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1、第四章第四章 數(shù)字特征數(shù)字特征第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望與方差數(shù)學(xué)期望與方差第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 常用分布的期望與方差常用分布的期望與方差 數(shù)字特征是由隨機(jī)變量的分布決定的一些常數(shù),數(shù)字特征是由隨機(jī)變量的分布決定的一些常數(shù), 它們只能刻劃隨機(jī)變量的部分隨機(jī)特性。它們只能刻劃隨機(jī)變量的部分隨機(jī)特性。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 (Expectation), 隨機(jī)變量的平均取值;又被稱為是:均值隨機(jī)變量的平均取值;又被稱為是:均值方差方差(Variance) , 隨機(jī)變量在它的平均值附近取值的分散程度。隨機(jī)變量在它的平均值附近取值的分散程度。相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差,相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差
2、, 隨機(jī)向量分量之間的關(guān)系,隨機(jī)向量分量之間的關(guān)系, 或者是:兩個(gè)隨機(jī)變量相依的程度。或者是:兩個(gè)隨機(jī)變量相依的程度。一一. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望(均值均值) 的定義的定義第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望與方差數(shù)學(xué)期望與方差 直觀理解,數(shù)學(xué)期望就是一個(gè)隨機(jī)變量所有可能直觀理解,數(shù)學(xué)期望就是一個(gè)隨機(jī)變量所有可能取值的加權(quán)平均值,權(quán)就是這些可能值相應(yīng)的概率。取值的加權(quán)平均值,權(quán)就是這些可能值相應(yīng)的概率。例如,例如,1. 假定發(fā)生意外的概率是假定發(fā)生意外的概率是 0.001,則在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的,則在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的 15,000 人中,平均起來(lái)有多少個(gè)人需要賠償?人中,平均起來(lái)有多少個(gè)人需要賠償?2. 統(tǒng)計(jì)資料表明強(qiáng)烈地震
3、的間隔服從參數(shù)統(tǒng)計(jì)資料表明強(qiáng)烈地震的間隔服從參數(shù) 430 (天天)的指數(shù)分布,則平均多長(zhǎng)時(shí)間發(fā)生一次強(qiáng)震?的指數(shù)分布,則平均多長(zhǎng)時(shí)間發(fā)生一次強(qiáng)震?1. 離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 如果如果 X 的分布律的分布律 P X = xk = pk , ,k 1 滿足:滿足: k 1 | xk pk | + 則定義離散隨機(jī)變量則定義離散隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 E X = k 1 xk pk 2. 連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望如果如果 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) p (x) 滿足:滿足:xp xdx|( )| 則定義連續(xù)隨機(jī)變量則定義連續(xù)隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)
4、期望是的數(shù)學(xué)期望是E Xxp x dx( ) 例例4.1.1 一位著名的射擊教練將從兩個(gè)候選人中挑選一位著名的射擊教練將從兩個(gè)候選人中挑選 一人作為他的隊(duì)員,甲還是乙的成績(jī)更好?一人作為他的隊(duì)員,甲還是乙的成績(jī)更好?成績(jī)成績(jī)(環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)) 8 9 10甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6乙的概率乙的概率 0.2 0.5 0.3解解. 以以 X、Y 分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果,分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果, 顯然顯然 X 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望(甲射擊一次的平均成績(jī)甲射擊一次的平均成績(jī))是是 E X = 80.1 + 90.3 + 100.6 = 9.5 (環(huán)環(huán)), 同理,乙射擊一次的平均成績(jī)
