數(shù)值分析第七章非線性方程求根習(xí)題答案

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝第七章非線性方程求根（一）問題簡介求單變量函數(shù)方程f ( x) 0(7.1)的根是指求 x * （實數(shù)或復(fù)數(shù)） ，使得 f (x*)0 .稱 x* 為方程 (7.1)的根 ,也稱 x * 為函數(shù) f ( x)的零點 .若 f ( x) 可以分解為f (x)( x x*) m g( x)其中 m 為正整數(shù) , g( x) 滿足 g( x)0 ,則 x * 是方程 (7.1) 的根 .當(dāng) m=1 時 ,稱 x * 為單根 ;當(dāng) m>1時,稱 x * 為 m 重根 .若 g (x) 充分光滑 , x * 是方程 (7.1)的 m 重根 ,則有f ( x*

2、)f '(x*) .f ( m 1) ( x*)0, f (m) ( x*)0若 f (x) 在 a,b 上連續(xù)且 f (a) f (b)0 ,則方程 (7.1) 在 (a,b)內(nèi)至少有一個實根, 稱 a,b 為方程(7.1) 的有根區(qū)間 .有根區(qū)間可通過函數(shù)作圖法或逐次搜索法求得.(二 )方程求根的幾種常用方法1.二分法設(shè) f (x) 在 a,b 上連續(xù) , f (a) f (b)0 ,則 f ( x)0 在 (a,b)內(nèi)有根 x * .再設(shè) f ( x)0 在 (a,b) 內(nèi)x01b0 )僅有一個根 .令 a0a,b0b ,計算( a0x ,結(jié)束計2和 f ( x0 ) .若 f

3、(x0 )0 則 x*算 ; 若 f ( a0 ) f ( x0 )0 , 則令 a1x0, b1b ,得新的有根區(qū)間a1, b1 ; 若 f (a0 ) f (x0 )0 ,則令b11(b0a0 )a1a0,b1a1x0 , 得 新 的 有 根 區(qū) 間 a1 ,b1 . a0 , b0 a1 , b1 ,2. 再 令x11b1 )(a1a2 , b2 ,如此反復(fù)進行,可得一有根區(qū)2計算 f ( x1 ) ,同上法得出新的有根區(qū)間間套. an , bn an 1 ,bn1 . a0 ,b0 anx*bn , n0,1,2,., bnan1 (bn 1a 1) .1n (b0a0 )且22.li

4、m( bnan ) 0,limxnlim 1 (anbn )x*故nnn2精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝xn1(an bn )2f (x)0 的近似根 ,且有誤差估計因此 ,可作為| xn x*|1(b a)2n 1(7.2)2.迭代法將方程式 (7.1)等價變形為x( x)(7.3)若要求 x * 滿足 f( x*)0 則 x*( x*) ; 反之亦然 .稱 x * 為函數(shù)( x) 的一個不動點 .求方程(7.1) 的根等價于求( x) 的不動點由式 (7.3)產(chǎn)生的不動點迭代關(guān)系式(也稱簡單迭代法 )為xk 1(xk ), k0,1,2.(7.4)函數(shù)( x) 稱為迭代函

5、數(shù) .如果對任意 xk1(xk ),k0,1,2. , 由式 (7.4)產(chǎn)生的序列xk 有極限lim xk x *k則稱不動點迭代法(7.4)收斂 .定理 7.1(不動點存在性定理 )設(shè)( x) Ca, b 滿足以下兩個條件 :1.對任意 xa, b 有 a(x)b;2.存在正常數(shù) L1,使對任意 x, ya,b ,都有 |(x)( y) | | xy |(7.5)則( x) 在 a,b 上存在惟一的不動點x* .定理 7.2(不動點迭代法的全局收斂性定理)設(shè)( x)C a,b 滿足定理7.1 中的兩個條件 ,則對任意x a, bxk收斂 .到( x) 的不動點 ,并有誤差估計式0,由 (7.

