高中新課程導學學案

1、高中新課程導學學案·數學（必修1）·第一章·集合與函數§第一章集合與函數§1.1集合§1.1.1集合的含義與表示（第一課時） 9【課標定向】學習目標通過實例了解集合的含義；體會元素與集合的“屬于”關系.；了解集合中元素的三個特性.提示與建議結合實例，通過思考、研究集合中元素的特征把握集合的特點，體會元素與集合的關系.【互動探究】自主探究1.一般地，我們把研究對象統稱為_,把一些元素組成的總體叫做_(簡稱為_).2.給定的集合,它的元素必須是確定的.也就是說,給定一個集合,那么_.3.一個給定集合中元素是互不相同的,也就是說,_.4.只

2、要構成兩個集合的元素是_的,我們就稱這兩個集合是相等的.5.如果是集合A的元素,可以記作_.6.全體非負整數組成的集合記作( )A. Z B. R C. N D. Q剖析探法 講解點一 集合的概念集合中的元素具有以下特征：（1）確定性：作為集合的元素，必須是確定的.對于集合A的元素，要么，要么，二者必居其一.如:所有“大于200的數”組成一個集合,而“較大的數”就不能構成一個集合,因為它的元素是不確定的,怎樣的數才算較大沒有明確的定義.(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，也就是說，在給定的集合中，任何兩個元素都是不相同的.(3)無序性:集合中元素的排列與次序無關,如1,2和2,1構成的集合

3、相同.例題1 下列各組對象:(1)接近于0的數的全體;(2)比較小的正整數的全體;(3)平面上到點0的距離等于1的點的全體;(4)正三角形的全體;(5)的近似值的全體.其中能構成集合的組數是( )A.2 B.3 C.4 D.5【思維切入】判斷所給對象能否構成集合的依據就是集合元素的三個特征.滿足集合元素的特征就能構成集合,如不滿足就不能構成集合.【解析】(1)(2)(5)不滿足集合元素的特征,不能構成集合;(3)(4)構成集合,故選A.【規(guī)律技巧總結】判斷一組對象是否構成集合關鍵就是看所給對象是否滿足集合中元素的特征.例題2 已知A=m,1,求m的取值范圍.【思維切入】 既然m,1是集合三個元

4、素,這三個元素就互不相同.【解析】因為m,1是所給集合的元素,所以, 所以且.【規(guī)律技巧總結】解答本類問題,只要保證所給元素滿足集合元素的互異性即可，若求集合中參數取值問題，必須進行檢驗。 講解點二 元素與集合的關系元素與集合有屬于與不屬于兩種關系:如是A的元素,就說屬于集合A,記作;如果不是集合A的元素,就說不屬于集合A,記作.例題3 用符號或填空:(1)0_; (2)_(3)_ (4)_.【思維切入】首先要熟悉所給的符號分別代表哪個集合,再判斷元素是否是對應集合的元素.【解析】(1) (2) (3) (4) 【規(guī)律技巧總結】(1)一些常用數集的記法：非負整數集 (或自然數集)記作N;正整數

5、集記作或;整數集記作;有理數集記作;實數集記作.(2) 與取決于是不是集合的元素.根據集合中元素的確定性,可知對任何與,在與這兩種情況中必有一種且只有一種情況成立.精彩反思集合中的元素具有三大特征：確定性：作為集合的元素，必須是確定的.互異性：在給定的集合中，任何兩個元素都是不相同的.無序性:集合中元素的排列次序無關.其中互異性是判斷集合元素個數,判斷所給元素能否構成集合的依據;確定性是判斷元素與集合關系的依據.解答有關的集合問題時需要我們密切關注集合中元素的這些特征.【自我測評】1.下列條件中能構成集合的是( )A 世界著名科學家B 在數軸上與原點非常接近的點C 所有等腰三角形D 全班品質好

6、的同學2.已知集合中三個元素是的三邊長,那么一定不是( )A 銳角三角形 B 鈍角三角形C直角三角形 D 等腰三角形3.給出下列三個關系:,其中正確的個數是( ).A 0 B 1 C 2 D 34.下列三個結論:(1)集合中最小的數是1;(2)則;(3),則的最小值是2.其中正確結論的個數是( )A 0 B 1C 2 D 35. 用符號或填空(1)_ Q,(2)32_N，(3)p_ Q，(4)_ R， (5)_Z，(6)_ N* 6.判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)學校中的年輕教師組成一個集合; (2)由數組成的集合中有5個元素; (3)由組成的集合與由組成的集合是同一個集合.【拓展遷

