橢圓的標準方程與性質(zhì)

1、橢圓的標準方程與性質(zhì) 教學(xué)目標：1了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì). 高考相關(guān)點： 在高考中所占分數(shù)：13分 考查出題方式：解答題的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知識點有：求曲線方程，弦長，面積，對稱關(guān)系，范圍問題，存在性問題。涉及到的基礎(chǔ)知識1引入橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|=2c)的點的軌跡叫做橢圓這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：有以下3種情況(1)若ac，則

2、集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0，1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2題型總結(jié)類型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1：如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，

3、然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線D圓【解析】根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線.可推斷出,進而可以知道結(jié)果為定值,進而根據(jù)橢圓的定義推斷出點P的軌跡【答案】根據(jù)題意知,CD是線段MF的垂直平分線. ,(定值),又顯然,根據(jù)橢圓的定義可推斷出點P軌跡是以F、O兩點為焦點的橢圓.所以A選項是正確的練習：已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且1，若PF1F2的面積為9，則b_【解析】由題意的面積故答案為：【答案】3練習2：已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，在AF1B中，若有兩邊之和是10

4、，則第三邊的長度為()A6B5C4D3【解析】由橢圓方程知，橢圓的長軸，則周長為16，故第三邊長為6.所以正確答案為A.【答案】A類型二求橢圓的標準方程例2：在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為_【解析】設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由e，知，故.由于ABF2的周長為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28，橢圓C的方程為1.【答案】1練習1：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直

5、線交橢圓E于A，B兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_【答案】x2+3y2/2=1類型三橢圓的幾何性質(zhì)例3：如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為_【解析】直線A1B2的方程為1，直線B1F的方程為1，二者聯(lián)立，得T(，)，則M(，)在橢圓1(a>b>0)上，c210ac3a20，e210e30，解得e25.【答案】25練習1：已知A、B是橢圓1(ab0)和雙曲線1(a0，b0)的公共頂點P是雙曲線上的動點，M是橢圓

6、上的動點(P、M都異于A、B)，且滿足()，其中R，設(shè)直線AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k1、k2、k3、k4，k1k25，則k3k4_【解析】設(shè)出點P、M的坐標，代入雙曲線和橢圓的方程，再利用已知滿足及其斜率的計算公式即可求出【答案】A，B是橢圓和雙曲線的公共頂點，（不妨設(shè)）A（-a，0），B（a，0）設(shè)P（x1，y1），M（x2，y2），其中R，（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=（x2+a，y2）+（x2-a，y2），化為x1y2=x2y1P、M都異于A、B，y10，y20由k1+k2=5，化為，（*）又，代入（*）化為k3+k4=，又，k3+k4=-5故答案為-5類型四直線與

7、橢圓的位置關(guān)系例4：(2014·四川卷)已知橢圓C：1(ab0)的左焦點為F(2，0)，離心率為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)O為坐標原點，T為直線x3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P，Q.當四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積【解析】（1）根據(jù)已知條件求得和的值，于是可得的值，即得到橢圓的標準方程；（2）設(shè)出點坐標和直線和的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)邊角關(guān)系得到平行四邊形底邊的長和對應(yīng)的高，代入面積的表達式即可得到結(jié)論。【答案】（1）由已知可得，所以。又由，解得，所以橢圓的標準方程是。（2）設(shè)點的坐標為，則直線的斜率。當時

8、，直線的斜率，直線的方程是。當時，直線的方程是，也符合的形式。設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得。消去，得。其判別式，所以，。因為四邊形是平行四邊形，所以，即。所以，解得。此時，四邊形的面積。練習1：(2014·陜西卷)已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，左、右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：yxm與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足，求直線l的方程【解析】（1）根據(jù)橢圓上的一點和離心率建立方程，求出橢圓方程中的參數(shù)。（2）根據(jù)圓心到直線的距離求出的長度，建立直線和橢圓的方程組求出的長度，根據(jù)和的關(guān)

