 時，時， )(xf以以 A 為極限，記為為極限，記為Axfxx)(lim0 五五、無無窮窮小小量量 1 1 無無窮窮小小量量的的定定義義 定定義義 8 8 極極限限為為零零的的變變量量稱稱為為無無窮窮小小量量， 簡簡稱稱無無窮窮小小 說說明明（1 1）數(shù)數(shù)零零是是惟惟一一可可作作為為無無窮窮小小的的常常數(shù)數(shù). . （2 2） 無無窮窮小小表表達(dá)達(dá)的的是是量量的的變變化化狀狀態(tài)態(tài)， 而而不不是是量量的的大大小小一一個個量量不不管管多多么么小小，都都不不能能是是無無窮窮

18、小小量量，零零是是惟惟一一例例外外的的即即無無窮窮小小量量是是絕絕對對值值無無限限變變小小且且趨趨于于零零的的量量 四、極限分析定義四、極限分析定義 例例 4 4 自變量自變量x在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無在怎樣的變化過程中，下列函數(shù)為無窮?。焊F?。?1) 1 (xy；12)2(xy；xy2)3(；xy41)4(. 解解 ( (1 1) ) 因因為為011limxx，所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， 11x為為無無窮窮小小； ( (2 2) ) 因因為為0) 12(lim21xx，所所以以當(dāng)當(dāng)21x時時， 12 x 為為無無窮窮小?。?( (3 3) ) 因因為為02limxx，所所以以當(dāng)當(dāng)x時時，

19、x2為為無無窮窮小小； ( (4 4) ) 因因為為041limxx， 所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， x41為為無無窮窮小小 2 2 極極限限與與無無窮窮小小量量之之間間的的關(guān)關(guān)系系 設(shè)設(shè)Axfxx)(lim0，即即0 xx 時時，函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，也也就就是是說說Axf)(無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)零零，即即0 xx 時時， Axf)(以以零零為為極極限限，也也就就是是說說0 xx 時時， Axf)(為為無無窮窮小小量量，若若記記Axfx)()(，則則有有)()(xAxf，于于是是有有 定定 理理4 4 ( ( 極極 限限 與與 無無 窮窮 小小 量量 之之 間

20、間 的的 關(guān)關(guān) 系系 ) ) Axfxx)(lim0的的充充要要條條件件是是)()(xAxf，其其中中)(x是是0 xx 時時的的無無窮窮小小量量 定定理理 4 4 中中自自變變量量 x的的變變化化過過程程換換成成其其他他任任何何一一種種情情形形,(00 xxxxx ),xx后后 仍仍 然然 成成立立 解解因為因為1)11 (lim1lim)(limxxxxfxxx，而，而xxxxf111)(中的中的x1為為x時的無窮小量，所以，時的無窮小量，所以，xxf11)(為所求極限值與一個無窮小量之和的形式為所求極限值與一個無窮小量之和的形式 3 3 無無窮窮小小量量的的運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì) 定定理理 5

21、 5 有有限限個個無無窮窮小小的的代代數(shù)數(shù)和和是是無無窮窮小小量量 說說明明：無無窮窮多多個個無無窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和未未必必是是無無窮窮小小量量. .如如n時時 ，,2,122nn 2nn均均 為為 無無 窮窮 小小 量量 ， 但但21)2121(lim2) 1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn. . 例例 5 5 當(dāng)當(dāng)x時時，將將函函數(shù)數(shù)xxxf1)(寫寫成成其其極極限限值值與與一一個個無無窮窮小小量量之之和和的的形形式式 定定理理 6 6 無無窮窮小小與與有有界界量量的的積積是是無無窮窮小小 推推論論 1 1 常常數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小的的積積是是無無窮窮小小 推

22、推論論 2 2 有有限限個個無無窮窮小小的的積積仍仍是是無無窮窮小小 說說明明：兩兩個個無無窮窮小小之之商商未未必必是是無無窮窮小小. .如如0 x時時，x 與與 2x 皆皆為為無無窮窮小小，但但由由22lim0 xxx知知 xx2當(dāng)當(dāng)0 x時時不不是是無無窮窮小小 例例 6 6 求求xxx1sinlim20 解解 因為因為0lim20 xx，所以，所以 2x為為x時的無窮小時的無窮小量，又因為量，又因為x1sin1 1，所以，所以xx1sin2仍為仍為0 x時的無窮時的無窮小量，所以小量，所以 01sinlim20 xxx. . 1 1 無無窮窮大大量量的的定定義義 定義定義 9 9 在自變

