從數(shù)與字母的聯(lián)結(jié)與思考看代數(shù)思維的培養(yǎng)

1、從“數(shù)與字母”的聯(lián)結(jié)與思考看代數(shù)思維的培養(yǎng)【摘 要】本文以人民教育出版社“義務(wù)教育教科書”小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第五單元“簡(jiǎn)易方程”的若干內(nèi)容為范本，以用字母表示數(shù)等為課例，根據(jù)教學(xué)中、作業(yè)中等學(xué)生出現(xiàn)的一系列與“數(shù)與字母”教學(xué)相關(guān)的問題，結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐與聽課感悟，探討并介紹相應(yīng)的教學(xué)嘗試、感悟及其策略。【關(guān)鍵詞】 數(shù) 字母 字母表示數(shù) 代數(shù)思維 引子：數(shù)與代數(shù)是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。作為數(shù)學(xué)“核心思想”的代數(shù)思維，最早是以“簡(jiǎn)易方程”的內(nèi)容呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而此階段學(xué)生正從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡，對(duì)他們來說代數(shù)思維是思維認(rèn)知上的一次飛躍和挑戰(zhàn)，存在著一定的困難。這個(gè)階段主要是讓學(xué)生體

2、會(huì)代數(shù)思維的特點(diǎn)，熟悉代數(shù)處理問題的方法，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展，更好地培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的能力。一、對(duì)“數(shù)”與“字母”學(xué)與教的理解概述“數(shù)”對(duì)于學(xué)生來說，經(jīng)過生活經(jīng)驗(yàn)的積累和近四年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，孩子們對(duì)于數(shù)的概念的理解是從具體的實(shí)物開始的：比如1個(gè)布娃娃用數(shù)字“1”表示，5只小牛用數(shù)字“5”表示。雖然具體的實(shí)物的多少已經(jīng)用抽象的數(shù)字來表示，但是在頭腦中，孩子們對(duì)于數(shù)的理解還是停留在具體的數(shù)、是可知的、可以確定數(shù)量的數(shù)。教學(xué)中，很多老師認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過各類運(yùn)算定律和各類面積用字母表示的方法，也認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)有了一定的抽象思維的能力，所以在教學(xué)中我們經(jīng)常采用教材中的關(guān)于年齡

3、的素材來建立數(shù)與字母之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)生對(duì)數(shù)與字母的思維方式。這種強(qiáng)化式的記憶一時(shí)來說達(dá)到了效果，但是后面的問題接踵而至，特別是讓學(xué)生解方程和用方程解決問題時(shí)，學(xué)生的代數(shù)思維能力大打折扣。這就要求我們來尋找產(chǎn)生問題的“根”？這或許就是我們沒有找準(zhǔn)當(dāng)初的“因”，才產(chǎn)生了如今尷尬的“果”，也就是我們必須在學(xué)生學(xué)習(xí)第一堂課用字母表示數(shù)時(shí)讓學(xué)生扎好“數(shù)與字母”聯(lián)結(jié)的“根”。二、對(duì)“數(shù)與字母”教學(xué)的思考與實(shí)踐我們知道學(xué)生經(jīng)過四年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大量地進(jìn)行了算術(shù)思維的訓(xùn)練。而代數(shù)思維具有高度的抽象性，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解決問題，需要顛覆他們以前的一些觀念，尋找一種與原先思維逆向思考的方式進(jìn)行思考，可謂困難重重。但

4、是很多教學(xué)“重結(jié)果，輕過程；重形式，輕思維”，自認(rèn)為已經(jīng)經(jīng)歷了過程，其實(shí)過程留于形式，導(dǎo)致學(xué)生“知其然，卻不知其所以然，模模糊糊”。問題的根源在課堂，回歸課堂，深思慎教，尋“因”找“根”。以下是筆者在實(shí)踐中由若干問題引發(fā)的一系列思考與實(shí)踐，以觸類旁通，找尋教學(xué)的真諦。思考1：教材的年齡素材，找準(zhǔn)了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)了嗎？在教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)使用這樣的類似年齡的素材或者情境（見下圖）來展開教學(xué)。在這樣的教學(xué)中會(huì)有學(xué)生提出問題：“a+30到底等于多少？”分析：這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于運(yùn)算客體的擴(kuò)充無所適從。如代數(shù)式中的a+30即可被視為a和30相加的運(yùn)算過程，也可被視為一個(gè)運(yùn)算結(jié)果，但是學(xué)生無法理解這個(gè)可以表

