數列的通項與求和二輪專題訓練(理科)

1、數列的通項與求和二輪專題復習（理科）一、真題回訪回訪 1an 與 Sn 的關系1(2015 ·全國卷 )設 Sn 是 an 的前 n 項和，且 a1 1，an1SnSn 1，則 Sn_.212(2013 全·國卷 )若數列 an 的前 n 項和 Sn3an 3，則 an 的通項公式 an_.回訪 2數列求和23(2015 ·全國卷改編 )Sn 為數列 an 的前 n 項和已知 an0，an2an4Sn3，則 (1) an 的通項公式為 _；(2)設n1，則數列 bn的前n 項和為 _bn n 1a a4(2012 ·國卷全 )數列 an 滿足 an 1

2、( 1)nan2n1，則 an 的前 60 項和為 _二、熱點題型探究熱點題型 1數列中的 an 與 Sn 的關系2an數列 an 中， a1 1，Sn 為數列 an 的前 n 項和，且滿足2 anSn Sn1(n2)求數列 an 的通項公式變式訓練 1 (1)已知數列 an 前 n 項和為 Sn，若 Sn 2an 2n，則 Sn_.(2)已知數列nnnn*)，則 a 的各項均為正數，其前n 項和為 S，且2S 23a(nNan _.熱點題型 2裂項相消法求和已知等差數列 an的公差 ，它的前n項和為n，若5，且d 0SS70a ， a ，a22成等比數列，27(1)求數列 an 的通項公式；

3、113(2)若數列 Sn 的前 n 項和為 Tn ，求證： 6Tn<8.n142 3 8. 變式訓練 已知數列 a 是遞增的等比數列，且aa 9，a a(1)求數列 an 的通項公式；a(2)設 Sn 為數列 an 的前 n 項和， bnn1，求數列 bn 的前 n 項和 Tn.S Sn n1熱點題型 3錯位相減法求和已知數列 an和n滿足1，1 ， n1n *)，b a 2 b 1 a2a (n N1 1 21 31nn11(nN*)b 2b 3b nb b(1)求 an 與 bn；(2)記數列 anbn 的前 n 項和為 Tn，求 Tn.變式訓練 3已知在公比大于f(x)(x 2)(

4、x8)的兩個零點(1)求數列 an 的通項公式；1 的等比數列 an 中， a2，a4 是函數(2)求數列 2 nan 的前 n 項和 Sn.三、課后作業(yè)1已知數列 an 的前 n 項和為 Sn，若 Sn2an 4(n N* )，則 an ()A2n 1B2nC 2n1D2n 22數列 a 滿足 a 1，且當 n2 時， a n1a ，則 a ()nn1nn 1511C 5D6A.5B6SS2 012104在等差數列 an 中， a1 2 012，其前 n 項和為 Sn，若 2 012 10 2 002，則 S2 014 的值等于 ()A2 011B 2 012C2 014D 2 0135中國

5、古代數學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還”其意思為：有一個人走378 里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6 天后到達目的地，請問第二天走了()A192 里B96 里C48 里D24 里6(2016 ·西安模擬 )設 Sn 是數列 an 的前 n 項和，an4Sn3，則 S4 _.7(2016 ·廣州二模 )設數列 an 的前 n 項和為 Sn，若 a212，Snkn21(nN* )，1則數列 Sn 的前 n 項和為 _8已知 an 的前 n 項和

6、Sn 滿足 Sn2an1(nN* )，且 a1 1，則通項公式 an_.9設 an 的前 n 項和為 Sn，S2 4，an 12Sn1，nN* ，則 a1_， S5_.10(2016 鄭·州模擬 )已知等差數列 an 中 a25，前 4 項和 S428.(1)求數列 an 的通項公式；(2)若 bn(1)nan，求數列 bn 的前 2n 項和 T2n.11設數列 an 滿足 a13a2 32a3 3n 1ann3，nN* .n(1)求數列 an 的通項公式；(2)設 bnan，求數列 bn 的前 n 項和 Sn.12已知首項都是 1 的兩個數列 an ， bn( bn0，nN* )滿