7、移】思維提升7.說出下面集合中的元素：（1）小于12的質數的集合；（2）倒數等于其本身的數的集合.視野拓展數學三大難題（之一）有20棵樹，每行四棵，古羅馬、希臘在16世紀就完成了16行的排列，18世紀高斯猜想能排18行，19世紀美國勞埃德完成此猜想，20世紀末兩位電子計算機高手完成20行紀錄，跨入21世紀還會有新的突破嗎？§1.1.1集合的含義與表示(第二課時 )【課標定向】學習目標1.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)來描述不同的集合問題；2.感受集合語言的意義和作用.提示與建議用列舉法表示集合時,注意元素不能重復,不能遺漏;用描述法表示集合時首先要清楚集合中代表元

8、素是什么,元素滿足什么特征.對比集合的兩種表示方法的特點,可以達到準確掌握,靈活運用的目的.【互動探究】自主探究1.把集合的元素_,并用_括起來表示集合的方法叫做列舉法.2.請用列舉法表示“地球上的四大洋”組成的集合.3.用集合所含元素的_表示集合的方法稱為描述法,具體方法是:_.4.不等式的解集中所含元素的共同特征是:_,用描述法可以表示為_.剖例探法講解點一 列舉法將集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號內表示集合的方法就是列舉法.使用列舉法時注意一下幾點:(1)元素間用分隔號“,”隔開;(2)元素不重復;(3)元素無順序;(4)對于含有較多元素的集合,如果元素有明顯的規(guī)律,可以用列舉法,但

9、必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后才能用刪節(jié)號.例題1 用列舉法表示下列集合:(1) 方程的實根組成的集合;(2) 小于5的所有自然數組成的集合.(3)小于1000的所有自然數組成的集合；(4)大于20的整數組成的集合.【思維切入】從列舉法的定義、注意事項入手,注意體現列舉法的特征.【解析】(1)-1,1; (2)0,1,2,3,4；(3)0,1,2,3,999,1000；(4)21,22,23,.【規(guī)律技巧總結】列舉法表示集合時注意無序性、互異性. 對于多元素集合可以用省略號表示,應用時要恰當.講解點二 描述法描述法就是把集合中的元素所具有的共同特征敘述出來,寫在大括號內.格式為代表元素|元素所滿

10、足的共同特征.用描述法表示集合時要注意:(1)弄清楚元素所具有的形式(即代表元素是什么),是數,還是有序實數(點),還是其他形式.(2)元素具有怎樣的共同屬性.例題2 用描述法表示下列集合:(1)所有正奇數組成的集合;(2)所有偶數組成的集合.【思維切入】弄清集合中的元素及怎樣用數學或文字語言描述它們的共性.【解析】(1)(2)【規(guī)律技巧總結】描述法表示集合的重點是共性的描述,代表元素只是形式.如(2)中的集合可以表示為或思維拓展 下面三個集合:(1);(2);(3)它們是不是相同的集合?如果不是,它們各自的含義是什么?【思維切入】對于描述法給出的集合,首先要清楚集合中代表元素是什么,元素滿足

11、什么共同特征.【解析】由于三個集合的代表元素不同,所以三個集合不相同.集合(1)代表元素是,表示滿足條件的所有組成的集合,所以=R.集合(2)代表元素是表示滿足條件的所有組成的集合,所以=集合(3)代表元素是點,表示曲線上的所有點組成的集合.例題3 用適當的方法表示下列集合:(1)由大于5小于9的自然數組成的集合;(2)不等式的解組成的集合;(3)被3除余1的正整數的集合.【思維切入】根據集合的元素的特點選擇適當的方法.【解析】(1)6,7,8; (2);(3).【規(guī)律技巧總結】列舉法和描述法是表示集合的兩種基本方法，應注意其優(yōu)缺點. (1)中集合也可以用描述法表示,集合表示方法一般要符合簡潔

12、的原則.精彩反思列舉法的優(yōu)點是可以明確集合中元素及元素個數.常用來表示有限集或有特殊規(guī)律的無限集.描述法的優(yōu)點是可以明確說明集合元素的共同特征,常用來表示無限集.【自我測評】1.下列集合表示法正確的是( )A 1,2,2 B 全體實數C 有理數 D 2.集合的另一種表示方法是( )A 0,1,2,3,4 B 1,2,3,4C 0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,53.用符號或填空:(1)_(2)(-1,1)_;(3)(1,2)_【拓展遷移】思維提升4.用列舉法表示下列集合:(1);(2) (3)不大于6的非負整數組成的集合;(4)方程組的解的集合.視野拓展數學三大難題（之二）相鄰兩國不同