5、示結(jié)果，也表示他們之間的關(guān)系。這樣的教學(xué)，我們是否應(yīng)該思考教學(xué)素材的問題：小紅的年齡、爸爸的年齡是可知的嗎？爸爸與小紅之間的年齡之差是確定的嗎？而我們教學(xué)所要達(dá)到的效果是讓學(xué)生建立當(dāng)小紅的年齡是a歲時(shí)，爸爸的年齡是a+30歲，a+30既要表示爸爸的年齡，又體現(xiàn)爸爸的年齡與小紅的年齡之間的關(guān)系，也就是a+30既要表示一個(gè)數(shù)，也要表示一種關(guān)系，即要建立用字母來表示數(shù)的一種形式，同時(shí)建立數(shù)與字母的聯(lián)結(jié)。那么這樣的教學(xué)能真正達(dá)到所要表達(dá)的效果嗎？答案是值得商榷的?！緦?duì)策】 在“豐富感知”中，找準(zhǔn)最近發(fā)展區(qū)小學(xué)生的思維以形象為主，逐步向抽象過渡。筆者認(rèn)為教師應(yīng)以直觀形象的教學(xué)為起點(diǎn)，在具體事物、用數(shù)來表

6、示具體可確定事物、用字母來表示不確定事物間的溝通聯(lián)系中架設(shè)學(xué)習(xí)的橋梁，在具體可知、可確定的狀態(tài)下逐步向不可確定的狀態(tài)下過渡，同時(shí)建立數(shù)與字母的聯(lián)結(jié)。通過多種途徑豐富學(xué)生的感知，幫助學(xué)生建立清晰、深刻的“數(shù)與字母”的聯(lián)結(jié)，喚醒、激活學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維，從而成功實(shí)現(xiàn)建立“數(shù)與字母”的關(guān)系表象，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。1、關(guān)注“數(shù)”的起點(diǎn)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和四年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)給了學(xué)生很多的關(guān)于“數(shù)”的強(qiáng)化熏陶。許多孩子認(rèn)為，“數(shù)”是一個(gè)表示具體事物有多少，是可確定的和已知的，讓他們頭腦中一下子建立字母也表示數(shù)的多少，對(duì)孩子們來說簡(jiǎn)直是不可思議的，于是就出現(xiàn)了思維上的偏差和混亂。如教學(xué)用字母表示數(shù)一位教

7、師采用了出示兒歌：“1只青蛙1張嘴；2只青蛙2張嘴；3只青蛙3張嘴”師：同學(xué)們讀一讀，能接著說下去嗎？說得完嗎？那能不能用一句話來概括呢？生：有多少只青蛙就有多少?gòu)堊臁煟哼€可以用字母來表示，比如，（n）只青蛙（ ）張嘴，怎么填？生：（n）只青蛙（n）張嘴。師：很好，那么如果讓你繼續(xù)填下去，（n）只青蛙（n）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。應(yīng)該怎樣填？生：（n）只青蛙（n）張嘴，（n）只眼睛（n）條腿。師：還有嗎？生：（n）只青蛙（n）張嘴，（a）只眼睛（b）條腿。到這里為止，學(xué)生的代數(shù)思維有了向前發(fā)展，但是孩子們的這種思維還是比較混沌的，搞不清里面所存在的關(guān)系。如果能夠梳理清楚讓孩子們建立“數(shù)

8、”“字母”（即已知確定未知不確定）的思維聯(lián)系，那么學(xué)生的思維就清晰了。比如一位特級(jí)教師是這樣上的：師：（出示一個(gè)空的信封）這個(gè)可以用什么表示？ 生：0師：（放入一支粉筆）現(xiàn)在可以怎么表示？ 生：1。師：（再放入兩支粉筆）現(xiàn)在可以怎么表示？ 生：3。師：（將信封放到講臺(tái)底下躲起來放若干粉筆，再把信封拿上來）現(xiàn)在可以怎么表示？生：5 生：6生：4生：8生：10生：n生：不知道師：為什么會(huì)有這么多答案？他們說的都對(duì)嗎？你真的知道現(xiàn)在里面放了幾只粉筆了嗎？生：無法確定師：對(duì)了，確定的我們用數(shù)字表示，不確定的我們用字母表示，可以用a來表示，也可以用b來表示。這樣的教學(xué)找準(zhǔn)了學(xué)生“數(shù)”的起點(diǎn)，找準(zhǔn)了學(xué)生思