5、是同理,乙射擊一次的平均成績(jī)是 E Y = 80.2 + 90.5 + 100.3 = 9.1 (環(huán)環(huán))。解解. 以以 X 記這個(gè)項(xiàng)目記這個(gè)項(xiàng)目 的投資利潤(rùn)。的投資利潤(rùn)。平均利潤(rùn)為:平均利潤(rùn)為: E X = 50.3 + 00.6 + ( 10)0.1 = 0.5,而同期銀行的利息是而同期銀行的利息是 100.02 = 0.2 ,因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個(gè)項(xiàng)目。因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個(gè)項(xiàng)目。利潤(rùn)利潤(rùn) 5 0 10概率概率 0.3 0.6 0.1例例4.1.2 假設(shè)某人有假設(shè)某人有 10 萬(wàn)元,如果投資于一項(xiàng)目將有萬(wàn)元,如果投資于一項(xiàng)目將有 30%的可能獲利的可能獲利 5 萬(wàn),萬(wàn),
6、60% 的可能不賠不賺,但有的可能不賠不賺,但有 10%的可能損失全部的可能損失全部 10 萬(wàn)元;同期銀行的利率為萬(wàn)元;同期銀行的利率為 2% ,問(wèn)他應(yīng)該如何決策?,問(wèn)他應(yīng)該如何決策?例例4.1.3 在古典概率模型中設(shè)計(jì)了如下一個(gè)賭局:在古典概率模型中設(shè)計(jì)了如下一個(gè)賭局: 每個(gè)人從有每個(gè)人從有 3 張假幣的張假幣的 10 張張 100 元紙幣中隨機(jī)地元紙幣中隨機(jī)地抽出抽出 4 張張 。如果全是真的,則贏得這。如果全是真的,則贏得這 400元;如果這元;如果這4 張中至少有一張假幣,只輸張中至少有一張假幣,只輸 100 元。元。 問(wèn)這種規(guī)則是否公平,或者說(shuō)你是否愿意參加?問(wèn)這種規(guī)則是否公平,或者
7、說(shuō)你是否愿意參加?解解. 分析,分析, 公平合理的規(guī)則必須是雙方的平均獲利都等于公平合理的規(guī)則必須是雙方的平均獲利都等于 0 以以 X 記每局賭博中莊家的獲利記每局賭博中莊家的獲利 (可以為負(fù)可以為負(fù)) ,則,則 X 所有可能的取值是所有可能的取值是 400 與與 100 。顯然顯然 X 的分布律為:的分布律為: xk 400 100 pk 因此,因此,X 的數(shù)學(xué)期望,即莊家在每局賭博中的數(shù)學(xué)期望,即莊家在每局賭博中 的平均獲利為:的平均獲利為: E X = ( ) + ( ) = 。 這種賭博對(duì)莊家有利,平均一局他將凈賺這種賭博對(duì)莊家有利,平均一局他將凈賺 16.67 元元 1 5 6 6
8、400 500 50 6 6 3思考思考2 如果一天有如果一天有 12 個(gè)人參加這種賭博,莊家的平均個(gè)人參加這種賭博,莊家的平均獲利又是多少?獲利又是多少?例例4.1.4 在例題在例題2.4.4 中假定乘客在公交車站等車的中假定乘客在公交車站等車的 時(shí)間時(shí)間 X ( 分鐘分鐘) 服從參數(shù)服從參數(shù) 5 的指數(shù)分布,的指數(shù)分布, p (x) = 0.2 e 0.2 x , x 0 問(wèn)這個(gè)人的平均等車時(shí)間是幾分鐘?問(wèn)這個(gè)人的平均等車時(shí)間是幾分鐘?解解. 平均等車時(shí)間即是數(shù)學(xué)期望平均等車時(shí)間即是數(shù)學(xué)期望 E X ,因此因此yyedy055 xE Xxp x dxxedx0.20( )0.2 即平均需要
9、等待即平均需要等待 5 分鐘。分鐘。二二. 數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)即,設(shè)即,設(shè) a、b 是兩個(gè)常數(shù),則有:是兩個(gè)常數(shù),則有: E ( a + bX ) = a + b E (X) ;1. 隨機(jī)變量線性變換的期望等于期望的線性變換隨機(jī)變量線性變換的期望等于期望的線性變換2. 隨機(jī)變量和的期望等于期望的和隨機(jī)變量和的期望等于期望的和對(duì)任意的對(duì)任意的 n 個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量 X1、X2、Xn,都有:都有: E (X1 + X2 + + Xn ) = E X1 + E X2 + + E Xn 4. 隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式3. 獨(dú)立獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘
10、積隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積如果如果 X1、X2、Xn 相互獨(dú)立,則有:相互獨(dú)立,則有: E (X1X2Xn) = E (X1)E (X2) E (Xn) (1) 如果離散隨機(jī)變量如果離散隨機(jī)變量 X 具有分布律:具有分布律: P X = xk = pk , ,k 1 , 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y = g(X) 的數(shù)學(xué)期望是:的數(shù)學(xué)期望是: E Y = E g(X) = k 1 g(xk) pk (2) 如果連續(xù)隨機(jī)變量如果連續(xù)隨機(jī)變量 X 具有密度函數(shù)具有密度函數(shù) p(x) , 則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y = g(X) 的數(shù)學(xué)期望是:的數(shù)學(xué)期望是: E Y = E g(X) = (3)
11、如果連續(xù)隨機(jī)向量如果連續(xù)隨機(jī)向量 (X1,X2,Xn) 具有具有 聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù) p(x1, ,x2, , ,xn) ,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 Y = g(X1, ,X2, , ,Xn) 的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 E Y = E g(X1, ,X2, , ,Xn) g x p x dx( ) ( ) nnng xxp xxdxdx111.(,.,) (,.,). E Xxp x y dxdy( , ) 例例4.1.5 在前面的例題在前面的例題4.1.3的賭局里,如果一天有的賭局里,如果一天有 12 個(gè)人參加賭博,則莊家總的獲利是隨機(jī)變量個(gè)人參加賭博,則莊家總的獲利是隨機(jī)變量 Y = X
12、1 + X2 + X12,每個(gè)每個(gè) Xi 獨(dú)立同分布。獨(dú)立同分布。解解. 如果要用數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算莊家的平均獲利,如果要用數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算莊家的平均獲利, 需要求出需要求出 Y 的分布律。的分布律。 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),因?yàn)槔脭?shù)學(xué)期望的性質(zhì),因?yàn)?E Xi = 50/3 , 所以莊家總的利潤(rùn)平均來(lái)說(shuō)有所以莊家總的利潤(rùn)平均來(lái)說(shuō)有 200 元元 。補(bǔ)充補(bǔ)充 更精確的模型應(yīng)該假定每天參賭的人數(shù)服從更精確的模型應(yīng)該假定每天參賭的人數(shù)服從參數(shù)參數(shù) 的泊松分布,此時(shí)莊家的平均利潤(rùn)是的泊松分布,此時(shí)莊家的平均利潤(rùn)是 E X 練習(xí)練習(xí)4.1.6 在例題在例題2.2.1 中討論了汽車過(guò)十字路口的問(wèn)題。通過(guò)
13、中討論了汽車過(guò)十字路口的問(wèn)題。通過(guò)每個(gè)路口的概率是每個(gè)路口的概率是 q ,X 是首次停止時(shí)通過(guò)的路口數(shù)。是首次停止時(shí)通過(guò)的路口數(shù)。 X 0 1 2 3 4 pk p pq pq2 pq3 q4 假定一個(gè)游戲規(guī)定,通過(guò)假定一個(gè)游戲規(guī)定,通過(guò) k 道關(guān)口將獲得價(jià)值道關(guān)口將獲得價(jià)值10k (0k 4) 元的獎(jiǎng)品。問(wèn)一個(gè)參與者獲得的獎(jiǎng)勵(lì)元的獎(jiǎng)品。問(wèn)一個(gè)參與者獲得的獎(jiǎng)勵(lì)平均來(lái)說(shuō)價(jià)值多少?平均來(lái)說(shuō)價(jià)值多少?三三. 方差的定義方差的定義 方差是一個(gè)隨機(jī)變量在它的數(shù)學(xué)期望附近取值方差是一個(gè)隨機(jī)變量在它的數(shù)學(xué)期望附近取值的分散程度,方差越小說(shuō)明取值越集中于期望。的分散程度,方差越小說(shuō)明取值越集中于期望。1. 對(duì)