9、系求出?！敬鸢浮坑深}設(shè)知解得，所以橢圓的方程為。（2）由題設(shè)，以為直徑的圓的方程為，所以圓心到直線的距離，由得。所以。設(shè)，由得。由求根公式可得，。所以，由得，解得，滿足。所以直線的方程為或。類型五圓錐曲線上點的對稱問題例5：橢圓E經(jīng)過點A(2，3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e，其中F1AF2的平分線所在的直線l的方程為y2x1.(1)求橢圓E的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由【解析】（1）由定義法代入即可得答案。（2）假設(shè)存在直線，先設(shè)出直線方程代入，與橢圓方程聯(lián)立后得到矛盾，即可?！敬鸢浮浚?）設(shè)橢圓E的方程為+=

10、1,由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.橢圓方程具有形式+=1.將A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2,橢圓E的方程為+=1.（2）解法一:假設(shè)存在這樣的兩個不同的點B(x1,y1)和C(x2,y2),BCl,kBC=-.設(shè)BC的中點為M(x0,y0),則x0=,y0=,由于M在l上, 故2x0-y0-1=0.又B,C在橢圓上,所以有+=1與+=1.兩式相減,得+=0,即+=0.將該式寫為·+··=0, 并將直線BC的斜率kBC和線段BC的中點表示代入該表達式中,得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.×2-得x0=2,y0=3

11、,即BC的中點為點A, 而這是不可能的.不存在滿足題設(shè)條件的點B和C.解法二:假設(shè)存在B(x1,y1),C(x2,y2)兩點關(guān)于直線l對稱,則lBC,kBC=-.設(shè)直線BC的方程為y=-x+m,將其代入橢圓方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,即x2-mx+m2-12=0.則x1與x2是該方程的兩個根.由韋達定理得x1+x2=m,于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,B,C的中點坐標為.又線段BC的中點在直線y=2x-1上,=m-1,得m=4.即B,C的中點坐標為(2,3),與點A重合,矛盾.不存在滿足題設(shè)條件的相異兩點.練習1：(2014·湖南)如圖，正方形ABCD和正

12、方形DEFG的邊長分別為a，b(a<b)，原點O為AD的中點，拋物線y22px(p>0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則_.【解析】由題可得C(),F(),因為C,F在拋物線上,代入拋物線可得,故填?！敬鸢浮肯乱恢v講解范圍，面積類型的題。隨堂檢測1.（2015年高考福建卷）已知橢圓的右焦點為短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）ABCD【答案】A2.已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為_【答案】13.橢圓T：1(a>b>0)的左、右焦

13、點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓T的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_【答案】14已知雙曲線x21的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為_【答案】-25.(2014·包頭測試與評估)已知橢圓1的左頂點為A，左焦點為F，點P為該橢圓上任意一點；若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率e，則·的取值范圍是_【答案】0,126.已知橢圓C1：1(ab0)的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，MN是圓C2：x2(y3)21的一條直徑，與AF平行且在y軸上的截距為3的直線l恰好與圓C2相切(1

14、)求橢圓C1的離心率；(2)若·的最大值為49，求橢圓C1的方程【答案】（1)由題意可知直線l的方程為bxcy(3)c0，因為直線l與圓C2：x2(y3)21相切，所以d1，即a22c2，從而e.(2)設(shè)P(x，y)，圓C2的圓心記為C2，則1(c>0)，又·()·()x2(y3)21(y3)22c217(cyc)當c3時，(·)max172c249，解得c4，此時橢圓方程為1；當0<c<3<時，(·)max(c3)2172c249，解得c±53但c53<0，且c53>3，故舍去綜上所述，橢圓C1的

15、方程為1.課下作業(yè)基礎(chǔ)鞏固1.以橢圓兩焦點為直徑端點的圓，交橢圓于四個不同點，順次連結(jié)這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率等于()A.B.C.D.1【答案】C2.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，橢圓上有一點P與這兩個焦點張成90度的角，且PF1F2>PF2F1，若橢圓離心率為，則PF1F2：PF2F1為()A1：5B1：3C1：2D1：【答案】A3.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|3，則P點到橢圓左焦點的距離為()A4B3C2D5【答案】A4.已知橢圓的焦距為4，則m等于()A4B8C4或8D以上均不對【答案】C5.與圓C1：(x3)2y21外切，且與圓C2：(x3)2y281內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為_【答案】6若橢圓與雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍為_【答案】（0,1）7.已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且離心率互為倒數(shù)若雙曲線右支上一點P到右焦點F2的距