6、4) 式得到的迭代序列| xkx*|L| xkxk 1 |1(7.6)L| xkx* |Lk| xkxk 1 |1(7.7)和L定理7.3(不動點迭代法的局部收斂性定理)設(shè) x* 為 ( x) 的不動點 , '( x) 在 x * 的某個鄰域連續(xù),且 |'( x) | 1,則迭代法 (7.4)局部收斂 .收斂階的概念設(shè) 迭 代 過 程 (7.4) 收 斂 于 方 程 x( x)的 根 x* , 如 果 迭 代 誤 差精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝ek xkx * 當(dāng) k時成產(chǎn)下列漸近關(guān)系式ek1C(常數(shù) C 0)ek(7.8)則稱該迭代過程是p 階收斂的 .特

7、別地 ,p=1 時稱線性收斂 ,p>1 時稱超線性收斂 ,p=2 時稱平方收斂 .定理 7.4(收斂階定理 )對于迭代過程(7.4),如果( K ) ( x) 在所求根 x * 的鄰近連續(xù) ,并且'( x*)''( x*).( p 1) ( x*)0( p) (x*)0(7.9)則該迭代過程在點x* 的鄰近是收斂的,并有l(wèi)imek 11( p )p( x*)kekp!(7.10)斯蒂芬森 (Steffensen)迭代法當(dāng)不動點迭代法(7.4)只有線性收斂階,甚至于不收斂時 ,可用斯蒂芬森迭代法進行加速 .具體公式為yk(xk ), zk( yk )xk 1xk(

8、yk xk )2zk2 yk xkk0,1,2,.(7.11)此法也可寫成如下不動點迭代式xk 1( xk ), k0,1,2,.( x ) x( ( x)x)2( x)2 ( x)x(7.12)定理 7.5(斯蒂芬森迭代收斂定理)設(shè) x* 為式 (7.12) 中( x ) 的不動點 ,則 x* 是( x) 的不動點 ;設(shè)''(x) 存在 ,'( x*)1 ,則 x* 是( x ) 的不動點 ,則斯蒂芬森迭代法 (7.11) 是 2階收斂的 .3.牛頓迭代法牛頓迭代法是一種特殊的不動點迭代法,其計算公式為xk 1xkf (xk ) , k 0,1,2,.其迭代函數(shù)為f

9、'(xk )(7.13)f ( x )( x) xf '( x )牛 頓 迭 代 法 的 收 斂 速 度當(dāng)f ( x*)0, f '(x*)0, f ''(x*)0 時 , 容 易 證精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝''(x*)f ''(x*)0f '( x*)明, f '( x*) 0 ,由定理 7.4 知 ,牛頓迭代法是平方收斂的,且lim ek21f''(x*)kek2 f '(x*)(7.14)(x) xf ( x)當(dāng) x* 是 f (x)0 的 m 重根 (

10、m重根情形的牛頓迭代法2) 時,迭代函數(shù)f '(x)'( x*)110,且 |'(x*) | 1 .所以牛頓迭代法求重根只是線性收斂在 x* 處的導(dǎo)數(shù)m.若x* 的重數(shù) m 知道 ,則迭代式xk 1xkm f ( xk ) , k0,1,2,.f '( xk )(7.15)( x)f ( x)求重根二階收斂 .當(dāng) m 未知時 , x* 一定是函數(shù)f '( x) 的單重零點 ,此時迭代式xk 1xk( xk )xkf (xk ) f '( xk )'( xk )f '(xk )f ( xk ) f ''( xk )k

11、0,1,2,.(7.16)也是二階收斂的 .xk1xkf (xk ) , k 0,1,2,.簡化牛頓法如下迭代法f '(x0 )稱為簡化牛頓法或平行弦法 .牛頓下山法為防止迭代不收斂,可采用牛頓下山法.具體方法見教材 .4.弦截法將牛頓迭代法 (7.13) 中的 f '(xk ) 用 f ( x) 在 xk 1 , xk 處的一階差商來代替,即可得弦截法xk 1f ( xk )xk 1 )xk( xkf (xk ) f (xk 1 )定理 7.6 假設(shè) f (x ) 在其零點 x * 的鄰域:| x x*|有 f '(x)x0 , x10,又初值,則當(dāng)鄰域151.618

12、p22收斂到 x *.這里 p 是方程5.拋物線法(7.17)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且對任意 x充分小時,弦截法(7.17)將按階1 0的正根 .精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝弦截法可以理解為用過( xk 1, f (xk 1 ),( xkf ( xk )兩點的直線方程的根近似替f ( x) 0的根.若已知f (x) 0 的 三 個 近 似 根 xk ,xk 1 ,xk 2 用 過( xk , f (xk ),( xk 1 , f ( xk 1 ),( xk 2 , f ( xk 2 ) 的拋物線方程的根近似代替f (x)0 的根 ,所得的迭代法稱為拋物線法,也稱密勒 (Mul

