第五章_貝塞爾函數(shù)

1、n階第一類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)，或稱Neumann函數(shù)第三類貝塞爾函數(shù)漢克爾（Hankel）函數(shù)，第一類變形的貝塞爾函數(shù)開爾文函數(shù)（或稱湯姆孫函數(shù)）階第一類開爾文（Kelvin）第五章 貝塞爾函數(shù)在第二章中，用分離變量法求解了一些定解問(wèn)題。從§2.3可以看出，當(dāng)我們采用極坐標(biāo)系后，經(jīng)過(guò)分離變量就會(huì)出現(xiàn)變系數(shù)的線性常微分方程。在那里，由于只考慮圓盤在穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布，所以得到了歐拉方程。如果不是考慮穩(wěn)恒狀態(tài)而是考慮瞬時(shí)狀態(tài)，就會(huì)得到一種特殊類型的常微分方程。本章將通過(guò)在柱坐標(biāo)系中對(duì)定解問(wèn)題進(jìn)行分離變量，引出在§2.6中曾經(jīng)指出過(guò)的貝塞爾方程，并討論這個(gè)方程解的一些性

2、質(zhì)。下面將看到，在一般情況下，貝塞爾方程的解不能用初等函數(shù)表出，從而就導(dǎo)入一類特殊函數(shù)，稱為貝塞爾函數(shù)。貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題時(shí)主要是引用正交完備性。§5.1 貝塞爾方程的引出 下面以圓盤的瞬時(shí)溫度分布為例推導(dǎo)出貝塞爾方程。設(shè)有半徑為的薄圓盤，其側(cè)面絕緣，若圓盤邊界上的溫度恒保持為零攝氏度，且初始溫度為已知，求圓盤內(nèi)瞬時(shí)溫度分布規(guī)律。這個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為求解下述定解問(wèn)題：用分離變量法解這個(gè)問(wèn)題，先令代入方程（5.1）得或由此得到下面關(guān)于函數(shù)和的方程 （5.4） （5.5）從（5.4）得方程（5.5）稱為亥姆霍茲（Helmholtz）方程。為了求出這個(gè)方程滿足條件

3、（5.6）的非零解，引用平面上的極坐標(biāo)系，將方程（5.5）與條件（5.6）寫成極坐標(biāo)形式得 再令 ，代入（5.7）并分離變量可得 （5.9） （5.10）由于是單值函數(shù)，所以也必是單值得，因此應(yīng)該是以為周期的周期函數(shù)，這就決定了只能等于如下的數(shù)：對(duì)應(yīng)于，有（為常數(shù)）以代入（5.10）得 （5.11）這個(gè)方程與（2.93）相比，僅僅是兩者的自變量和函數(shù)記號(hào)有差別，所以，它是階貝塞爾方程。若再作代換，并記 ，則得.這是階貝塞爾方程最常見的形式。由條件（5.8）及溫度是有限的，分別可得 （5.12）因此，原定解問(wèn)題的最后解決就歸結(jié)為求貝塞爾方程（5.11）在條件（5.12）下的特征值與特征函數(shù)（5.

4、12中第一個(gè)條件是在處的第一類邊界條件，第二個(gè)條件是在處的自然邊界條件，由于在處為零，所以在這一點(diǎn)應(yīng)加自然邊界條件）。在下一節(jié)先討論方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回過(guò)頭來(lái)討論這個(gè)特征值問(wèn)題。§5.2 貝塞爾方程的求解在上一節(jié)中，從解決圓盤的瞬時(shí)溫度分布問(wèn)題引出了貝塞爾方程，本節(jié)來(lái)討論這個(gè)方程的解法。按慣例，仍以表示自變量，以表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為 （5.13）其中為任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。我們僅限于為任意實(shí)數(shù)，且由于方程中的系數(shù)出現(xiàn)的項(xiàng)，所以在討論時(shí)，不妨先假定。設(shè)方程（5.13）有一個(gè)級(jí)數(shù)解，其形式為， （5.14）其中常數(shù)和可以通過(guò)把和它的導(dǎo)數(shù)代入（5.13

