虛擬變量模型電子教案

1、虛擬變量模型一、虛擬變量的基本含義一、虛擬變量的基本含義 許多經(jīng)濟(jì)變量是可以定量度量可以定量度量的，如：如：商品需求量、價(jià)格、收入、產(chǎn)量等 但也有一些影響經(jīng)濟(jì)變量的因素?zé)o法定量度量無(wú)法定量度量，如：如：職業(yè)、性別對(duì)收入的影響，戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害對(duì)GDP的影響，季節(jié)對(duì)某些產(chǎn)品（如冷飲）銷售的影響等等。 為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”， 這種“量化”通常是通過(guò)引入“虛擬變量”來(lái)完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構(gòu)造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱為虛擬變量虛擬變量（dummy variables），記為D。 例如例如，反映文程度的虛擬變量可取為，反映文程度的

2、虛擬變量可取為： 1， 本科學(xué)歷 D= 0， 非本科學(xué)歷 一般地，在虛擬變量的設(shè)置中： 基礎(chǔ)類型、肯定類型取值為基礎(chǔ)類型、肯定類型取值為1； 比較類型，否定類型取值為比較類型，否定類型取值為0。概念：概念： 同時(shí)含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱為虛擬同時(shí)含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱為虛擬變量模型或者方差分析變量模型或者方差分析（analysis-of variance: ANOVA）模型模型。 一個(gè)以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：iiiiDXY210其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。 二、虛擬變量的引入二、虛擬變量的引入 虛擬變量

3、做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式加法方式和乘法方式乘法方式。iiiiXDXYE10)0,|( 企業(yè)男職工的平均薪金為：企業(yè)男職工的平均薪金為：iiiiXDXYE120)() 1,|( 上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。 在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則 企業(yè)女職工的平均薪金為：企業(yè)女職工的平均薪金為： 1 1、加法方式、加法方式幾何意義：幾何意義： 假定20，則兩個(gè)函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對(duì)教齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。 可以通過(guò)傳統(tǒng)的回歸檢驗(yàn)，對(duì)2的統(tǒng)計(jì)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平

4、是否有顯著差異。 年薪 Y 男職工 女職工 工齡 X02 又例又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，考慮個(gè)人保健支出對(duì)個(gè)人收入和教育水平的回歸。 教育水平考慮三個(gè)層次：高中以下， 高中， 大學(xué)及其以上 011D 其他高中 012D 其他大學(xué)及其以上模型可設(shè)定如下：iiiDDXY231210 這時(shí)需要引入兩個(gè)虛擬變量： 在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大學(xué)及其以上教育水平下個(gè)人保健支出的函數(shù)： 高中以下：iiiXDDXYE1021)0, 0,|( 高中：iiiXDDXYE12021)()0, 1,|( 大學(xué)及其以上：iiiXDDXYE13021)() 1, 0,|( 假定32，其幾何意義： 大

5、學(xué)教育 保健 高中教育 支出 低于中學(xué)教育 收入 還可將多個(gè)虛擬變量引入模型中以考察多種還可將多個(gè)虛擬變量引入模型中以考察多種“定定性性”因素的影響。因素的影響。 如如在上述職工薪金的例中，再引入代表學(xué)歷的虛擬變量D2：iiiDDXY231210012D本科及以上學(xué)歷本科以下學(xué)歷職工薪金的回歸模型可設(shè)計(jì)為：女職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：iiiXDDXYE13021)() 1, 0,|(女職工本科以上學(xué)歷的平均薪金：iiiXDDXYE132021)() 1, 1,|(iiiXDDXYE1021)0, 0,|(iiiXDDXYE12021)()0, 1,|(于是，不同性別、不同學(xué)歷職工的平均薪金分

6、別為：男職工本科以下學(xué)歷的平均薪金：男職工本科以上學(xué)歷的平均薪金： 2 2、乘法方式、乘法方式 加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同截距的不同， 許多情況下：往往是斜率就有變化，或斜率、截或斜率、截距同時(shí)發(fā)生變化距同時(shí)發(fā)生變化。 斜率的變化可通過(guò)以乘法的方式引入虛擬變量來(lái)斜率的變化可通過(guò)以乘法的方式引入虛擬變量來(lái)測(cè)度測(cè)度。 例例：根據(jù)消費(fèi)理論，消費(fèi)水平C主要取決于收入水平Y(jié)，但在一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期，人們的消費(fèi)傾向會(huì)發(fā)生變化，尤其是在自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等反常年份，消費(fèi)傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費(fèi)傾向的變化可通過(guò)在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來(lái)考察。tttttXDXC210 這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引

7、入了模型中，從而可用來(lái)考察消費(fèi)傾向的變化。 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函數(shù)可化為： 正常年份：ttttXDXCE)() 1,|(210 反常年份：ttttXDXCE10)0,|(如，設(shè)01tD反常年份正常年份消費(fèi)模型可建立如下： 當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時(shí)，則需要同時(shí)引入加當(dāng)截距與斜率發(fā)生變化時(shí)，則需要同時(shí)引入加法與乘法形式的虛擬變量法與乘法形式的虛擬變量。 例例5.1.1，考察1990年前后的中國(guó)居民的總儲(chǔ)蓄-收入關(guān)系是否已發(fā)生變化。 表5.1.1中給出了中國(guó)19792001年以城鄉(xiāng)儲(chǔ)蓄存款余額代表的居民儲(chǔ)蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。表表 5.1.1 19792001 年中國(guó)居