7、足 an bn 1an 1bn 2bn 1bn0.an(1)令 cnbn，求數列 cn 的通項公式；(2)若 bn3n1，求數列 an 的前 n 項和 Sn.數列的通項與求和二輪專題復習（理科）參考答案一、真題回訪回訪 1an 與n 的關系S1a SS ，aS S，SSSS.又 S 0， 1，n 1n 1nn1n n1n1nn n1n11SnSn1即 1 1 1.又1 1，1是首項為 1，公差為 1 的等差數列，Snn1SSSn11n1 1 (n1)×(1) n，即 S .Snn1當211.2 ( 2)nn 11 a1 ， 1時， S33a2 1當 n 2 時， an SnSn1 3

8、an 3 3an1 3 3(anan 1 )，212a 2a ，即n2， 2，a 是以 1 為首項的等比數列，其公比為nn1anan1n1×(2)n1，即n(2)n1.aa回訪 2數列求和3 (1)a 2n 1n22a4S 3，(2)3 2n 3(1) 由 annnn2可知 an1 2an14Sn13.22，得 an1 an2(an1 an) 4an1，2 2即 2(an1an)an1an(an1an)(an1an)由 an >0，得 an1 an2.212a14a13，解得 a1 1(舍去 )或 a13.又 a所以 an 是首項為 3，公差為 2 的等差數列，通項公式為an2

9、n1.11111(2)由 an2n1 可知 bn22n3 .2n12n 1a a2n3nn1設數列 bn 的前 n 項和為 Tn，則 Tnb1b2 bn1111111n23557 3.2n12n3 2n34 an1 (1)nan2n1，a2 1 a1，a32a1，a47a1，a5a1 ，a69a1，a7 2 a1，a815a1，a9 a1，a1017 a1，a11 2 a1 ，a1223 a1， ，a57a1，a58113 a1，a59 2 a1，a60119a1，a1 a2 a60 (a1a2 a3a4)(a5a6a7 a8) (a57a58a59a60) 102642 23415×

10、; 10234 1 830.2二、熱點題型探究熱點題型 1數列中的 an 與 Sn 的關系n解 由已知，當 n2 時，2an n21，na S S2 SnSn12 SnSn1111所以21，2 分即1，所以 SnSn12.4分SnSn1 Sn Sn Sn1Sn又 1a11，所以數列1是首項為，公差為1的等差數列，6分Sn12S所以11n1，即 Sn21 (n1)2.8 分Sn2n1nnn1222.10 分所以當 n2 時， aS S n1nn n 11，n1，因此 an212 分，n2.n n 1 變式訓練 1(1)n·2n(nN* )(2)2× 3n1(nN* )(1)

11、由 Sn2an 2n 得當 n1nSn1SnS時， 1 a1 2；當 n2 時， Sn 2(Sn Sn 1 ) 2n ，即 n ，所以數列nS22n112Snnn時，也符是首項為 1，公差為 1 的等差數列，則 2n n，Sn·2 (n 2)，當 n1合上式，所以 Snn·2n(nN* )(2)因為 2Sn2 3an，所以 2Sn1 2 3an 1 ，由，得 2Sn12Sn3an13an，所以 2an1 3an13an，即an13.an當 n1 時，22S13a1，所以 a12，所以數列 an 是首項為 2，公比為 3 的等比數列，所以 an2×3n1(n N*

12、) 熱點題型 2裂項相消法求和解(1)由已知及等差數列的性質得S55a3，a3 14，1 分2又 a2，a7，a22 成等比數列，即a7a2·a22.2 分由(a 6d) (a d)(a 21d)且 d0，解得 a 2d，a 6， d 4.4 分1211131nn*.6分故數列 a 的通項公式為 a 4n2，nN1 n21111n aa1 ，8 分(2)證明：由 (1)得 S 2n 4n， 4 nn2Sn22n 4nn 21111113111.10 分Tn 1 n24 324nn28 4 n13111113又 TnT1 43 ，所以 Tn<.12 分82668變式訓練 2 解(

13、1)由題設知 a ·aa ·a 8，2 分1423又 a1a49，可得a11，a48或a1 8，a4 1.(舍去 )4 分由 a4a1q3 得公比 q 2，故 an a1qn12n1.6 分(2)Sn a1 1qnnn an 1Sn1 Sn11分1q2 1.8分，又 b，10SnSn1SnSn1SnSn1所以 Tn b1b2 bn 1 1 1 11111 nS1 S2S2 S3Sn11SSSn111 n 1.12分2 1熱點題型 3錯位相減法求和解(1)由 a1 ， n12an，得n n*).2分2 aa 2 (nN由題意知：當 n1 時， b1b2 1，故 b22.3 分