9、維發(fā)展的路徑，為建立“數(shù)與字母”的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，并滲透了代數(shù)思維。2、重視“字母”內(nèi)涵學(xué)生對(duì)于“字母”的理解很多是生活經(jīng)驗(yàn)和其他學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（比如數(shù)學(xué)運(yùn)算定律、面積計(jì)算公式，英語26個(gè)字母等），對(duì)孩子們來說用字母表示數(shù)，一下子幾乎難于接受，字母怎么就是數(shù)呢？為此筆者做了一個(gè)學(xué)前問卷。（見下圖）從學(xué)生的問卷我們可以看出學(xué)生的思維還帶有形象思維的特征，生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知使孩子們對(duì)“字母”的理解還很膚淺，這就要求我們幫助孩子建立用“字母”來表示數(shù)的內(nèi)涵。一位特級(jí)老師是這樣來解決這個(gè)問題的。師：（出示第二個(gè)信封，將信封放到講臺(tái)底下躲起來放若干粉筆，再把信封拿上來）現(xiàn)在有幾根粉筆？生：a根師：怎么又

10、是a根呢？（拿出第一個(gè)信封）難道和它一樣嗎？生：b根師：你們覺得用a表示好還是用b表示好？生：b師：對(duì)，不同的情況可以用不同的字母表示，那么a和b誰大呢？生：a大生：b大生：一樣大生：不知道師：遇到這樣的情況，以后不要說不知道，你可以說有三種可能分別是ab、ab、ab師：下面我來考考大家（請(qǐng)一位學(xué)生上來），你有幾根頭發(fā)？生：a根師：我有幾根頭發(fā)（指著自己半禿的頭問）？生：a根師：是a根嗎？生（馬上改口）：b根師：現(xiàn)在你能告訴我a和b誰大嗎？生：有三種情況，分別是ab、ab、ab師：真是這樣子的嗎？（全班哄堂大笑）師：你們?yōu)槭裁创笮Π?？生：?yīng)該是ab師：對(duì)，不同的情況用不同的字母表示，不同的字母

11、表示的時(shí)候在不同的情況下是有大小的。這樣的教學(xué)讓孩子們經(jīng)歷了字母表示數(shù)所詮釋的內(nèi)涵。不同的情況要用不同的字母表示，不同的字母在不同的情況下表示數(shù)是有大小的，真正溝通了數(shù)的大小和字母表示多少之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的代數(shù)思想。思考2：為什么學(xué)生解方程時(shí)仍舊會(huì)出現(xiàn)算術(shù)思維呢？學(xué)生經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，頭腦中已經(jīng)非常多的強(qiáng)化了算術(shù)思維，對(duì)一下子轉(zhuǎn)換到用代數(shù)思維去解方程非常得不適應(yīng)，即使老師更多地有意強(qiáng)化它，但學(xué)生對(duì)于利用等式性質(zhì)來解方程還是存在著模式化痕跡，對(duì)等式的意義理解還很膚淺。下面是筆者在教學(xué)方程的意義和解方程后一位學(xué)生的作業(yè)。 這位學(xué)生采用遞等式做計(jì)算題的方式來解方程，可以讓我們看出他已經(jīng)掌

12、握了一點(diǎn)方程的意義和解方程的方法，但還是模模糊糊。在他的頭腦中或許已經(jīng)有這樣的意識(shí)：就是要利用等式的性質(zhì)來解方程。但是，他對(duì)解方程的方法還是模式化的，沒有真正掌握利用等式的性質(zhì)來解方程，還帶有算術(shù)思維的較強(qiáng)痕跡。學(xué)生用這種算術(shù)形式解方程，讓我們感到我們的教學(xué)肯定存在著問題?！緦?duì)策】在“不斷浸泡”中，理解等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)是解方程的重要知識(shí)支撐，學(xué)生只有真正掌握了、吃透了等式的性質(zhì)，才能真正采用代數(shù)的思維來解方程。之所以會(huì)出現(xiàn)這種形式化的和算術(shù)形式的解方程，是因?yàn)楹⒆觽儗?duì)等式的性質(zhì)、意義沒有理解透徹，只是建立了膚淺的，表面化的、形式化和模式化的方法，喜歡去套格式。這就要求我們把孩子們的思維在等

13、式的性質(zhì)中“泡”透，“吃飽喝足”方能“正確趕路”。1、做厚等式性質(zhì)教材中關(guān)于等式性質(zhì)的教學(xué)例題比較簡(jiǎn)單，且只安排1個(gè)課時(shí)，加上練習(xí)最多也就2個(gè)課時(shí)，這樣的素材和課時(shí)要想扭轉(zhuǎn)長(zhǎng)期以來學(xué)生建立的算術(shù)思維，難度是非常大的。這就要求我們需要借助多種手段和方法，深挖教材，溝通“數(shù)與字母”在等式性質(zhì)中的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生真正吃透等式的性質(zhì)。比如一位老師在教學(xué)等式的性質(zhì)是這樣的：師：（出示天平圖，如右下圖）如果把平衡中的天平看成一個(gè)等式，可以用什么來描述天平現(xiàn)在的狀況？生： 20=20師：如果左邊加10克，要使天平繼續(xù)平衡，你準(zhǔn)備怎么辦?在這個(gè)過程中你用什么來描述剛才發(fā)生的情況？生：在右邊也加上10克，可以寫

