第一章球面三角

1、航海學(xué)附篇 大連海事大學(xué)航海學(xué)院航海教研室丁勇球面三角與船位誤差理論基礎(chǔ) 球面三角,主要研究球面上由三個(gè)大圓弧相交圍成的球面三角形及其性質(zhì)、解算等問題,為學(xué)習(xí)航海專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 一、球、球面 在空間與一定點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡稱為球面（spherical surface）。包圍在球面中的實(shí)體稱為球（sphere）,這一定點(diǎn)稱為球心。 過球心與球面相交的直線段稱為球直徑。 球心與球面上任意一點(diǎn)間的距離稱為球半徑R。R同球的半徑和直徑相等。同理,半徑或直徑相等的球全等。 二、球面上的圓二、球面上的圓任意一平面和球面相截的截痕是圓。平面通過球心時(shí)，所截成的圓稱為大圓（great circl

2、e）， 它的一段圓周叫大圓弧。平面不通過球心的圓稱為小圓（small circle），它的一段圓周叫小圓弧。 三、大圓的性質(zhì)三、大圓的性質(zhì) 1大圓的圓心與球心重合。 4同球上的兩個(gè)大圓平面一定相交，交線是它們的直徑，并且兩大圓互相平分。 2大圓的直徑等于球直徑，半徑等于球半徑。 3大圓等分球面和球體。 5過球面上不在同一直徑兩端上的兩個(gè)點(diǎn)，能作且僅能作一個(gè)大圓，卻能作無數(shù)個(gè)小圓。 6 若在同一直徑兩端上的兩個(gè)點(diǎn)，則能作無數(shù)個(gè)大圓而不能作小圓。 7小于180的大圓?。踊。┦乔蛎嫔蟽牲c(diǎn)間的最短球面距離。 因此，兩點(diǎn)間的球面距離應(yīng)用大圓弧度量。 ABOCDGAOB AOC+COD+GOB+AB A

3、C+CD+GB 四、軸、極、極距、極線四、軸、極、極距、極線 垂直與任意圓面的球直徑稱為該圓（大圓或小圓）的軸（axis）。 PP 垂直于同一軸可有數(shù)個(gè)平行圓，其中只有一個(gè)通過球心的是大圓，其余的都是小圓。 軸的兩個(gè)端點(diǎn)稱為極(pole)，故每個(gè)圓均有兩個(gè)極。O 從極到圓(大圓或小圓)弧上任一點(diǎn)沿大圓弧的球面距離叫極距(polar distance),又叫球面半徑。 abcdPPOABCD 極距為90的大圓弧又稱為該極的極線。 球面上一點(diǎn)到某一大圓弧上任意兩點(diǎn)間的球面距離都是90，則這一點(diǎn)就是該大圓的極而這個(gè)大圓則是該點(diǎn)的極線。極線必定是大圓弧。abcdPPOABCD其交點(diǎn)叫球面角的頂其交點(diǎn)叫

4、球面角的頂點(diǎn)，點(diǎn)，兩大圓弧稱為球面角兩大圓弧稱為球面角的邊。的邊。 五、球面角及其度量五、球面角及其度量 球面上兩球面上兩大圓弧大圓弧相交構(gòu)成的角稱為相交構(gòu)成的角稱為球面角球面角(spherical angle)，PPOABCD球面角的三種度量方法： 1切于頂點(diǎn)大圓弧的切線夾角CPD； PPOABDC 2頂點(diǎn)的極線被其兩邊大圓弧所截的弧長AB； 3大圓弧AB 所對的球心角AOB。 baoBAPPO sinpa=cos（90pa） cosAa cosab/ao =AB/AO圓心角（弧度）ab/ AB ao /AOao/aO sinaOo 圓心角AOBaob90BODAOB90BOD DOEAOB

5、 DOE一、球面三角形的定義一、球面三角形的定義在球面上由三個(gè)大圓弧圍成的三角形稱為球面三角形（spherical triangle）。 球面三角形的三個(gè)角和三條邊稱為球面三角形的六要素。 航海上討論的球面三角形的六要素均大于0，而小于180，又稱其為歐拉球面三角形。 球面三角形分為直角、直邊、等腰、等邊、初等和任意三角形。 1球面直角三角形和球面直邊三角形 至少有一個(gè)角為90的三角形稱為球面直角三角形。 至少有一個(gè)邊為90的三角形稱為球面直邊三角形。 2球面等腰三角形和球面等邊三角形 有兩邊或兩角相等的三角形稱為球面等腰三角形。 若三邊或三角都相等的三角形稱為球面等邊三角形。 3球面初等三角

6、形 三個(gè)邊相對其球半徑甚小的三角形稱為球面小三角形。只有一個(gè)角及其對邊相對球半徑甚小的三角形稱為球面窄三角形。兩者統(tǒng)稱為球面初等三角形 4球面任意三角形 凡不具備上述特殊條件的球面三角形稱為球面任意三角形。 一、任意球面三角形一、任意球面三角形 1余弦公式（cosine formula） 邊的余弦公式 bac 記憶口訣： 一邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積，加一邊的余弦等于其它兩邊余弦的乘積，加上這兩邊正弦及其夾角余弦的乘積。上這兩邊正弦及其夾角余弦的乘積。 cos a = cos b cos csin b sin c cosA 角的余弦公式 bac 記憶口訣：一角的余弦等于其它兩角余弦一角的余

7、弦等于其它兩角余弦的乘積冠以負(fù)號加上這兩角正弦及其夾邊的乘積冠以負(fù)號加上這兩角正弦及其夾邊余弦的乘積。余弦的乘積。 cosA-cosBcosCsinBsinCcosa 2正弦公式（sine formula） 記憶口訣：邊的正弦與其對角的正弦成邊的正弦與其對角的正弦成比例。比例。 Sina/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC4余切公式（四聯(lián)公式four-part formula） 記憶口訣：外邊余切內(nèi)邊正弦等于外角外邊余切內(nèi)邊正弦等于外角余切內(nèi)角正弦加上內(nèi)邊內(nèi)角余弦之積。余切內(nèi)角正弦加上內(nèi)邊內(nèi)角余弦之積。 外邊內(nèi)邊外角bacACB內(nèi)角 （1）已知兩邊一夾角解球面三角形 例1-3-1：在球面三角形中，已知a11831.1，b5020.6，C10040.8求c、A。 解:根