材料力學第三章

1、1 1、螺絲刀桿工作時受扭、螺絲刀桿工作時受扭。 Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉的工程實例一、扭轉的工程實例第三章 扭 轉 1 1 概概 述述 2 2、汽車構件中的扭轉、汽車構件中的扭轉3 3、機器中的傳動軸工作時受扭。、機器中的傳動軸工作時受扭。4 4、工程構件工作時受扭、工程構件工作時受扭變形特征變形特征：桿件的各橫截面環(huán)繞軸線發(fā)生相對的轉動。受力特征受力特征：在桿的兩端垂直于桿軸的平面內，作用著一對力偶，其力偶矩相等、方向相反。二、扭轉的概念二、扭轉的概念主要發(fā)生扭轉變形的桿主要發(fā)生扭轉變形的桿軸軸( (圓軸圓軸) )。一、一、薄壁圓筒薄壁圓筒橫截面上的應力橫截面上的應力0

2、101rt , r0：為平均半徑）(壁厚壁厚2 2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉注意紅線的含義:圓周線、縱向線1 1、實驗：、實驗：2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個角度?？v向線縱向線仍為直線，只是傾斜了同一個角度仍為直線，只是傾斜了同一個角度 ，小方格變成了平行四邊形，小方格變成了平行四邊形。結論：結論：, 0000橫截面上橫截面上可認為：可認為：薄壁圓筒薄壁圓筒橫截面上的應力橫截面上的應力切應力沿壁厚均勻分布切應力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑

3、方向。根據(jù)對稱性可知切應力沿圓周均勻分布根據(jù)對稱性可知切應力沿圓周均勻分布；,Dt DtMenndA nnMeT 扭矩TrdAA AAdA r0r0r 02 r 202 rT 02AT薄壁圓筒橫截面上的切應力計算式薄壁圓筒橫截面上的切應力計算式3 3、薄壁圓筒的內力分析以及應力計算、薄壁圓筒的內力分析以及應力計算（截面法分析內力的合力的類型和方向截面法分析內力的合力的類型和方向）llr0做薄壁圓筒的扭轉試驗可得trMe202一方面,pG)1 (2EG在彈性范圍內在彈性范圍內切應力切應力與與切應變切應變成正比關系成正比關系剪切虎克定律剪切虎克定律另一方面：Me正比于切變模量切變模量在幾何上右右

4、圖圖m)(N954910303nPnPMe30)(nMMdtdMdtMddtdWPeeee一、外力偶矩計算一、外力偶矩計算 設：設：軸的轉速軸的轉速 n 轉分轉分 (r(rmin) min) ，其中其中某一輪傳輸?shù)墓β誓骋惠唫鬏數(shù)墓β蕿椋簽椋?P 千瓦千瓦( KW ） 實際作用于該輪的外力偶矩實際作用于該輪的外力偶矩 Me ，則，則3 3 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩- -扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖分清輪子、輪軸、軸承圓軸受扭時其橫截面上的圓軸受扭時其橫截面上的內力偶矩內力偶矩稱為稱為扭矩扭矩，用符號，用符號T 表示。表示。eMT 11TTMe Me AB11BMe AMe 11x二、扭轉桿

5、件的內力二、扭轉桿件的內力扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖1 1、扭轉桿件的內力扭轉桿件的內力（截面法分析內力的合力的類型和方向截面法分析內力的合力的類型和方向）2 2、扭矩的符號規(guī)定、扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷 右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向與截面的外法線方向相同與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負值。負值。T+T-雙矢量表示法3 3、扭矩圖：、扭矩圖：表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。扭矩圖扭矩圖