14、成20+10=20+10師：如果在天平右邊繼續(xù)加50克，要使天平繼續(xù)平衡，你怎么辦?在這個(gè)過程中你準(zhǔn)備怎樣描述？生：在左邊也加上50克，可以寫成20+10+50=20+10+50師：現(xiàn)在天平兩邊都有80克了，現(xiàn)在同時(shí)拿掉20克，你怎么表示這個(gè)過程和結(jié)果？生：80-20=80-20師：再同時(shí)拿掉10克呢？生：80-20-10=80-20-10師：觀察20=20，20+10=20+10，20+10+50=20+10+50，80-20=80-20，80-20-10=80-20-10，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：等式的兩邊只要同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，大小是不變的這一環(huán)節(jié)中等式的性質(zhì)仍需借助天平來幫助理解，所以

15、通過天平直觀演示活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)到天平左右兩邊同時(shí)加上或減去相同質(zhì)量，天平保持平衡，初步體會(huì)等式的性質(zhì)。天平只是個(gè)載體，目的是通過直觀去感受變化特點(diǎn)，讓學(xué)生較快地從天平走向等式，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思想。師：（出示另一個(gè)天平圖，如右下圖）請(qǐng)你用一個(gè)等式來表示天平現(xiàn)在的狀況？生：x+20=10+20+20師：如果左邊再加上10克，要使兩邊平衡，該怎么辦？你怎么表示這個(gè)過程和結(jié)果？生：x+20+10=10+20+20+10師：如果這時(shí)候左邊再加上x克，要使天平繼續(xù)平衡，你怎么辦？請(qǐng)寫出你的等式。生：右邊也加上x克，可以寫成x+20+10+x=10+20+20+10+x師：左邊如拿掉20克，繼續(xù)平衡該怎么

16、辦？該怎么表示？生：右邊也拿掉20克，表示為x+20+10+x-20=10+20+20+10+x-20師：如果右邊現(xiàn)在拿掉x克，該怎么辦？該怎么表示？生：左邊也拿掉x克，可以寫成x+20+10+x-20-x=10+20+20+10+x-20-x生：就是變成了x+20+10-20 =10+20+20+10-20師：如果左邊繼續(xù)拿掉x克呢？生：右邊也要拿掉x克，可以這樣表示x+20+10-20-x =10+20+20+10-20-x生：太復(fù)雜了，可以寫的簡(jiǎn)單點(diǎn)就是10=40-x師：請(qǐng)同學(xué)們觀察剛才所有的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：等式的左右兩邊可以同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)。生：還可以同時(shí)加上或減去一個(gè)

17、相等質(zhì)量的物體，比如我們同時(shí)加上了x克，減去了x克。師：對(duì)，我們可以在等式的兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)可以是具體的數(shù)字，也可以是未知的數(shù)字，如字母x或者字母a等，還可以是符號(hào)、等，只要兩邊加上或者減去的是同一個(gè)就行。借助天平讓學(xué)生列出等式，圍繞“在這個(gè)等式中怎么變化？但變化后等式仍然成立。”這個(gè)問題，促使學(xué)生利用前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探索應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在比較、分析、抽象、概括等思維活動(dòng)中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)等式的一般規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。這樣的教學(xué)巧妙地溝通了“數(shù)與字母”在等式性質(zhì)中的聯(lián)系，為學(xué)生利用等式的性質(zhì)來解方程打下了良好的基礎(chǔ)。2、做薄解題技巧教材中和作業(yè)中關(guān)于解方程的類型和技巧都是分散的

18、、凌亂的，即使在復(fù)習(xí)與練習(xí)中也沒有進(jìn)行歸納和小結(jié)，孩子們解方程往往很“散”（即胡亂套用），形式也很散亂，有遞等式形式的、有遞等式和方程一起出現(xiàn)形式的，沒有形成統(tǒng)一的格式、方法和技巧，造成了“神”散“形”散的現(xiàn)狀，這就要求我們要在教學(xué)中善于給孩子們歸納總結(jié)，找到共性的方法和技巧。第一，聚“神”散為“神”不散，歸納類型。根據(jù)本冊(cè)課本和作業(yè)本出現(xiàn)的方程，將解方程歸納為以下幾類：（1）5+x=20；（2）5x=20；（3）20÷x=5；（4）5x±520；（5）5（x±5）=40；（6）5x±4 x90；（7）5x±6×1090；（8）（20