14、隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量 X,如果如果 (X E X )2 的數(shù)學(xué)期望存在,的數(shù)學(xué)期望存在, 即即 E (X E X )2 + , 則稱它是則稱它是 X 的方差,記為的方差,記為 D X 或者或者 Var (X) 。 方差的平方根方差的平方根 (D X )1/2 稱為稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差思考思考E | X E X | 能不能描述能不能描述 X 在期望附近取值的分散程度?在期望附近取值的分散程度?2. 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式 按照定義,按照定義, D X = E (X E X )2 ; 常用公式常用公式, D X = E (X2 ) (E X )2 ; 按照隨機(jī)變量的類型:
15、按照隨機(jī)變量的類型: (1) 對(duì)于離散隨機(jī)變量對(duì)于離散隨機(jī)變量 D X = k 1 pk ( xk E X )2 , (2) 對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量 D X = p xxE Xdx2( )() 方差總是非負(fù)的常數(shù),而期望可以是任意的實(shí)數(shù)方差總是非負(fù)的常數(shù),而期望可以是任意的實(shí)數(shù)3. 數(shù)學(xué)期望與方差的概率意義數(shù)學(xué)期望與方差的概率意義 方差越小,說(shuō)明隨機(jī)變量取值越集中在期望附近,方差越小,說(shuō)明隨機(jī)變量取值越集中在期望附近, 或者也可以理解成,這個(gè)隨機(jī)變量就越穩(wěn)定?;蛘咭部梢岳斫獬桑@個(gè)隨機(jī)變量就越穩(wěn)定。 數(shù)學(xué)期望是一個(gè)隨機(jī)變量取值的平均,數(shù)學(xué)期望是一個(gè)隨機(jī)變量取值的平均,方差是隨機(jī)變量在
16、這個(gè)平均值附近取值的分散程度。方差是隨機(jī)變量在這個(gè)平均值附近取值的分散程度。理論上可以證明,理論上可以證明, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的方差為的方差為 0 的充分必要條件是,的充分必要條件是,這個(gè)隨機(jī)變量取值為一個(gè)常數(shù)的概率是這個(gè)隨機(jī)變量取值為一個(gè)常數(shù)的概率是 1 。 即,即, D X = 0 P ( X = E X ) = 1 例例4.1.7 射擊教練將從他的如下兩名隊(duì)員中選擇射擊教練將從他的如下兩名隊(duì)員中選擇 一人去參加比賽,應(yīng)該是甲還是丙更合適?一人去參加比賽,應(yīng)該是甲還是丙更合適?成績(jī)成績(jī)(環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)) 8 9 10甲的概率甲的概率 0.1 0.3 0.6丙的概率丙的概率 0.2 0.1
17、0.7解解. 這里甲、丙兩人的平均成績(jī)都是這里甲、丙兩人的平均成績(jī)都是 E X = E Y = 9.5 需要比較方差,簡(jiǎn)單計(jì)算后可以得到:需要比較方差,簡(jiǎn)單計(jì)算后可以得到: D X = 0.45 ,D Y = 0.65 因此應(yīng)該選擇甲隊(duì)員去參加比賽。因此應(yīng)該選擇甲隊(duì)員去參加比賽。練習(xí)練習(xí)4.1.8 續(xù)例續(xù)例4.1.1 ,甲乙射擊技術(shù)如下:,甲乙射擊技術(shù)如下:需要利用分布律計(jì)算兩個(gè)概率:需要利用分布律計(jì)算兩個(gè)概率: P ( X Y ) ,以及以及 P ( Y X ) 。 X概率概率89100.30.10.6 Y概率概率89100.20.50.3 已經(jīng)知道平均來(lái)說(shuō),甲的成績(jī)比乙好。已經(jīng)知道平均來(lái)說(shuō)
18、,甲的成績(jī)比乙好。 如果只射擊一次,誰(shuí)的成績(jī)可能更好一些如果只射擊一次,誰(shuí)的成績(jī)可能更好一些 ?四四. 方差的基本性質(zhì)方差的基本性質(zhì)與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較:與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較: E ( a + bX ) = a + b E (X)平移改變隨機(jī)變量的期望,但不會(huì)改變方差平移改變隨機(jī)變量的期望,但不會(huì)改變方差1. 隨機(jī)變量線性變換的方差公式隨機(jī)變量線性變換的方差公式即,設(shè)即,設(shè) a、b 是兩個(gè)常數(shù),則有:是兩個(gè)常數(shù),則有: D ( a + bX ) = b2 D X ;隨機(jī)變量的中心標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的中心標(biāo)準(zhǔn)化思考思考 正態(tài)分布有一個(gè)形式上相近的性質(zhì),如果正態(tài)分布有一個(gè)形式上相近的性質(zhì),如果 X N