5、）來(lái)確定。將（5.14）及其導(dǎo)數(shù)代入（5.13）后得化簡(jiǎn)后寫成要上式為恒等式，必須各個(gè)冪的系數(shù)全為零，從而得到下列各式：1°；2°；3°。由1°得，代入2°得。先暫取，代入3°得4°。因?yàn)?，?°知，而都可以用表示，即，.由此知（5.14）的一般項(xiàng)為是一個(gè)任意常數(shù)，讓取一個(gè)確定的值，就得（5.13）得一個(gè)特解。把取作這樣選取可使一般項(xiàng)系數(shù)中2的次數(shù)與的次數(shù)相同，并可以運(yùn)用下列恒等式：使分母簡(jiǎn)化，從而使（5.14）中一般項(xiàng)的系數(shù)變成 （5.15）這樣就比較整齊、簡(jiǎn)單了。以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的

6、一個(gè)特解用級(jí)數(shù)的比率判別法（或稱達(dá)朗貝爾判別法）可以判定這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂。這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)所確定的函數(shù)，稱為n階第一類貝塞爾函數(shù)。記作 （5.16）至此，就求出了貝塞爾方程的一個(gè)特解。當(dāng)為正整數(shù)或零時(shí)，故有 （5.17）取時(shí)，用同樣的方法可得（5.13）的另一特解 （5.18）比較（5.16）式與（5.18）式可見，只要在（5.16）右端把換成，即可得到（5.18）式。因此不論式正數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用（5.16）統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù)。當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，這兩個(gè)特解與是線性無(wú)關(guān)的，由齊次線性常微分方程的通解的結(jié)構(gòu)定理知道，（5.13）的通解為 （5.19）其中為兩個(gè)任意常數(shù)。當(dāng)然，在不為整數(shù)

7、的情況，方程（5.13）的通解除了可以寫成（5.19）式以外還可以寫成其它的形式，只要能夠找到該方程另一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解，它與就可構(gòu)成（5.13）的通解，這樣的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取，則得到（5.13）的一個(gè)特解（5.20）顯然，與是線性無(wú)關(guān)的，因此，（5.13）的通解可以寫成 （5.21）由（5.20）式所確定的函數(shù)稱為第二類貝塞爾函數(shù)，或稱Neumann函數(shù)。§5.3 當(dāng)n為整數(shù)時(shí)貝塞爾方程的通解 上一節(jié)說(shuō)明，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式確定，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，（5.13）的通解應(yīng)該是什么樣子呢？ 首先，我們證明當(dāng)為整數(shù)

8、時(shí)，與是線性相關(guān)的。事實(shí)上，不妨設(shè)為正整數(shù)（這不失一般性，因?yàn)樨?fù)整數(shù)時(shí)，會(huì)得到同樣的結(jié)果），這在（5.18）中，當(dāng)時(shí)均為零，這時(shí)級(jí)數(shù)從起才開始出現(xiàn)非零項(xiàng)。于是（5.18）可以寫成即與線性相關(guān)，這時(shí)與已不能構(gòu)成貝塞爾方程的通解了。為了求出貝塞爾方程的通解，還要求出一個(gè)與線性無(wú)關(guān)的特解。取哪一個(gè)特解？自然我們想到第二類貝塞爾函數(shù)。不過(guò)當(dāng)為整數(shù)時(shí)（5.20）的右端沒(méi)有意義，要想把整數(shù)階貝塞爾方程的通解也寫成（5.21）的形式，必須先修改第二類貝塞爾函數(shù)的定義。在為整數(shù)的情況，我們定義第二類貝塞爾函數(shù)為 （5.22）由于當(dāng)為整數(shù)時(shí)，所以上式右端的極限為“”形式的不定型的極限，應(yīng)用洛必達(dá)法則并經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的

9、推導(dǎo)，最后得 （5.23）其中，稱為歐拉常數(shù)。根據(jù)這個(gè)函數(shù)的定義，它確是貝塞爾方程的一個(gè)特解，而且與是線性無(wú)關(guān)的（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為有限值，而為無(wú)窮大）。綜上所述，不論是否為整數(shù)，貝塞爾方程（5.13）的通解都可表示為其中為任意常數(shù)，為任意實(shí)數(shù)。§5.4貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間不是彼此鼓孤立的，而是有一定的聯(lián)系，本節(jié)來(lái)建立反映這種聯(lián)系的遞推公式。先考慮零階與一階貝塞爾函數(shù)之間的關(guān)系。在（5.17）中令及得取出第一個(gè)級(jí)數(shù)的第項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)，得這個(gè)式子正好是中含這一項(xiàng)的負(fù)值，且知的第一項(xiàng)導(dǎo)數(shù)為零，故得關(guān)系式 （5.24）將乘以并求導(dǎo)數(shù)，又得 即 （5.25）以上結(jié)果可以推廣，現(xiàn)將乘