8、民儲(chǔ)蓄與收入數(shù)據(jù)年中國(guó)居民儲(chǔ)蓄與收入數(shù)據(jù)（億元）（億元）90年前儲(chǔ)蓄GNP90年后儲(chǔ)蓄GNP19792814038.21991910721662.51980399.54517.8199211545.426651.91981523.74860.3199314762.434560.51982675.45301.8199421518.846670.01983892.55957.4199529662.357494.919841214.77206.7199638520.866850.519851622.68989.1199746279.873142.719862237.610201.4199853407

9、.576967.219873073.311954.5199959621.880579.419883801.514922.3200064332.488228.119895146.916917.8200173762.494346.419907034.218598.4 以Y為儲(chǔ)蓄，X為收入，可令： 1990年前： Yi=1+2Xi+1i i=1,2,n1 1990年后： Yi=1+2Xi+2i i=1,2,n2 則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1) 1=1 ，且2=2 ，即兩個(gè)回歸相同，稱為重合回重合回歸歸（Coincident Regressions）；(2) 11 ,但2=2 ，即兩個(gè)回歸的

10、差異僅在其截距，稱為平行回歸平行回歸（Parallel Regressions）;(3) 1=1 ，但22 ，即兩個(gè)回歸的差異僅在其斜率，稱為匯合回歸匯合回歸(Concurrent Regressions)；(4) 11，且22 ，即兩個(gè)回歸完全不同，稱為相相異回歸異回歸（Dissimilar Regressions）。 可以運(yùn)用鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗(yàn)鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗(yàn)。這一問(wèn)題也可通過(guò)引入乘法形式的虛擬變量來(lái)解決。 將n1與n2次觀察值合并，并用以估計(jì)以下回歸：iiiiiiXDDXY)(4310Di為引入的虛擬變量：01iD于是有：iiiiXXDYE10), 0|(iiiiXXDYE)()(),

11、 1|(4130可分別表示1990年后期與前期的儲(chǔ)蓄函數(shù)。年后年前9090 在統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中，如果4=0的假設(shè)被拒絕，則說(shuō)明兩個(gè)時(shí)期中儲(chǔ)蓄函數(shù)的斜率不同。 具體的回歸結(jié)果為：具體的回歸結(jié)果為： (-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55) 由3與4的t檢驗(yàn)可知：參數(shù)顯著地不等于0，強(qiáng)烈示出兩個(gè)時(shí)期的回歸是相異的， 儲(chǔ)蓄函數(shù)分別為：儲(chǔ)蓄函數(shù)分別為：1990年前：1990年后：iiiiiXDDXY4765. 03 .138028881. 0154522R=0.9836iiXY4116. 07 .1649iiXY8881. 015452 3 3、臨界指標(biāo)的虛擬變量的引入、臨界指標(biāo)的虛擬變

12、量的引入 在經(jīng)濟(jì)發(fā)生轉(zhuǎn)折時(shí)期，可通過(guò)建立臨界指標(biāo)的虛擬變量模型來(lái)反映。 例如，例如，進(jìn)口消費(fèi)品數(shù)量Y主要取決于國(guó)民收入X的多少，中國(guó)在改革開(kāi)放前后，Y對(duì)X的回歸關(guān)系明顯不同。 這時(shí)，可以t*=1979年為轉(zhuǎn)折期，以1979年的國(guó)民收入Xt*為臨界值，設(shè)如下虛擬變量：01tD*tttt則進(jìn)口消費(fèi)品的回歸模型可建立如下：則進(jìn)口消費(fèi)品的回歸模型可建立如下：ttttttDXXXY)(*210 OLS法得到該模型的回歸方程為法得到該模型的回歸方程為則兩時(shí)期進(jìn)口消費(fèi)品函數(shù)分別為：tttttDXXXY)(*210當(dāng)tt*=1979年，ttXY10當(dāng)tt*=1979年，titXXY)()(21*20三、虛擬變

13、量的設(shè)置原則三、虛擬變量的設(shè)置原則 虛擬變量的個(gè)數(shù)須按以下原則確定：虛擬變量的個(gè)數(shù)須按以下原則確定： 每一定性變量所需的虛擬變量個(gè)數(shù)要比該定性變每一定性變量所需的虛擬變量個(gè)數(shù)要比該定性變量的類別數(shù)少量的類別數(shù)少1，即如果有，即如果有m個(gè)定性變量，只在模型個(gè)定性變量，只在模型中引入中引入m-1個(gè)虛擬變量。個(gè)虛擬變量。 例例。已知冷飲的銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個(gè)虛擬變量即可：011tD其他春季012tD其他夏季013tD其他秋季則冷飲銷售量的模型為： 在上述模型中，若再引入第四個(gè)虛擬變量ttttktkttDDDXXY332211110014tD其他冬季則冷飲銷售模型變量為：tttttktkttDDDDXXY44332211110其矩陣形式為：D)(X,Y 如果只取六個(gè)觀測(cè)值，其中春季與夏季取了如果只取六個(gè)觀測(cè)值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀測(cè)值，則式中的：兩次，秋、冬各取到一次觀測(cè)值，則式中的： 顯然，(X,D)中的第1列可表