機械振動5多自由度系統(tǒng)的振動5-6

1、120)()(ttKqqM 的向量。為廣義坐標其中), 2 , 1)()(nitqtiq），和初速度個初始條件（初位移如果給定)0()0(2qqn響應(yīng)。，即系統(tǒng)對初值條件的就完全確定了一組特解）（15 . 5慣性耦合，方程，包括彈性耦合和一般來說，上式是耦合個微分方程組）。解聯(lián)立方程組（在給定初始條件下要求n個單自由度方程。耦合項，成理想的情況是方程組無n消除耦合。的，可通過坐標變換，耦合項是由坐標系決定3，的固有振型矩陣為假設(shè)方程uKqqM0)()(tt 稱為固有坐標向量，令)()()(tttuq左乘方程兩邊，得：代入方程后，并用Tu）（35 . 5，得到：坐標變換若用正則振型矩陣進行)()

2、(ttuq個單自由度方程。成）都是解耦的方程組，）和（n55 . 535 . 50)()(ttTTKuuMuu 0)()(ttrrKM 矩陣模態(tài)剛度矩陣，是對角分別為模態(tài)質(zhì)量矩陣和和式中rrKM0)()(tt ）（55 . 54始條件的響應(yīng)：，由此可得各坐標對初均為單自由度振動方程), 2 , 1()(sin)(cos)(00nitttiiiiii）（65 . 5)()()()(1tttt-quuq，得到：由為：各正則坐標的初始條件寫出分量形式：把0)()(tt ）（105 . 5), 2 , 1(0)()(2nittiii 移和初始速度。是各正則坐標的初始位和其中00ii件為：所以正則坐標的

3、初始條)()()()(ttttTTMquMuuq，得到：左乘或由00qMuT，00MquT), 2 , 1(0)(00)(0niTiiTii，qMuMqu）（115 . 55), 2 , 1()(sin)(cos)(00nitttiiiiii解：）（65 . 5的表達式：因此原坐標的解)(tq）（125 . 5), 2 , 1(0)()(2nittiii ), 2 , 1(0)(00)(0niTiiTii，其中qMuMqu）（105 . 5niiiiiiiniiittttt100)(1)()(sin)(cos)()()(uuuqniiiTiiTiitt10)(0)()(sincosqMuMqu

4、u的響應(yīng)，和初始速度向量位移向量上式表達了系統(tǒng)對初始00qq。個簡諧運動疊加而成的是由n6例例5.5-1：求系統(tǒng)的響應(yīng)：求系統(tǒng)的響應(yīng)解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：2001mM2112322221kkkkkkkK頻率方程為：頻率方程為：0)(22222mkkkmkMKm1m2k3k1q1q2k2，kkkk321.2,21mmmm. 0)0(,)0(, 0)0()0(20121qvqqq系統(tǒng)的特征值問題：系統(tǒng)的特征值問題：0)(2uMK系統(tǒng)的運動方程：系統(tǒng)的運動方程：0)()(ttKqqM 7頻率方程展開為：頻率方程展開為：03622242kkmm代入特征值問題：代入

5、特征值問題：系統(tǒng)的固有頻率：系統(tǒng)的固有頻率：.538188. 131123,796226. 03112321mkmkmkmk0)(22)(2)(122iiiiuumkkkmk0)(20)2()(22)(1)(2)(12iiiiiiumkkukuumk)2 , 1( i得固有振型：得固有振型：,366025. 10 . 1)1(u,366025. 00 . 1)2(u8固有振型：固有振型：,366025. 10 . 1)1(u,366025. 00 . 1)2(u求正則振型：求正則振型：mmmMT732049. 4366025. 10 . 1200366025. 11)1()1(1MuummmM

6、T267949. 1366025. 00 . 1200366025. 01)2()2(2Muu,627963. 0459701. 01366025. 10 . 111)1(mMu,325057. 0888074. 01366025. 00 . 112)2(mMu9由由(5.5-12)給出的響應(yīng)：給出的響應(yīng)：其中：其中：0200627963. 0459701. 01/796226. 01100)1(1vmmmmkTTqMuniiiTiiTiittt10)(0)()(sincos)(qMuMquuq初始條件：初始條件：. 0)0(,)0(, 0)0()0(20121qvqqqniiTiiit10)