10、以求導(dǎo)數(shù)，得即 （5.26）同理可得 （5.27）將（5.26）和（5.27）兩式左端的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)，并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，這分別得及 .將這兩式相減及相加，分別得到 （5.28） （5.29）以上幾式就是貝塞爾函數(shù)的遞推公式，它們?cè)谟嘘P(guān)貝塞爾函數(shù)的的分析運(yùn)算中非常有用。特別值得一提的是，應(yīng)用（5.28）式可以用較低階的貝塞爾函數(shù)把較高階的貝塞爾函數(shù)表示出來(lái)，因此如果我們已有零階與一階貝塞爾函數(shù)表，這利用此表和（5.28），即可計(jì)算任意正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)的數(shù)值。第二類貝塞爾函數(shù)也具有與第一類貝塞爾函數(shù)相同的遞推公式 （5.30）作為遞推公式的一個(gè)應(yīng)用，考慮半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)，現(xiàn)計(jì)算，。由（5.16）可

11、得而從而 （5.31）同理，可求得 （5.32）利用遞推公式（5.28）得到同理可得一般而言，有 （5.33）這里為了方便起見，采用了微分算子，它是算子連續(xù)作用次的縮寫，例如，千萬(wàn)不能把它與混為一談。從（5.33）可以看出，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù)。§5.5函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù) 利用貝塞爾求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題，最終要把已知函數(shù)按貝塞爾方程的特征函數(shù)系進(jìn)行展開。這一節(jié)我們先要所明貝塞爾方程的特征函數(shù)系是什么樣的函數(shù)系，然后證明這個(gè)特征函數(shù)系是一個(gè)正交系。 5.5.1 貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)在§5.1中，已經(jīng)將求解圓盤的溫度分布問(wèn)題通過(guò)分離變量法轉(zhuǎn)化成貝塞爾方程的特

12、征值問(wèn)題：方程（5.34）的通解為，由條件（5.36）可得，即利用條件（5.35）得 （5.37） 這就說(shuō)明，為了求出上述特征值問(wèn)題的特征值必須要計(jì)算的零點(diǎn)。有沒(méi)有實(shí)的零點(diǎn)？若存在實(shí)的零點(diǎn)，一共有多少個(gè)？關(guān)于這些問(wèn)題，有以下結(jié)論：1°有無(wú)窮多個(gè)單重實(shí)零點(diǎn)，且這無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)在軸上關(guān)于原點(diǎn)實(shí)對(duì)稱分布的，因而必有無(wú)窮多個(gè)正的零點(diǎn)。2°的零點(diǎn)與的零點(diǎn)是彼此相間分布的，即的任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間必存在一個(gè)且僅有一個(gè)的零點(diǎn)。3°以表示的非負(fù)零點(diǎn)（），則當(dāng)時(shí)無(wú)限地接近于，即幾乎是以為周期的函數(shù)。與的圖形見圖5.1。為了便于工程技術(shù)上的應(yīng)用，貝塞爾函數(shù)的正零點(diǎn)的數(shù)值已被詳細(xì)計(jì)算出來(lái)

13、，并列成表格。下表給出了的前9個(gè)正零點(diǎn)的近似值：利用上述關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論，方程（5.37）的解為（）即（） （5.38）與這些特征值相對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為（） （5.39）5.5.2 貝塞爾函數(shù)的正交性現(xiàn)在來(lái)討論特征函數(shù)系的正交性，我們將要證明 （5.40）由于貝塞爾函數(shù)系是特征值問(wèn)題（5.345.36）的特征函數(shù)系，所以它的正交性由§2.6中的施圖姆劉維爾理論可以直接推出。不過(guò)因?yàn)樵谀抢镂覀儾](méi)有就一般情況證明這個(gè)結(jié)論，因此，我們?cè)谶@里把貝塞爾函數(shù)系的正交性詳細(xì)證明一下，而且這個(gè)證明方法是富有啟發(fā)性的，完全可以類似的步驟來(lái)證明§2.6中的結(jié)論3。下一章將要講到的勒讓德

14、多項(xiàng)式的正交性，也是施圖姆劉維爾理論的另一個(gè)具體例子。下面就來(lái)證明（5.40）。為了書寫方便，令，按定義，分別滿足以乘第一個(gè)方程減去以乘第二個(gè)方程，然后對(duì)從到積分得即由此可得因，故上式可寫成 （5.41）若取，則，從而（5.41）的右端為零，即（5.40）中第一個(gè)式子已得證。為了證明（5.40）中第二個(gè)式子，在（5.41）兩端令，此時(shí)（5.41）右端的極限是“”形式的不定型的極限，利用洛必達(dá)法則計(jì)算這個(gè)極限得由遞推公式及可知從而，這就是（5.40）中第二個(gè)式子。通常把定積分的正平方根，稱為貝塞爾函數(shù)的模。利用§2.6中關(guān)于特征函數(shù)系的完備性可知，任意在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二