13、ler) 法 .當(dāng) f ( x ) 在 x* 的鄰近有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), f'(x*) 0 , 則拋物線法局部收斂, 且收斂階為p 1.839 1.84 .二、知識結(jié)構(gòu)圖三、?？碱}型及典型題精解例7-1證明方程x3x在1,2上有一個實根 x*, 并用二分法1 0求這個根 , 要求 |x k -x*|10-3 . 若要求 |x k -x*|10-6 , 需二分區(qū)間 1,2多少次?解設(shè)f(x)=x3x 1,則f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程 f(x)=0在1,2上有根 x*. 又因 f'(x)=3x2 -1, 所以當(dāng)x 1,2時,f'(x)>0,

14、即f (x)=0 在1,2上有惟一實根 x*. 用二分法計算結(jié)果如表7-1 所示.表 7-1kbkxkf ( xk )的符號ak0121.5+111.51.25-21.251.51.375+31.251.3751.3125-41.31251.3751.3438+51.31251.134381.3282+61.31251.32821.3204-71.32041.32821.3243-81.32431.32821.3263+精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝91.32431.32631.3253+此時x =1.3253滿足 |x9-x*|10.97710-310-3 , 可以作為 x

15、* 的近9210似值.若要求 |xk -x*|10 6 , 只需 |xk -x*|110-6 即可 , 解得 k+1 19.932,2k+1即只需把 1,2二分 20次就能滿足精度要求.例7-2已知函數(shù)方程 (x-2)ex=1,(1) 確定有根區(qū)間 a,b;(2) 構(gòu)造不動點迭代公式使之對任意初始近似x造的公式計算根的近似值 , 要求 |x0 a,b, 迭代方法均收斂 ;(3) 用所構(gòu)kxk 1 | 10 3.解 (1)令f(x)=(x-2)ex-1, 由于 f(2)=-1<0,f(3)=ex -1> 0, 因此區(qū)間 2,3是方程 f(x)=0 的一個有根區(qū)間 . 又因 f'

16、;(x)=(x-1)ex, limf(x)=+, limf( x)=-1,xxf'(1)=-e1-1<0,當(dāng)x>1時f(x) 單增 ,x<1 時f(x) 單減 , 故f(x)=0在(-,+) 內(nèi)有且僅有一根 x*,即x*2,3.(2) 將(x-2) ex =1等價變形為 x=2+ ex,x2,3.則 (x)=2+ex. 由于當(dāng)x 2,3時2 (x)3,|'(x)|=|-e x|e 2<1故不動點迭代法x k+1 =2+exk ,k=0,1,2,.,對x0 2,3 均收斂.(3) 取x =2.5, 利用x=2+xk 進行迭代計算 , 結(jié)果如表 7-2 所示

17、.0k+1e表 7-2kxk| xkxk 1 |02.512.0820849990.41791500122.1246700040.04258500532.1194723870.000519761742.1200949760.000622589精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝此時x4已滿足誤差要求 , 即x*x42.120094976.例 7 3考慮求解方程2 cos x 3x 120的迭代公式xk+1=4+ 2cos xk ,k=0,1,2,.3(1) 試證 : 對任意初始近似x 0 R,該方法收斂;(2) 取x =4, 求根的近似值xk+1, 要求 |xk+1-x | 10

18、-3;0k(3) 所給方法的收斂階是多少?解 (1)由迭代公式知 , 迭代函數(shù)(x)=4+ 2cos x,3x(,由于 (x) 的值域介于 (4-2 ) 與(4+2)之間,且).33|'(x)|=|-22sin x |133故根據(jù)定理 7.1,7.2 知, (x) 在 (,)內(nèi)存在惟一的不動點 x*, 且對 x0R,迭代公式得到的序列xk 收斂于 x*.(2)取x =4, 迭代計算結(jié)果如表 7-3 所示.0表 7-3kxk| xk xk 1 |0413.5642375870.43576241323.39199516803541248270.0378703414

19、3.3483333840.00579144353.3475299030.000803481此時 x5 已滿足誤差要求，即x* x53.347529903（3）由于'(x*) 0.1363231290 ，故根據(jù)定理7 .4 知方法是線性收斂的，并且有l(wèi)imek1'(x*)ekk。例 7-4對于迭代函數(shù)( x)x C (x22) ，試討論：（1）當(dāng) C 為何值時， xk 1(xk )(k0,1,2,.) 產(chǎn)生的序列xk收斂于2 ；（2） C 為何值時收斂最快？11C22 ，計算( x) 的不動點2 ，要求（3）分別取2 ，精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝| xk 1