6、作法：類比軸力圖作法：類比軸力圖圖示圓軸中， M16M M2M M32M M43M 畫扭矩圖。M3 M1 M2 M4 ABCD6M 5M 3M 一計算各輪上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31MmkN78. 4mN)1001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：M1 M2 M3 M3 ABCD 例例 2一傳動軸如圖，轉速一傳動軸如圖，轉速n = 300r/min； 主動輪輸入的功率主動輪輸入的功率P1= 500kW，三個從動輪輸出的功率分別為：，三個從動輪輸出的功率分別為： P2= 150kW， P3= 15

7、0kW， P4= 200kW。試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 二、分別計算各段的扭矩二、分別計算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩圖扭矩圖Tmax = 9.56 kNm 在在BC段內段內M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 圖(kNm)mkN78. 41Tm9.56kN2TmkN37. 63TmxMTA mlMA （m m單位長度內的扭轉力偶矩）單位長度內的扭轉力偶矩）例例3 3 試作出圖示給定坐標軸的桿件的扭矩

8、圖試作出圖示給定坐標軸的桿件的扭矩圖)(xlmT 1、求約束反力（?是否必須）2、截面法求扭矩如果讓你自己建立坐標系呢？一、一、薄壁圓筒薄壁圓筒橫截面上的應力橫截面上的應力0101rt , r0：為平均半徑）(壁厚壁厚2 2 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉注意紅線的含義:圓周線、縱向線1 1、實驗：、實驗：2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個角度。形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個角度?？v向線縱向線仍為直線，只是傾斜了同一個角度仍為直線，只是傾斜了同一個角度 ，小方格變成了平行四邊形，小方格變成了平行四邊形。結論：結論：,

9、0000橫截面上橫截面上可認為：可認為：薄壁圓筒薄壁圓筒橫截面上的應力橫截面上的應力切應力沿壁厚均勻分布切應力沿壁厚均勻分布, , 且方向垂直于其半徑方向。且方向垂直于其半徑方向。根據(jù)對稱性可知切應力沿圓周均勻分布根據(jù)對稱性可知切應力沿圓周均勻分布；,Dt DtMenndA nnMeT 扭矩TrdAA AAdA r0r0r 02 r 202 rT 02AT薄壁圓筒橫截面上的切應力計算式薄壁圓筒橫截面上的切應力計算式3 3、薄壁圓筒的內力分析以及應力計算、薄壁圓筒的內力分析以及應力計算（截面法分析內力的合力的類型和方向截面法分析內力的合力的類型和方向）llr0做薄壁圓筒的扭轉試驗可得trMe20

10、2一方面,pG)1 (2EG在彈性范圍內在彈性范圍內切應力切應力與與切應變切應變成正比關系成正比關系剪切虎克定律剪切虎克定律另一方面：Me正比于切變模量切變模量在幾何上幾何上 ？應力與內力間的關系 ？一、一、等直圓桿（圓軸等直圓桿（圓軸- -實心）實心）扭轉時橫截面上的應力扭轉時橫截面上的應力一）、幾何關系一）、幾何關系：由實驗找出變形規(guī)律由實驗找出變形規(guī)律應變的變化規(guī)律應變的變化規(guī)律1 1、實驗：、實驗： 4 等直圓桿扭轉時的應力.強度條件紅線的含義圓周線縱向線觀察變形規(guī)律：觀察變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，圓周線只是繞軸線轉形狀、大小、間距不變，圓周線只是繞軸線轉動了一個不同

11、的角度。動了一個不同的角度。（相對扭轉角）（相對扭轉角）縱向線縱向線傾斜了傾斜了同一個角度同一個角度，小方格變成，小方格變成了平行四邊形。了平行四邊形。（切應變）（切應變）等直圓桿的扭轉平面假設等直圓桿的扭轉平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀 、大小以及間距不變，半徑仍為直線。剛性平面、大小以及間距不變，半徑仍為直線。剛性平面繞軸轉動繞軸轉動。定性分析橫截面上的應力定性分析橫截面上的應力00（1）00（2）因為同一圓周上因為同一圓周上剪（切）應變剪（切）應變相同，所以相同，所以同一圓周上切應力同一圓周上切應力大小相等，并且方向垂直于其大小相等