14、當 n 2 時， 1b bn n1 n分整理得n1，所以 bn *分nb bb .4nn(n N ).6n 1 n(2)由 (1)知 anbnn·2n，因此 Tn22·223 ·23 n·2n，2Tn222 ·233 ·24 n·2n1，8 分所以 Tn 2Tn22223 2n n·2n1.9 分故 Tn(n1)2n12(nN* ).變式訓練 3 解 (1)因為 a ，a 是函數 f(x)(x 2)(x8)的兩個零點，且等24比數列 a 的公比 q 大于 1，所以 a 2，a 8，2 分n24n1*).6分所以 q

15、2，所以數列 a 的通項公式為 a 2 (n Nnn由(1)知n × n ，所以n2 n×2n， 7 分(2)2na n 2S1×22×22Sn1×222×23 (n 1)×2n n× 2n1， 8 分23nn122n× 2n 1分由，得 S 22 2 2 n× 2 n× 2 ，11n1 2所以 Sn2(n 1)×2n1(nN* ).12 分三、課后作業(yè)1A 由 Sn2an4 可得 Sn12an14(n2)，兩式相減可得an2an2an1(n2)，即 an 2an 1(n2)

16、又 a12a14，a1 4，所以數列 an 是以 4 為首項，2 為公比的等比數列，則an4×2n12n1，故選 A.n1nn12A 因為 a1 1，且當 n2時， an nan1 ，則 an ，所以 a5an1a5 a4 a3 a243211故選····1，即5××××15.A.a4 a3a2 a1aa 5 4323.C111111，n1 21n2 2nn n22 n n 2 2 11 211111112121 1 132435 n21 31 41n112n 21 31131112 2n 2 .n1n2

17、 4 2 n 1n n1ndSnS4C 等差數列中， Snna12d， n a1(n1)2，即數列 n是首項為dSSd2 01210a1 2 012，公差為 2的等差數列因為 2 012 102 002，所以 (2 01210)2d2 002， 2 1，所以 S2 0142 014(2 012)(2 0141) ×12 014，選 C.5 B 由題意，知每天所走路程形成以a1 為首項，公比為12的等比數列，則1a1 1261 378，解得 a1192，則 a2 96，即第二天走了 96 里故選 B.1 2620nn111時，27a 4S 3，當 n1 時， a4a 3，解得 a 1，

18、當 n2nnn1an1nnan1an1n為4S a 3，4S 3，4a a，3， a 是以 1an11141380× 3204首項， 3為公比的等比數列， S 1814 27.1 37n令 得1S1 k1，令 n 2 得 S2 4k1a1a2k 1 12，2n1n1a2111111，解得 k4，所以 S 4n 1，nS4n 12n1 2n12 2n 1 2n1n21111 1111111則數列 Sn的前 n 項和為 2 132 35 212 112n12n2nn.2n11，n 1，83n N * 由 Sn2an1(n N* )可得 Sn1 2an(n 2， n1· n 2，

19、 n 2，22*nn1nan13*)N)兩式相減得： a 2a 2a，即a (n2，nN2n又由 a11 及 Sn2an1(n N* )可得 a212，n 從第二項開始成一個首項為213所以數列 aa2，公比為 的等比數列，231，n1，3nN* .故當 n>1，n N* 時有 an1· n 2，所以有 an2 21· n2，n2，2291121a 2S 1，SS 2S 1，n1nn1nnn1nn11Sn1，數列Sn1是公比為 3 的等比數列，S3S1，S 32221S22 13.又 S24，S1 1，a1 1，S12S512 S112 × 3432×342432，S5121.10解 (1)設等差數列 an 的公差為 d，則由已知條件得a a d 5，214×32 分S44a1 2 ×d28，a11，an a1(n1)×d4n3(n N* ).6 分4 分d4，(2)由 (1)可得 bn (1)nan(1)n(4n 3)，8 分T2n 15913 17 (8n3)4×n4n(nN* ).12 分11 解(1)因為 a13