20、xk |10 5解：（ 1）(x)xC ( x22) ，'(x)12Cx ，根據(jù)定理7.3，當(dāng)1C0|'(2)| |122C |1 ，亦即2時迭代收斂。C1（2）由定理7.4 知，當(dāng)'(2)122C0 ，即22時迭代至少是二階收斂的，收斂最快。C1 ,11.2 ，迭代計算結(jié)果如表（3）分別取222 ，并取 x07-4 所示。表 7-4kxk (C1k1)xk (C)22201.201.211.4811.39798989961.41336958621.414120505121.41420930331.414213559131.41421532741.414213562此時

21、都達(dá)到 | xk 1xk |10 5.事實上21.414213562. ,x02例 7-5給定初值0,a 以及迭代公式xk1xk (2axk ), k0,1,2,. ,常數(shù) a0證明 : (1) 該迭代函數(shù)是二階收斂的;(2) 該迭代產(chǎn)生的序列xk收斂的充要條件是|1ax0 |1 ( x)x(2 ax)( 1 )11( x) 的不動點 .又解:(1)顯然 ,迭代函數(shù)為,且aa ,即 a 是'(1012a0'( x)2(1ax),''( x)2a ,所以)''( )a,a，由定理7.4 知，limek 111a2''()迭代是二階收

22、斂的，且kek2a精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝ek11(axk1)xkaaxk 1 ，則（）因a，令 rkxk 1 xk (1 rk ), ek1 rka然而rkaxk1 axk 1(1 rk 1) 1(rk 11)(1r1)1r 2kk 1故rkrk21rk42.r02 kek1rk1r02kaalim ek0lim rk0lim rk0| r0 | 1，即 |1 ax0 | 1由此可知 k等價于 k，而 k又等價于注（）的結(jié)論也可以直接用二階收斂函數(shù)的定義去證明另外，本題迭代式實際上f ( x) a1是對x 使用牛頓迭代法而得例 7-6 對 ( x) xx3 , x 0

23、 為( x)的一個不動點 ,驗證迭代 xk 1( xk ) 對任意 x00 不收斂 ,但改用斯蒂芬森迭代卻是收斂的,并說明斯蒂芬森迭代計算(x) 的不動點 x 0 時的收斂階 .解由于 '( x) 13x2,當(dāng) x0時 |'(x) |1 ,且有| xk1 0 | | ( xk )0 | |'()( xk0) |,介于 xk 與 0 之間 ,若 x00, L 1,迭代不收斂 .若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得xk 1(xk ),( x)xxx43x232'(0)3 ,根據(jù)定理 7.3,斯蒂芬森迭代法收斂 .'(0)20x 0 時 ,收斂階 p1.(請

24、讀者注意 ,這一3由于,故用斯蒂芬森迭代計算不動點結(jié)論與定理7.5 的結(jié)論是否矛盾 ?)例 7-7當(dāng) R 取適當(dāng)值時 ,曲線 yx2與 y2(x8)2R2相切 ,試用迭法求切點橫坐標(biāo)的近似值 ,要求不少于四位有效數(shù)字 ,且不必求 R.解yx2的導(dǎo)數(shù) y ' 2x ,由 y2( x 8)2R2確定的函數(shù) y 的導(dǎo)數(shù)滿足精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝2 yy ' 2( x8)0 ,由兩曲線相切的條件,可得2 x22x2( x8)0即2x3x80令 f (x)2 x3x8 ,則 f (1)0, f (2)0, f ( x)0 在 (1,2) 內(nèi)有實根 .又f 

25、9;(x)6x210 ,故 f ( x)0 僅有一個根 ,構(gòu)造迭代公式xk 1(xk ),(x)( 8x )31, x (1,2)2,則當(dāng) x1,2 時 ,1( x) 2 .22| '( x) | |1 (8 x ) 3 | L1(1) 316263故迭代收斂 .取 x01.5 ,計算結(jié)果如表7-5 所示 .表 7-5kxk| xkxk 1 |kxk| xkxk 1 |01.50.01875221.4826710.00142311.48124831.4825630.000108110 32| x3 x*|L| x3x2 |110 3由于1 L2,故可取 x* x3 1.483 ,即可保