7、()(sin1qMuu0200325057. 0888074. 01/538188. 11100)2(2vmmmmkTTqMu,577350. 00kmv,577350. 00kmv10由由(5.5-12)給出的響應(yīng)：給出的響應(yīng)：其中：其中：,577350. 0100)1 (1kmvTqMuniiiTiiitt10)()(sin1)(qMuuq,577350. 0100)2(2kmvTqMutmkkmvmt796226. 0sin577350. 0627693. 0459701. 01)(0qtmkkmvm538188. 1sin577350. 0325057. 0888074. 010tmk

8、vkm796226. 0sin362555. 0265408. 00tmkvkm796226. 0sin187672. 0512730. 0011固有正則振型：固有正則振型：,627963. 0459701. 01)1(mu,325057. 0888074. 01)2(mu令系統(tǒng)的正則坐標為令系統(tǒng)的正則坐標為)(t將系統(tǒng)的運動方程將系統(tǒng)的運動方程:0)()(TttuKqqM左乘 )()(ttuq其中其中,325057. 0888074. 0627963. 0459701. 01mu0)()(ttTTKuuMuu 0)()(tt ，即0)()(1211tt 0)()(2222tt )2 , 1(

9、)(sin)(cos)(00itttiiiiii解為：也可以直接變換方程和初始條件求解也可以直接變換方程和初始條件求解12正則坐標下系統(tǒng)的響應(yīng)正則坐標下系統(tǒng)的響應(yīng))()(ttuq,325057. 0888074. 0627963. 0459701. 01mu)2 , 1()(sin)(cos)(00itttiiiiii解為：)2 , 1(00)(00)(0iTiiTii，其中qMuMqu,0200325057. 0888074. 0627963. 0459701. 0102010vmmmqMuT0650114. 0888074. 0255926. 1459701. 00vm888074. 04

10、59701. 00vm(5.5-7)ttkmvtt21021sin577350. 0sin577350. 0)()(13正則坐標下系統(tǒng)的響應(yīng)：正則坐標下系統(tǒng)的響應(yīng)：)()(ttuq,325057. 0888074. 0627963. 0459701. 01muttkmvttt21021sin577350. 0sin577350. 0)()()(原坐標下系統(tǒng)的響應(yīng)：原坐標下系統(tǒng)的響應(yīng)：325057. 0888074. 0627963. 0459701. 01)(mtqttkmv210sin577350. 0sin577350. 0ttttvkm21210sin187672. 0sin362555

11、. 0sin521730. 0sin265408. 0.538188. 1,796226. 021mkmk其中，14模態(tài)疊加法小結(jié)：模態(tài)疊加法小結(jié)：物理空間物理空間0qKqM 耦合耦合正則坐標空間正則坐標空間)()(ttTMqu)()(ttuq02iii 解耦解耦155.6 影響系數(shù)影響系數(shù)許多工程結(jié)構(gòu)可以簡化為多個質(zhì)量和彈簧組成的離散線性系統(tǒng)許多工程結(jié)構(gòu)可以簡化為多個質(zhì)量和彈簧組成的離散線性系統(tǒng)研究這種系統(tǒng)的運動時，不僅要知道系統(tǒng)的質(zhì)量特性，也要知研究這種系統(tǒng)的運動時，不僅要知道系統(tǒng)的質(zhì)量特性，也要知道系統(tǒng)的剛度特性，這些特性以影響系數(shù)的形式包含在運動微道系統(tǒng)的剛度特性，這些特性以影響系數(shù)的

12、形式包含在運動微分方程之中。分方程之中。 事實上剛度系數(shù)應(yīng)該更恰當?shù)胤Q為剛度影響系數(shù)事實上剛度系數(shù)應(yīng)該更恰當?shù)胤Q為剛度影響系數(shù)，而與之對應(yīng)的為柔度影響系數(shù)。而與之對應(yīng)的為柔度影響系數(shù)?？梢灶A(yù)計這兩類影響系數(shù)是密可以預(yù)計這兩類影響系數(shù)是密切相關(guān)的，他們是從相反的角度描述作用力與變形的關(guān)系。切相關(guān)的，他們是從相反的角度描述作用力與變形的關(guān)系。下面用實例說明他們的關(guān)系：剛度矩陣與柔度矩陣互逆。下面用實例說明他們的關(guān)系：剛度矩陣與柔度矩陣互逆。16考慮一個簡單的離散模型考慮一個簡單的離散模型系統(tǒng)平衡時，各質(zhì)點系統(tǒng)平衡時，各質(zhì)點mi的坐標的坐標 xi ，在力，在力Fi作用下，位移為作用下，位移為uimi