19、 ( , , 2 ) ,則,則 (X )/ N (0, ,1) 假設(shè)假設(shè) X 的期望的期望 ,方差,方差 2 都存在,則都存在,則 Y = 稱為是稱為是 X 的中心標(biāo)準(zhǔn)化。的中心標(biāo)準(zhǔn)化。 “中心標(biāo)準(zhǔn)化中心標(biāo)準(zhǔn)化” 即是通過(guò)線性變換把一即是通過(guò)線性變換把一個(gè)個(gè)隨機(jī)變量的期望轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的期望轉(zhuǎn)化為 0 ,方差轉(zhuǎn)化為,方差轉(zhuǎn)化為 1 。 X 2. 獨(dú)立隨機(jī)變量和的方差等于方差的和獨(dú)立隨機(jī)變量和的方差等于方差的和如果如果 X1、X2、Xn 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 ,則有:,則有: D (X1 + X2 + + Xn ) = D X1 + D X2 + + D Xn與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較:與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比
20、較: 任意隨機(jī)變量和的期望等于期望的和任意隨機(jī)變量和的期望等于期望的和 ; 獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積3. 任意兩個(gè)隨機(jī)變量和的方差公式任意兩個(gè)隨機(jī)變量和的方差公式 D (X + Y ) = D X + D Y + 2E (X E X)(Y E Y) 例例4.1.9 計(jì)算二項(xiàng)分布計(jì)算二項(xiàng)分布 B (n, ,p) 的期望與方差的期望與方差 解解. 如果按照定義,則需要計(jì)算如果按照定義,則需要計(jì)算 E X = kn=0 kCnk pk qn k D X = kn=0 (k E X )2Cnk pk qn k注意到二項(xiàng)分布可以分解成兩點(diǎn)分布的和:注意到二
21、項(xiàng)分布可以分解成兩點(diǎn)分布的和: 如果如果 X B (n, ,p) ,則則 X = X1 + X2 + Xn ,這里這里 每個(gè)每個(gè) Xi 獨(dú)立同分布于參數(shù)獨(dú)立同分布于參數(shù) p 的兩點(diǎn)分布。的兩點(diǎn)分布。 顯然有顯然有 E X1 = p ,D X1 = pq ( q = 1 p ) 因此二項(xiàng)分布的期望與方差是因此二項(xiàng)分布的期望與方差是 E X = np ,D X1 = npq 。五五. 切比雪夫切比雪夫 (Chebyshev) 不等式不等式切比雪夫不等式說(shuō)明,對(duì)任意的隨機(jī)變量切比雪夫不等式說(shuō)明,對(duì)任意的隨機(jī)變量 X , 它在期望附近取值的概率有一個(gè)下界。它在期望附近取值的概率有一個(gè)下界。 如果如果
22、X 的期望的期望 ,方差,方差 2 都存在,則都存在,則 對(duì)于任意的一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)于任意的一個(gè)實(shí)數(shù) 0 ,有:,有: P | X | ; 或者等價(jià)地,或者等價(jià)地, P | X | 1 。 2 2 2 21. 切比雪夫不等式的精確度切比雪夫不等式的精確度 在不等式中分別取在不等式中分別取 = ,2 ,3 P | X | 0 P | X | 2 0.75 P | X | 3 0.8889如果如果 X N (0, ,1), = 0.6826 ; = 0.9544 ; = 0.9974 。2. 切比雪夫不等式的意義切比雪夫不等式的意義(1) 它對(duì)所有的隨機(jī)變量都成立,不需要知道它對(duì)所有的隨機(jī)變量都成立,不
23、需要知道 X 的的具體分布??梢越乒烙?jì)事件的概率;具體分布??梢越乒烙?jì)事件的概率;(2) 可以說(shuō)明方差的概率含義;可以說(shuō)明方差的概率含義;(3) 可以證明隨機(jī)事件頻率的極限是概率。可以證明隨機(jī)事件頻率的極限是概率。例例4.1.10 假定發(fā)生意外概率是假定發(fā)生意外概率是 0.001,則在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的,則在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的 15,000 人中需要賠償?shù)娜藬?shù)人中需要賠償?shù)娜藬?shù) X B(15,000, ,0.001)。 近似計(jì)算近似計(jì)算 X 介于介于 10 20 之間的概率。之間的概率。 解解. 根據(jù)例題根據(jù)例題4.1.10 的結(jié)果,有:的結(jié)果,有: E X = 15,D X = 150.999 15 。