15、階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只要它在處有界，在處等于零，則它必能展開成如下形式的絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù) （5.42）為了確定這個(gè)展開式的系數(shù)，在（5.42）兩端同乘以，并對(duì)r從0到R積分，由正交關(guān)系式（5.40）得即 （5.43）下一節(jié)將通過(guò)例子說(shuō)明貝塞爾函數(shù)在求解定解問(wèn)題時(shí)的用法。§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例下面舉兩個(gè)例子，說(shuō)明用貝塞爾函數(shù)求解定解問(wèn)題的全過(guò)程。例1 設(shè)有半徑為1的薄均勻圓盤，邊界上溫度為零攝氏度，初始時(shí)刻圓盤內(nèi)溫度分布為，其中是圓盤內(nèi)任一點(diǎn)的極半徑，求圓盤內(nèi)溫度分布規(guī)律。解 由于是在圓盤內(nèi)求解問(wèn)題，故采用極坐標(biāo)系較為方便，并考慮到定解條件與無(wú)關(guān)，所以溫度分布只能是的函數(shù)，于是根據(jù)問(wèn)

16、題的要求，即可歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題：此外，由物理意義，還有條件，且當(dāng)時(shí)，。令代入方程（5.44）得或由此得 （5.47） （5.48）方程（5.48）得解為因?yàn)闀r(shí)，。所以只能大于零，令，則此時(shí)方程（5.47）的通解為由的有界性，可知，再由（5.45）得，即是的零點(diǎn)。以表示的正零點(diǎn)，則綜合以上結(jié)果可得從而由條件（5.46）得從而因，即故得另外從而所以，所求定解問(wèn)題的解為 (5.49)其中是的正零點(diǎn)。例2 求下列定解問(wèn)題： 解 用分離變量法來(lái)解，令，采用例1類似的運(yùn)算，可以得到 （5.53） （5.54）由在處的有界性，可知，即 （5.55）再根據(jù)邊界條件（5.51）中第一式，得因不能為零，故有

17、利用貝塞爾函數(shù)的遞推公式（5.24）可得即是的非負(fù)零點(diǎn)，以表示的所有正零點(diǎn)，又因，所以及（5.56）當(dāng)時(shí)，由（5.47），（5.48）及（5.51）中第二個(gè)條件可知，方程（5.50）有一個(gè)特解其中是待定常數(shù)。當(dāng)時(shí)，由方程（5.55）及（5.54）得即（5.50）由特解其中是待定常數(shù)。利用疊加原理可得原定解問(wèn)題的解為代入條件（5.52）得 （5.57） （5.58）由（5.57）得，在（5.58）兩端同乘以并對(duì)在上積分得由（5.58）并利用下面的結(jié)果（見習(xí)題五第14題）：如果是的正零點(diǎn)，則得到所以最后得到定解問(wèn)題的解為。§5.7貝塞爾函數(shù)的其他類型由于解決某些工程問(wèn)題的需要，本節(jié)引入另

18、外三種形式的貝塞爾函數(shù)。5.7.1 第三類貝塞爾函數(shù)第三類貝塞爾函數(shù)有名漢克爾（Hankel）函數(shù)，它是由下列公式來(lái)定義的：其中，由于漢克爾函數(shù)是與的線性組合，所以，同樣也具有第一類貝塞爾函數(shù)相同的遞推形式：， ，.在下一節(jié)將看到這種函數(shù)當(dāng)很大時(shí)有比較簡(jiǎn)單的漸近公式。5.7.2 虛宗量的貝塞爾函數(shù)當(dāng)我們?cè)趫A柱形域內(nèi)求解定解問(wèn)題，如果圓柱上下兩底的邊界條件都是齊次的，側(cè)面的邊界條件是非齊次時(shí)，就會(huì)遇到形如 （5.60）的方程，它和貝塞爾方程只有一項(xiàng)的符號(hào)有差別，若令就可將這個(gè)方程化成貝塞爾方程，因?yàn)榇耄?.60）得到 因此方程（5.60）的通解為這里將上式乘以后，我們就定義它為第一類虛宗量的貝塞爾函數(shù)或稱第一類