13、uimjmnujxixjiFjF1. 柔度影響系數(shù)（柔度系數(shù)）柔度影響系數(shù)（柔度系數(shù)）柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)aij定義為：定義為：由施加在由施加在x = xj 處的單位力處的單位力Fj =1所引起的所引起的 x = xi 處的位移處的位移。一個一個n 自由度系統(tǒng)有自由度系統(tǒng)有n個廣義坐標，有個廣義坐標，有n個位移，所以有個位移，所以有 n n個柔度系數(shù)個柔度系數(shù)aij ( i,j=1,2,n ),組成組成 n 階方陣階方陣柔度矩陣柔度矩陣aij 17柔度矩陣柔度矩陣由于系統(tǒng)是線性的，位移與作用力成正比由于系統(tǒng)是線性的，位移與作用力成正比 ，所以當，所以當x=xj點施點施寫成矩陣形式寫成矩陣形

14、式： ), 2 , 1, (njiaijA加任意大小力加任意大小力Fj時，在點時，在點x=xi引起的位移為引起的位移為aij Fj。由疊加原理，把每個力所引起的位移簡單地相加即可得到由由疊加原理，把每個力所引起的位移簡單地相加即可得到由所有的力所有的力Fj時時(j=1,2,n)引起的在引起的在x=xi點的位移為點的位移為ui, ), 2 , 1(1niFaunjjijiAFu 這是用柔度矩陣表示的位移方程。這是用柔度矩陣表示的位移方程。)36 . 5(182. 剛度影響系數(shù)（剛度系數(shù)）剛度影響系數(shù)（剛度系數(shù)）miuimjmnujxixjiFjF剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)kij定義為：定義為：僅在

15、僅在x = xj 處產(chǎn)生一個單位位移處產(chǎn)生一個單位位移uj =1,而在而在 x xj 的所有其它的所有其它一個一個n 自由度系統(tǒng)有自由度系統(tǒng)有n個廣義坐標，有個廣義坐標，有n個單位位移，而每個單個單位位移，而每個單1,2,n ), 組成組成 n 階方陣階方陣剛度矩陣剛度矩陣kij 點的位移為零時，在點的位移為零時，在x = xi 處所需施加的力。處所需施加的力。位位移對應(yīng)著位位移對應(yīng)著n個剛度系數(shù)，所以有個剛度系數(shù)，所以有 n n個剛度系數(shù)個剛度系數(shù)kij ( i, j =19剛度矩陣剛度矩陣由于系統(tǒng)是線性的，位移與作用力成正比由于系統(tǒng)是線性的，位移與作用力成正比 ，所以當，所以當x=xj點產(chǎn)

16、點產(chǎn)寫成矩陣形式寫成矩陣形式： ), 2 , 1, (njikijK生任意大小的位移生任意大小的位移uj時，時，由疊加原理，在所有點產(chǎn)生任意位移由疊加原理，在所有點產(chǎn)生任意位移uj時，在點時，在點x=xi所需施所需施), 2 , 1(1niukFnjjijiKuF 這是用剛度矩陣表示的力方程。這是用剛度矩陣表示的力方程。加的力加的力Fi (i=1,2,n)為為在點在點x=xi所需施加的力應(yīng)為所需施加的力應(yīng)為kij uj。)66 . 5(203. 剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關(guān)系剛度系數(shù)與柔度系數(shù)的關(guān)系對于僅有一個彈簧的單自由度系統(tǒng)，對于僅有一個彈簧的單自由度系統(tǒng)，剛度系數(shù)與柔度系數(shù)剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互