24、 根據(jù)切比雪夫不等式根據(jù)切比雪夫不等式 , P ( 15 X 20 ) = P ( | X 15 | 5 ) 1 = 0.4 。 15 25練習(xí)練習(xí)4.1.11 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣100次,問(wèn)正面次數(shù)在次,問(wèn)正面次數(shù)在 40 60 的概率?的概率?1. 證明:設(shè)一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的期望存在,證明:設(shè)一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的期望存在, 如果它的密度函數(shù)是偶函數(shù),則期望為如果它的密度函數(shù)是偶函數(shù),則期望為 0 ;2. 教材教材 138 頁(yè)頁(yè) 第第 1 題題 ;3. 教材教材 138 頁(yè)頁(yè) 第第 2 題題 ; 4. 教材教材 139 頁(yè)頁(yè) 第第 6 題題 ; 5. 教材教材 140 頁(yè)頁(yè) 第第 10
25、題題 。習(xí)題習(xí)題 4.11. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布EX = p ,DX = pq第二節(jié)第二節(jié) 常用分布期望與方差常用分布期望與方差都與這些分布的參數(shù)有關(guān)都與這些分布的參數(shù)有關(guān)X 只取只取 0,1 兩個(gè)可能值,分布律為:兩個(gè)可能值,分布律為: xk 0 1 p + q = 1 pk q p 0 p 12. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 在在 n 次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件 A 平均來(lái)說(shuō)平均來(lái)說(shuō)將要發(fā)生將要發(fā)生 np 次;或者是在有放回的抽樣中,取出的次;或者是在有放回的抽樣中,取出的 n 件產(chǎn)品里,平均起來(lái)包含了件產(chǎn)品里,平均起來(lái)包含了 np 件次品。件次品。 X 全部可能的取值是
26、有限的整數(shù)全部可能的取值是有限的整數(shù) 0,1,n ;分布律為:分布律為: pk = Cnk pk qn k ,0 k n 這里參數(shù)這里參數(shù) 0 p 1 , , q = 1 p 。EX = np ,DX = npq補(bǔ)充補(bǔ)充 3. 超幾何分布超幾何分布EX = , DX = ( 1 )( ) 無(wú)放回取出的無(wú)放回取出的 n 件產(chǎn)品里,件產(chǎn)品里,平均起來(lái)包含有平均起來(lái)包含有 n 件次品。件次品。 從包含從包含 M 件次品的件次品的 N 件產(chǎn)品中無(wú)放回隨機(jī)取出件產(chǎn)品中無(wú)放回隨機(jī)取出 n 件產(chǎn)品,其中的次品數(shù)件產(chǎn)品,其中的次品數(shù) X 的分布律為:的分布律為:kn kMNMknNCCpkn MC,0min(
27、 ,) nM nM M N n N N N N 1 MN補(bǔ)充補(bǔ)充 4. 幾何分布幾何分布 X 可能的取值是一切正整數(shù):可能的取值是一切正整數(shù):1 ,2 , ;分布律為:分布律為: P X = k = pqk1 , , k 1 。 這里參數(shù)這里參數(shù) 0 p 1 , , q = 1 p 。EX = , DX = 1 q p p2平均需要做平均需要做 p 分之一次隨機(jī)試驗(yàn),分之一次隨機(jī)試驗(yàn),A 才會(huì)發(fā)生才會(huì)發(fā)生 5. 泊松分布泊松分布EX = , DX = 車站到來(lái)的乘客數(shù)量平均每一批有車站到來(lái)的乘客數(shù)量平均每一批有 人,以及人,以及單位時(shí)間里到來(lái)的電話呼叫數(shù)平均有單位時(shí)間里到來(lái)的電話呼叫數(shù)平均有
28、次等等。次等等。 X 可能取值是所有非負(fù)整數(shù)可能取值是所有非負(fù)整數(shù) 0,1,2,;分布律為:分布律為: P X = k = e ,k 0 這里泊松分布的參數(shù)這里泊松分布的參數(shù) 0 。 k k !6. 均勻分布均勻分布 X 服從區(qū)間服從區(qū)間 (a, ,b) 上的均勻分布,上的均勻分布,密度函數(shù)是:密度函數(shù)是: X 取值的平均就是區(qū)間取值的平均就是區(qū)間 (a, ,b) 的中點(diǎn)的中點(diǎn) , a x b p (x) = 0 , 其它其它 1 b a EX = , DX = a + b ( b a )2 2 127. 指數(shù)分布指數(shù)分布 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,密度函數(shù)是:的指數(shù)分布,密度函數(shù)