19、+2 x）×5=500；（9）（200-2 x）×5=500；（10）（20+2 x）÷5=100、（200-2 x）÷5=20等方程。不管怎樣類型的方程，都要讓孩子們進(jìn)行嘗試解答，在解答過程中反思?xì)w納，無論哪種類型的解方程，都要把一個(gè)未知數(shù)或未知數(shù)所在式子看成一個(gè)整體，采用等式的性質(zhì)，逐步消去已知數(shù)，最后求出X的值。第二，聚“形”散為“形”不散，統(tǒng)一格式。每次解方程要先寫“解” ； “=”要對(duì)齊，每個(gè)等式占一行；根據(jù)等式的性質(zhì)，使方程左邊只剩下x;最后檢驗(yàn)，把 x 值代入原方程，看看左右兩邊是否相等。思考3：本該用方程來解決的問題，學(xué)生為什么喜歡用算術(shù)

20、思維來解決？在教學(xué)中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)、方程的意義、解方程、用方程解決問題等后還是喜歡用算術(shù)思維來解決問題，這究竟是什么原因?qū)е碌哪?？為此筆者在學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程這個(gè)單元之前，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了學(xué)前問卷，發(fā)現(xiàn)孩子們算術(shù)思維非常明顯。（見下圖）通過問卷，發(fā)現(xiàn)孩子們喜歡用算術(shù)思維來列方程。（見左圖）產(chǎn)生這種狀況的主要原因，筆者認(rèn)為主要是教學(xué)上出了問題，沒有真正把“數(shù)與字母”的內(nèi)在聯(lián)結(jié)讓學(xué)生吃透，學(xué)生只浮在知識(shí)的表面，只有讓學(xué)生真正理解、浸潤(rùn)吃透了“數(shù)與字母”的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，搞清數(shù)量關(guān)系，才能用代數(shù)的思維來列方程?！緦?duì)策】在“不斷感悟”中，建立數(shù)量關(guān)系孩子們經(jīng)過多年的學(xué)習(xí)，已經(jīng)強(qiáng)化和習(xí)慣了采用算術(shù)

21、思維來解決問題，要一下子用代數(shù)的思維來解決問題，需要經(jīng)歷一個(gè)感悟、發(fā)現(xiàn)的過程，在未知和已知之間逼出和建立聯(lián)系，制造聯(lián)結(jié)，這樣才能讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)用方程解決問題。1、理解式子意義教材中在學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)時(shí)其實(shí)已經(jīng)孕伏著方程的意義。如果在教學(xué)第一課時(shí)用字母表示數(shù)時(shí)，滲透孕伏方程的意義，逼出數(shù)與字母的關(guān)系，學(xué)生理解起來就水到渠成了。一位特級(jí)教師在用字母表示數(shù)時(shí)是這樣教學(xué)的：師：孩子們，現(xiàn)在會(huì)場(chǎng)里有多少人?。可篴人。師：學(xué)生有多少人?。可?6人。師：老師有多少人??？生：b人。師：是b人嗎？生：c人。師：現(xiàn)在不能用b人、c人或者其他字母來表示老師的人數(shù)，那你怎么來表示老師的人數(shù)?。可嚎梢杂胊-56表

22、示老師人數(shù)。師：那你從a-56中看出了什么??？生：a-56可以表示老師的人數(shù)生：a-56還可以表示老師人數(shù)和總?cè)藬?shù)相差56人。生：還可以看出學(xué)生人數(shù)是56人。通過這樣的教學(xué)，在理解式子的意義中，吃透未知和已知的關(guān)系，建立“數(shù)與字母”的聯(lián)結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，從而為真正理解方程作好蟄伏。2、吃透數(shù)量關(guān)系在列方程的教學(xué)中，我們最感到束手無策的是學(xué)生的方程問題列不出來，其關(guān)鍵是數(shù)量關(guān)系無法梳理，等量關(guān)系建立不起來。如“故宮面積是72萬平方米，比天安門廣場(chǎng)面積的2倍少16萬平方米。天安門廣場(chǎng)面積是多少萬平方米？”。我們老師認(rèn)為數(shù)量關(guān)系非常明確“天安門廣場(chǎng)的面積×216=72”，而有相當(dāng)部分的學(xué)生就是找不到，往往是列出“2X=72-16”對(duì)