26、證兩曲線切點的橫坐標(biāo)的近似值具有四位有效數(shù)字 .例 7-8 曲線 yx30.51x1與 y2.4x21.89 在點 (1.6,1) 附近相切 ,試用牛頓迭代法求切點的橫坐標(biāo)的近似值xk 1,使| xk 1xk | 10 5.解 兩曲線的導(dǎo)數(shù)分別為 y '3x20.51 和 y '4.8x ,兩曲線相切 ,導(dǎo)數(shù)相等 ,故有3x24.8x 0.510令 f (x) 3x24.8 x0.51 ,則 f (1) 0, f (2)0 ,故區(qū)間 1,2 是 f (x)0 的有根區(qū)間 .又當(dāng) x 1,2 時 ,f '(x)6x4.8 0 ,因此 f (x)0 在 1,2 上有惟一實根

27、x * .對 f ( x) 應(yīng)用牛頓迭代法 ,得計算公式精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝xk3xk24.8xk 0.510,1,2,.1xk, k6xk 4.8由于 f ''( x) 60 ,故取 x02 迭代計算一定收斂,計算結(jié)果如表7-6 所示 .表 7-6kxkkxk02.031.70681528712.29305555641.70002561121.81778359251.7繼續(xù)計算仍得 x61.7 ,故 x* 1.7 .注 本題也可令 x30.51x 1 2.4x2 1.89 ,解得切點橫坐標(biāo)滿足方程f ( x) x32.4x251x 2.89 0 ,

28、用有重根時的牛頓迭代法(7.15) 式計算 ,此時 m2 .仍取 x0 2 ,經(jīng)四步可得 x* 1.7 .例 7-9(牛頓迭代法收斂定理)設(shè) f ( x) 在 a,b 上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足條件(1) f (a) f (b) 0;(2) 在 a,b 上 f '( x)0, f ''(x)0;(3)x0 a, b 滿足 f ( x0 ) f ''(x0 ) 0 .則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列xk單調(diào)收斂于f ( x) 0 在 a, b 內(nèi)的惟一實根x* ,并且是平方收斂的 .證明因 f ( x) 在 a, b 上連續(xù) ,由條件 (1)知 ,方程 f ( x

29、)0 在 (a, b) 內(nèi)有根 x* .又由于條件 (2)知 f'(x) 在 a,b 上恒正或恒負(fù) ,所以 f ( x) 在 a, b 上嚴(yán)格單調(diào) ,因而 x* 是 f ( x)0 在 (a, b)內(nèi)的惟一實根 .條件 (1),(2) 共有四種情形 :(1)f (a)0, f (b)0, f'(x)0, f''(x)0,x a, b;(2)f (a)0, f (b)0, f'(x)0, f''(x)0,xa, b;(3)f (a)0, f (b)0, f'(x)0, f''(x)0,xa, b;精品文檔資料收集于網(wǎng)

30、絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝(4) f (a) 0, f (b)0, f '(x)0, f''(x)0,xa, b.僅就 (1) 進行定理證明 ,其余三種情況的證明方法是類似的.由x0 a,b, f ( x0 ) f ''(x0 ) 0可知f ( x0 )0f '( x)0知f ( x)單增且x0x *,再由.又由牛頓迭代法知x1f ( x0 )x0x0f '( x0 )又臺勞展開得f ( x)f (x0 ) f'( x0 )( xx0 )1f ''( 0 )( xx0 ) 22!其中 0 介于 x 與 x0 之間

31、 .利用 f (x*)0 ,得f ( x0 ) f '(x0 )(x *x0 )1f ''( 0* )( x *x0 )202x* x0f (x0 )f'(x0 )1f''(0* )x1f(x *2'( x0 )1f''( 0* ) ( x * x0 )22f'( x0 )x0 )2由f '(x) 0, f ''(x) 0以及前面證明的x1x0,有x*x1x0一般地 ,設(shè) x*xkxk 1 ,則必有 f ( xk )0 且f ( xk )xk 1xkxkf '(xk )同樣由臺勞公式

32、f ( x)f ( x)f '(x)( x x)1f ''(k)( x x) 2kkk2!k及 f (x*)0 ,得f ( xk )f '( xk )( x *xk )1f ''(k* )( x *xk )202x*xkf ( xk )1f ''(k* ) (x *xk )2f '(xk )2f '( xk )xk 11f ''( k* ) ( x*xk )2xk 1xk2f'(xk )根據(jù)歸納法原理知,數(shù)列 xk 單調(diào)下降有下界lim xklx * ,因此有極限 .設(shè) k.對迭代式精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝xk 1f ( xk )xk) 兩端取 k的極限 ,并利用 f ( x) . f '(x) 的連續(xù)性知0 ,即f'(xkf (l )l x * .limxk 1x*1f''( x*)2k( xkx*)2f'(x*),即對于單根 ,牛