12、，并且方向垂直于其半徑方向。半徑方向。推廣到任意半徑圓推廣到任意半徑圓周周幾何上：剪（切）應變規(guī)律幾何上：剪（切）應變規(guī)律dxRddxDDtgtgxdddxdd取取微段微段微段扭轉微段扭轉變形變形 d D圓周線上切應變半徑上切應變bcd楔形體楔形體O1O2ABCD 為為研究對象研究對象dxd二）物理關系二）物理關系：由應變的變化規(guī)律由應變的變化規(guī)律應力的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律PmaxG滿足剪切胡克定律 GdxdG同截面切應力同截面切應力大小線性變化方向垂直于半徑大小線性變化方向垂直于半徑d / / dx相對相對扭轉角沿桿長度的變化率扭轉角沿桿長度的變化率彈性范圍內彈性范圍內dxd單位長度扭轉角

13、 )1 (2EG切變模量26判別下面截面上剪應力分布是否正確。T aT bT cT d三）靜力關系：三）靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系由橫截面上的扭矩與應力的關系應力的計算公式應力的計算公式ATAdAIApd2xGI Tpdd 代入物理關系式代入物理關系式 得：得：xGdd pIT可求：線彈性（等直圓桿）圓軸扭轉時橫截面上任一點可求：線彈性（等直圓桿）圓軸扭轉時橫截面上任一點pGITx dd AxGAddd2扭轉變形計算式扭轉變形計算式截面的極慣性矩Ip剪（切）應力計算式剪（切）應力計算式令dA橫截面上橫截面上 maxmaxmaxPPITIT（抗扭截面模量抗扭截面模量）扭轉截面系數(shù)）扭

14、轉截面系數(shù)整個圓軸上整個圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmaxI Ip p截面的極慣性矩（面積的截面的極慣性矩（面積的2 2次矩）次矩），單位：，單位：二、等直圓桿（圓軸二、等直圓桿（圓軸) )中中max的確定的確定44, mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PWpITPWTmax三、圓截面的極慣性矩三、圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實心圓截面：實心圓截面：Odd16,323p4pdWdI223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2

15、dA4432dD 44132DDdDdOd注意：對于空心圓截面注意：對于空心圓截面33p16dDW16132143p44pDWDI31解:4338 .011616 DdWWpbpa1921693718011334. dD955.15115.018 .01192.1114422222DdQQba839. 0192. 118 . 01444DdGIGIPbPapWTdD(a)(b)3-2 材料及長度相同的兩根圓軸，一根為實心圓軸，直徑為d，一根為空心圓軸，內外徑比值0.8，外徑為D，求它們受扭時，具有相同最大切應力（相同強度時）的重量比及剛度比。重量比剛度比 平衡嗎？平衡嗎？從受扭的圓桿表面處截取

16、一微小的正六面體從受扭的圓桿表面處截取一微小的正六面體單元體單元體zyddzxddMe Me xyzabOcddxdydz0yF0zM0 xFyzxxzydddddd?存在存在得得切應力互等定理切應力互等定理切應力互等定理切應力互等定理 單元體在其兩對互相單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應力垂直的平面上只有切應力而無正應力的狀態(tài)稱為而無正應力的狀態(tài)稱為純純剪切應力狀態(tài)剪切應力狀態(tài)。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的兩個面上，切在相互垂直的兩個面上，切應力總是成對出現(xiàn)，并且大小應力總是成對出現(xiàn)，并且大小相相等，等，方向同時指向或同時背離兩方向同時指向或同時背離兩個面的交線個面