23、量在自變量 x 的某個變化過程中，若相應(yīng)的的某個變化過程中，若相應(yīng)的函數(shù)值的絕對值函數(shù)值的絕對值)(xf無限增大， 則稱無限增大， 則稱)(xf為該自變量變?yōu)樵撟宰兞孔兓^程中的無窮大量化過程中的無窮大量( (簡稱為無窮大簡稱為無窮大) )；如果相應(yīng)的函數(shù)；如果相應(yīng)的函數(shù)值值)(xf ( (或或)(xf) )無限增大， 則稱無限增大， 則稱)(xf為該自變量變化為該自變量變化過程中的正過程中的正( (或負(fù)或負(fù)) )無窮大無窮大 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù))(xf是是0 xx 時 的 無 窮 大 ， 記 作時 的 無 窮 大 ， 記 作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時

24、的正無窮大，記作時的正無窮大，記作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的負(fù)無窮大，記作時的負(fù)無窮大，記作)(lim0 xfxx 對于自變量對于自變量 x 的其的其他變換過程中的無他變換過程中的無窮大量，正無窮大量，負(fù)無窮大量窮大量，正無窮大量，負(fù)無窮大量可用類似的方法描可用類似的方法描 六、無窮大量六、無窮大量述述 值值得得注注意意的的是是，無無窮窮大大量量是是極極限限不不存存在在的的一一種種情情形形，這這里里借借用用極極限限的的記記號號，但但并并不不表表示示極極限限存存在在 例例 x1是是 0 x時的負(fù)無窮大量；用記號表示為時的負(fù)無窮大量；用記號表示為 ,1lim0 x

25、x 2x是是x時的正無窮大量，用記號表時的正無窮大量，用記號表示為示為 2limxx. . 2 2 無無窮窮大大與與無無窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系 定理定理 7 7 ( (無窮大與無窮小的關(guān)系無窮大與無窮小的關(guān)系) ) 在自變量在自變量的變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的的變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小，恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大無窮小的倒數(shù)為無窮大 例例 7 7 自自變變量量在在怎怎樣樣的的變變化化過過程程中中，下下列列函函數(shù)數(shù)為為無無窮窮大大： (1) (1) 11xy； (2)(2) 12 xy； (3) (3) xyln； (4)(4) xy2 解解 ( (1 1) )因因為

26、為0) 1(lim1xx， 即即1x時時 1x為為無無窮窮小小量量，所所以以11x為為1x時時的的無無窮窮大大量量； (2) (2) 因為因為0)121(limxx，所以，所以x時時121x為無窮為無窮小量，所以小量，所以12 x為為x時的無窮大量；時的無窮大量； (3) (3) 由右圖知，由右圖知， 0 x時，時，xln，xxlnlim0 x時 ，時 ，xln， 即， 即xxlnlim 所以，所以， 0 x 及及x時，時，xln都是無窮大量；都是無窮大量； O y x 1 x y ln 思思考考題題 在在Axfxx)(lim0的的定定義義中中，為為何何只只要要求求)(xf在在的的0 x的的某

27、某個個空空心心鄰鄰域域),(0 xN內(nèi)內(nèi)有有定定義義？ xxxsinlim是是否否存存在在，為為什什么么？ ( (4 4) )因因為為02limxx，即即x時時x2為為無無窮窮小小量量，因因此此xx221為為x時時的的無無窮窮大大量量； 設(shè)設(shè))(limxf及及)(limxg都都存存在在（假假定定x在在同同一一變變化化過過程程中中） ，則則有有下下列列運(yùn)運(yùn)算算法法則則： 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 下下面面我我們們來來

28、證證明明法法則則，其其他他證證法法類類同同 七、極限運(yùn)算法則七、極限運(yùn)算法則證證 設(shè)設(shè)BxgAxf)(lim,)(lim，則則知知 BxgAxf)(,)(（ ，都都是是無無窮窮小小量量） 于于是是 )()()()(BAABBAxgxf 由由無無窮窮小小的的性性質(zhì)質(zhì)知知 BA仍仍為為無無窮窮小小，再再由由極極限限與與無無窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系，得得 )()(limxgxfAB= =)(lim)(limxgxf 例例 求求) 143(lim22xxx 解解 514lim3lim) 143(lim22222xxxxxxx 例例 求求2342lim221xxxx 解解 因因 為為05)23(lim21xx, , 所所 以以 .53)23(lim)42(lim2342lim2121221xxxxxxxxx 例例 求求45127lim224xxxxx 解解 當(dāng)當(dāng)4x時時，分分子子分分母母都都為為，故故可可約約去去公公因因式式 （4x） .3113lim)4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxxxxxxxxxxxx例例 4 4 求求2332lim22xxxxx. . 解解 32213312lim2332lim2222xxxxxxxxxx 一一般般地地 ., 0,lim00110110nmnm