17、互即即剛度矩陣與柔度矩陣剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣。互為逆矩陣。對于多自由度系統(tǒng)，由（對于多自由度系統(tǒng)，由（5.6-3）和（）和（5.6-6）：）：KuF 但對于半正定系統(tǒng)，剛度矩陣是奇異的，不存在逆矩陣。但對于半正定系統(tǒng)，剛度矩陣是奇異的，不存在逆矩陣。為倒數(shù)。為倒數(shù)。AFu KAFKuFIKA 11-KAAK，（5.6-7）（5.6-8）所以半正定系統(tǒng)不存在柔度矩陣。所以半正定系統(tǒng)不存在柔度矩陣。 半正定系統(tǒng)某點施加力后，半正定系統(tǒng)某點施加力后，無法維持平衡，而產(chǎn)生剛體運動，故柔度系數(shù)無物理意義。無法維持平衡，而產(chǎn)生剛體運動，故柔度系數(shù)無物理意義。21所以半正定系統(tǒng)只能用剛度矩陣來建立振

18、動微分方程，所以半正定系統(tǒng)只能用剛度矩陣來建立振動微分方程，對對m1施加單位力施加單位力F1=1,用柔度矩陣建立振動微分方程只能用于正定系統(tǒng)。用柔度矩陣建立振動微分方程只能用于正定系統(tǒng)。例例5.6-1 根據(jù)定義計算柔度矩陣和剛度矩陣根據(jù)定義計算柔度矩陣和剛度矩陣而而F2=F3=0，見右下圖。，見右下圖。在在 x = xi 處所引起的位移處所引起的位移：m2u12u3u1k2k3k1m3mm2u12u3u1k2k3k1m3m1F,/111ku ,/11132kuuu,/11111kua解：先求柔度系數(shù)解：先求柔度系數(shù)aij ，,/11221kua,/11331kua22對對m2施加單位力施加單位

19、力F2=1，而F1=F3=0，見右圖。，見右圖。在在 x = xi 處所引起的位移處所引起的位移：m2u12u3u1k2k3k1m3m12F,/111ku ,/1112ka,/1/1212kku,/1/12123kkuu./1/1213222kkaa對對m3施加單位力施加單位力F3=1，而F1=F2=0，見右圖。，見右圖。在在 x = xi 處所引起的位移處所引起的位移：m2u12u3u1k2k3k1m3m13F,/111ku ,/1113ka,/1/1212kku,/1/1/13213kkku,/1/12123kka./1/1/132133kkka23系統(tǒng)柔度矩陣為：系統(tǒng)柔度矩陣為：使使m1

20、產(chǎn)生單位位移產(chǎn)生單位位移u1=1，而u2=u3=0，見右圖。，見右圖。求各點求各點 x = xi 處所需的力處所需的力：,10kF./1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/132121121211111kkkkkkkkkkkkkkA求系統(tǒng)的剛度矩陣求系統(tǒng)的剛度矩陣m2F12F3F1k2k3k1m3m11u0F,22kF, 0210FFF, 03F,21201kkFFF,21111kkFk,2221kFk, 0331 Fk24使使m2產(chǎn)生單位位移產(chǎn)生單位位移u2=1，而u1=u3=0，見右圖。，見右圖。求各點求各點 x = xi 處所需的力處所需的力：,21kFm2F12F3F1k

21、2k3k1m3m12u0F,33kF, 0321FFF,322kkF,2112kFk,32222kkFk.3332kFk使使m3產(chǎn)生單位位移產(chǎn)生單位位移u3=1，而u1=u2=0，見右圖。，見右圖。求各點求各點 x = xi 處所需的力處所需的力：, 01Fm2F12F3F1k2k3k1m3m13u0F,32kF.33kF , 0113Fk,3223kFk.3333kFk25系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)剛度矩陣為：不難證明：不難證明：.00333322221kkkkkkkkkK可以看出剛度矩陣和柔度矩陣都是對稱矩陣。可以看出剛度矩陣和柔度矩陣都是對稱矩陣。即剛度矩陣和柔度矩陣是互逆的。即剛度矩陣和柔度矩陣是互逆的。32121121211111333322221/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/1/100kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKA.100010001I26例例5.6-2 求復(fù)合擺的剛度矩陣和柔度矩陣。求復(fù)合擺的剛度矩陣和柔度矩陣。解：解：先求柔度矩陣先求柔度矩陣.假設(shè)微幅擺動假設(shè)微幅擺動.對對m1施加單位力施加單位力F1=1,而而F2=0，可得在可得在 x = xi 處所引起的位移處所引起的