17、的交線。試根據(jù)切應力互等定理，判斷圖中所示的各單元體上的試根據(jù)切應力互等定理，判斷圖中所示的各單元體上的切應力是否正確。切應力是否正確。kN10kN20kN10kN20TT斜截面的應力AAefsindA cosdAdA xn ef0 F 0cossinsincos dAdAdA0 F0sinsincoscos dAdAdA 2sin 2cos 2sin 2cos討論:045 max450045 min450maxmin0045 0045 00000max00低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45 的螺旋線斷開。的螺旋線斷開。 材料抗

18、拉能力差，構件沿材料抗拉能力差，構件沿4545斜截面因拉應斜截面因拉應力而破壞（脆性材料）。力而破壞（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，構件材料抗剪切能力差，構件沿橫截面因切應力而發(fā)生破壞沿橫截面因切應力而發(fā)生破壞(塑性材料）；塑性材料）；1 1、強度條件、強度條件：2 2、強度條件應用、強度條件應用：1 1）校核強度）校核強度: : .)1 (16,16433空心空心實心實心DDWPPWTmaxmax PWmaxT2 2）設計截面尺寸）設計截面尺寸: :3 3）確定外荷載）確定外荷載: :maxTPWeM七、七、 強度條件強度條件max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截

19、面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑 d1=120mm，BC段直徑 d2=100mm 。扭轉力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應力t = 80MPa ，試校核該軸的強度。解解： 1、求內力，作出軸的扭矩圖、求內力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段段1p1max, 1WT2 2、計算軸橫截面上的最大切應力并校核強度、計算軸橫截面上的最大切應力并校核強度MPa8 .64mm12016mmN102236MP

20、a80即該軸滿足強度條件。即該軸滿足強度條件。2214T圖（kNm）例例 已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試根據(jù)強度條件設計實心圓軸與 a = 0.9 的空心圓軸。解：解：1. 確定確定實心圓軸直徑實心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 2. 確定空心圓軸內、外徑確定空心圓軸內、外徑 )1 (161643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68Dd mm 68 mm 76 dD，?。喝。?. 重量比較重量比較%5 .394)(4222ddD空心軸遠比空

21、心軸遠比實心軸輕實心軸輕43p116DW1 1、扭轉變形、扭轉變形dxGITLP扭轉角單位：弧度（扭轉角單位：弧度（radrad） GIP抗扭剛度抗扭剛度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT單位長度扭轉角單位長度扭轉角mrad一、一、 扭轉桿的變形計算扭轉桿的變形計算扭矩不變的等直軸扭矩不變的等直軸PGITdxd各段扭矩為不同值的階梯軸各段扭矩為不同值的階梯軸3-5 3-5 等直圓桿扭轉時的變形等直圓桿扭轉時的變形 剛度條件剛度條件相對扭轉角相對扭轉角- -兩個端面兩個端面2 2、剛度條件：、剛度條件： maxmaxPGIT 0maxmax180PGIT3 3、剛度條件應用：、剛度條件應

22、用：1)1)、校核剛度、校核剛度； max max pGTI 3)3)、確定外荷載、確定外荷載: :2)2)、設計截面尺寸、設計截面尺寸: : maxpGITmm例例3-53-5 已知：已知：MA = 955 N.m， MB = 1592 N.m， MC = 637 N.m，Ip= 3105 mm4，lAB = 300mm， lBc = 500mm ,G = 80 Gpa，軸的直徑為，軸的直徑為70mm， AC？mN9551AMTmN 3762CMTrad 101.523-p1GIlTABrad 101.693-p2GIlTCBBCABACrad 107 .11069.1101.52-4-3-3 例3-6 例題3-1中傳動軸由45號鋼制成，已知空心軸內外徑之比d/D1/2，許可單位扭轉角為0.3（。）/m,試按強度和剛度條件設計此軸的外徑D。G80GPa，40MPa。43116 DWP maxTWP max43116TD 34max116TDmm109 max pGTI 44132D .5mm12511803244maxGTD 6 等直圓桿扭轉時的應變能 xyzdxdzdy dxdydzdW 21單元體外力作功dxdydz 21 dVdW 應變能密度dVd