拉格朗日中值定理及應(yīng)用ppt課件

1、3.3.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理定理定理3.3 (拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得)()()( fabafbf 3.3 拉格朗日中值定理及其應(yīng)用拉格朗日中值定理及其應(yīng)用若函數(shù)若函數(shù) f (x) 滿足滿足:ab1 2 xoy)(xfy ABCD幾何解釋幾何解釋: :分析分析: : 化為羅爾定理的結(jié)論形式化為羅爾定理的結(jié)論形式,0)()()( xxabafbfxf使使得得欲欲證證存存在在),(ba 在曲線弧在曲線弧AB上

2、至少上至少有一點(diǎn)有一點(diǎn)C, 在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切線平行于弦線平行于弦AB.證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)xabafbfxfxF )()()()(,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在ba, 0)()()( abafbff ).)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式. 0)( F使使得得即即或或,),()(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在設(shè)設(shè)baxf)10( ,)()()( xxxfxfxxfy則有則有),(,baxxx 推論推論1 設(shè)設(shè),),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在babaxf.,)(, 0)(上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)在在

3、則則若若baxfxf ,)(21條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xxxf證證, ,21baxx )(),)()()(211212xxxxfxfxf , 0)(, 0)( fxf由由),()(21xfxf .)(為為常常數(shù)數(shù)即即xf,21xx 不妨設(shè)不妨設(shè)例例1 1 證明當(dāng)證明當(dāng).4arcsin2111arctan,1 xxxx有有時(shí)時(shí)證證,40arcsin1arctan)0( fC221121)1(211211111)(xxxxxxxf )1 , 1(,)( xCxf),1 , 1(, 0 x)1 , 1(,arcsin2111arctan)( xxxxxf令令1,4arc

4、sin2111arctan xxxx 而而故故,1lnln1bbabaa ).0( ,ln babbabaaba例例2 2 證明證明),(ab 所以所以證證,)(條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在abxf).0( ,ln babbabaaba令令,ln)(xxf ,1)(xxf ,111ba 由由.lnln1)(babaf 使使得得故故證證21, 0cos 上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在又又x12coscos. )( ,cossinsin21111212xxxxxx 命題得證命題得證. .)( ,cossinsin32222323xxxxxx ,0321時(shí)時(shí) xxx,sin3221

5、條條件件上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xxxxx23231212sinsinsinsinxxxxxxxx 例例3 3 證明當(dāng)證明當(dāng)例例4 4 設(shè)設(shè)證證明明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在,),(,)(babaxf證證，設(shè)設(shè))()(xxfxF 上使用上使用在在對對,)(baxF拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理, ,)()()()( ffabaafbbf ),(ba 使得使得),()()( FabaFbF 即即).()()()( ffabaafbbf 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,),( ba,),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在babaxF例例4 4 設(shè)設(shè)證證明

6、明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在,),(,)(babaxf另證另證證證，設(shè)設(shè)kxxxfxF )()(令令上使用上使用在在對對,)(baxF羅爾定理羅爾定理, ,)()()()( ffabaafbbf ,)()(kabaafbbf 整理得整理得,)()(kaaafkbbbf ),(ba 使得使得. 0)( F故故).()()()( ffabaafbbf ，0)()( kff 即即使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,),( ba推論推論2,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf，內(nèi)內(nèi)如如果果在在0)(),()2( xfba)(xf則函數(shù)則函數(shù)單調(diào)遞增單調(diào)遞增;單調(diào)遞減單調(diào)遞減.3.3.2

7、 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性, 0)(),()1( xfba內(nèi)內(nèi)如如果果在在)(xf則函數(shù)則函數(shù)在在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).證證 (1),21baxx ,21xx 且且由拉格朗日定理由拉格朗日定理),)()()(1212xxfxfxf 內(nèi)，內(nèi)，若在若在),(ba, 0)( f則則),()(12xfxf .,)(上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在故故baxf)(21xx , 0)( xf在在a, b上上在在a, b上上解解例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性. . 1)( xexfx1)( xexf,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0)( xf單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；所以函數(shù)在所以函數(shù)在0 ,(,), 0(

8、內(nèi)內(nèi)在在.), 0單單調(diào)調(diào)遞遞增增所所以以函函數(shù)數(shù)在在 ).,(定義域?yàn)槎x域?yàn)樽⒆?: 推論推論2對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確對于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確., 0)( xf注注2: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如例如, ,3xy , 00 xy.),(上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增但但在在 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法: :不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn)的根及的根及用方程用方程)(0)(xfxf 若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,)(的的定定義義區(qū)區(qū)間間劃劃分分函函數(shù)數(shù)xf然后判定區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)然后判定區(qū)間

9、內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的符號(hào).的分界點(diǎn)的分界點(diǎn)則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),可能是單調(diào)區(qū)間可能是單調(diào)區(qū)間解解)0(,32)(3 xxxf,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x32xy )0 ,(), 0( x)(xf)(xf ).,(定義域?yàn)槎x域?yàn)閤yO導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在.例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性. . 32)(xxf 單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；函數(shù)在函數(shù)在所以所以0 ,(,.), 0單單調(diào)調(diào)遞遞增增在在 解解. 8, 0)( xxf得得令令).,(定義域?yàn)槎x域?yàn)?0 ,()8 , 0(), 8( x)(xf)(xf 例例6 6 討論函數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性. . 323)(xxxf 321)(xxf ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在;)0(,233 xxx上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增；函函數(shù)數(shù)在在所所以以), 8,0 ,(, .8 , 0上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減在在3)1(, 1)0( ff)1 . 0(, 0223)(2 xxxxf由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,例例7 7 討論方程討論方程 在在 內(nèi)的實(shí)根內(nèi)的實(shí)根. .01223 xxx)1 , 0(，令令12)(23 xxxxf解解原方程在原方程在 內(nèi)至少有一實(shí)內(nèi)至少有一實(shí)根根. .)1 , 0(,)1 , 0)(,上上單單調(diào)