29、是: 元件的平均壽命、地震的平均間隔、機(jī)械元件的平均壽命、地震的平均間隔、機(jī)械故障的平均間隔故障的平均間隔(等待時(shí)間等待時(shí)間)為為 。 e x/ , x 0 p (x) = 0 , 其它其它 1 EX = , DX = 28. 正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)當(dāng) X N ( , , 2 ) 時(shí),密度函數(shù)為時(shí),密度函數(shù)為 X N ( , , 2 ) ( X )/ N (0, ,1) 實(shí)際上就是正態(tài)分布的中心標(biāo)準(zhǔn)化實(shí)際上就是正態(tài)分布的中心標(biāo)準(zhǔn)化xp xex22()21( ),2 EX = , DX = 2 2. 教材教材 140 頁(yè)頁(yè) 第第 14 題題 ; 3. 教材教材 141 頁(yè)頁(yè) 第第 23 題題 。 1
30、. 教材教材 140 頁(yè)頁(yè) 第第 11 題題 ;習(xí)題習(xí)題 4.2第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量之間協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量之間不獨(dú)立關(guān)系不獨(dú)立關(guān)系的一種度量,的一種度量, 相關(guān)系數(shù)是它們之間的相關(guān)系數(shù)是它們之間的線性關(guān)系線性關(guān)系的一種度量。的一種度量。如果如果 X 、Y 獨(dú)立,則有獨(dú)立,則有 E (X EX )(Y EY ) = 0 ;反之,如果反之,如果 E (X EX )(Y EY ) 0, 則則 X 、Y 肯定不獨(dú)立,說(shuō)明它們存在某種關(guān)系??隙ú华?dú)立,說(shuō)明它們存在某種關(guān)系。一一. 協(xié)方差的引進(jìn)協(xié)方差的引進(jìn)1. 協(xié)方差的定義協(xié)方差的定義 兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差
31、定義為數(shù)字特征:兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差定義為數(shù)字特征: Cov (X, ,Y) = E (X EX )(Y EY ) ( Covariance ,簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成Cov )2. Cov (X, ,Y)之所以被稱為之所以被稱為 X、Y 的協(xié)方差,的協(xié)方差, 是因?yàn)槭且驗(yàn)?方差方差 DX = Cov (X, ,X) 。3. 協(xié)方差的計(jì)算公式:協(xié)方差的計(jì)算公式: Cov (X, ,Y) = E (XY) (EX )(EY )1. X、Y 的相關(guān)系數(shù)定義為數(shù)字特征的相關(guān)系數(shù)定義為數(shù)字特征 :二二. 兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)2. “不相關(guān)不相關(guān)” 的定義的定義 如果如果 X、Y 的相關(guān)系數(shù)
32、的相關(guān)系數(shù) XY = 0 , 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 X、Y 是不相關(guān)的。是不相關(guān)的。顯然顯然 “不相關(guān)不相關(guān)” 等價(jià)于等價(jià)于 “協(xié)方差為協(xié)方差為 0”XYCov X YDXDY(,) 不相關(guān)與獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與獨(dú)立的關(guān)系“獨(dú)立獨(dú)立”則肯定則肯定“不相關(guān)不相關(guān)”;反之,反之, “不相關(guān)不相關(guān)”則不一定則不一定“獨(dú)立獨(dú)立”。3. “不相關(guān)不相關(guān)” 的一些等價(jià)形的一些等價(jià)形式式 X Y = 0 Cov (X, ,Y) = 0 E (XY) = (EX )(EY ) D (X+Y ) = DX + DY 最后一個(gè)等價(jià)關(guān)系來(lái)自最后一個(gè)等價(jià)關(guān)系來(lái)自“隨機(jī)變量和的方差隨機(jī)變量和的方差”公式:公式: D (X+Y ) = DX + DY + 2Cov(X, ,Y) 例例4.3.1 第三章討論的隨機(jī)取數(shù)的問(wèn)題第三章討論的隨機(jī)取數(shù)的問(wèn)題 X Y 1 2 3 4 pi 1 1/4 0 0 0 1/4 2 1/8 1/8 0 0 1/4 3 1/12 1/12 1/12 0 1/4 4 1/16 1/16 1/16 1/16 1/4 p j 25/48 13/48 7/48 3/48 1計(jì)算計(jì)算 X、Y 的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。解解. 計(jì)算計(jì)算 X、Y 的方差比較簡(jiǎn)單,的方差
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