13、著一色，任一地圖著色最少可用幾色完成著色？五色已證出，四色至今美國阿佩爾和哈肯，羅列了很多圖譜，通過計算機逐一理論完成，全面的人工推理尚待有志者。§1.1.2集合間的基本關系【課標定向】學習目標理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集;在具體情境中了解空集的含義；能用Venn圖表示集合的關系.提示與建議子集是描述兩個集合關系的概念.集合A是集合B的子集的本質是:集合A的任何一個元素都是集合B的元素,無論是有限集還是無限集,只要是集合A的元素就一定是集合B的元素.特別注意: 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【互動探究】自主探究1.用_代表集合，這種圖稱為Venn圖2

14、. 如果_，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集記作：_3. 若集合，_，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset）.4.寫出1,2的所有子集,并指出哪些是它的真子集.5. 判斷正誤：(1)空集沒有子集 ( )(2)空集是任何一個集合的真子集 ( )(3)任一集合必有兩個或兩個以上子集( )(4)若BÍA，那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B ( )剖例探法講解點一 子集與真子集1.如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集記作：讀作：A包含于B，或B包含A即任意xÎA都有xÎB

15、19;2.若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset）。記作：A B（或B A）. 讀作：A真包含于B（或B真包含A）.ABÛ，且存在.3.子集的性質規(guī)定：空集是任意集合的子集，即ÍA所以空集是任意非空集合的真子集，即若A¹，則A傳遞性：若，且，則；若AB，BC，則AC例題1 寫出1,2,3的所有子集,并指出哪些是真子集.【思維切入】根據子集,真子集的定義求解.【解析】,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.【規(guī)律技巧總結】這樣的題目需要按照一定的順序寫,以防止遺漏.先寫空集,再寫含一個元素的,再寫含兩個元素的,以此類推.例

16、題2 已知集合A1，3，2m1，集合B3，m2若BÍA，則實數m_【思維切入】 BÍA,說明B中的所有元素都屬于A.3是A的元素, m2也是A的元素,所以m2一l或者m22m1.【解析】BÍA，3A,m2Am2一l(舍去)或m22m1解得m1m1【規(guī)律技巧總結】解決這類問題,需要從分析集合間元素的關系入手,同時需要注意元素的互異性.講解點二 集合相等兩個集合相等就是兩個集合中元素都相同從子集的角度考慮就是:Û例題3 已知集合，,且A=B,求的值.【思維切入】由A=B可得或,解后要驗證,【解析】由A=B可得或解得或或.驗證,當時,A=2,0,0,這與集合中

17、元素的互異性相矛盾.所以或.【規(guī)律技巧總結】集合相等問題就是從元素入手,看元素滿足什么條件才能保證兩個集合相等.求出參數后需要驗證參數是否與元素集合的特征相違背.精彩反思.任取xÎA都有xÎBÛ；ABÛ，且存在；Û.包括A=B和AB.和集合元素的特征是本部分容易忽略的地方,需要我們在學習的時候特別注意.【自我測評】1用適當的符號填空：a_a,b,c；0_x|x2=0；_ xÎR|x2+1=0；0，1_N；0_x|x2=x；2,1_x|x2-3x+2=02.若,且B=0,1,2,3，C=0,2,4,5,則滿足條件的集合A可以是( )A

18、0,1 B 0,3 C 2,4 D 0,23.若集合M=,則下列結論中正確的是( )A M B M C M D M4設A=,則( )A AB B BAC AB D BA5.已知A=菱形,B=正方形,C=平行四邊形,則A,B,C之間的關系是_.6判斷下列兩集合之間的關系：A=1，2，4，B=x|x是8的約數；7.集合Ax|1<x<3，xZ，寫出A的真子集.【拓展遷移】思維提升8.(1)分別寫出下列集合的子集及其個數：，a，a,b，a,b,c(2)由(1)你發(fā)現集合M中含有n個元素，則集合M有多少個子集?9.設集合，且，求的值.視野拓展數學三大難題（之三）任三人中可證必有兩人同性，任六

19、人中必有三人互相認識或互相不認識（認識用紅線連，不認識用藍線連，即六質點中二色線連必出現單色三角形）。單色三角形中，尤以不出現單色三角形的極值圖譜的研究更是難點中之難點，熱門中之熱門.§1.1.3集合的基本運算(第一課時 )【課標定向】學習目標理解兩個集合的并集與交集的含義;會求兩個簡單集合的并集與交集；弄清“或”、“且”的含義.提示與建議（1）符號“”像大桶收盡A、 B元素，符號“”像小網撈出A、 B公共元素（2）并集與“或”相關，交集與“且”相關【互動探究】自主探究1._的集合，稱為A與B的并集，記作：AÈB即AÈB=_.2._集合稱為A與B的交集記作：A&#

20、199;B即AÇB=_3.求所給每組集合A,B的并集C:A=1,3,5，B=2,4,6；A=4,5,6,8，B=3,5,7,8；A=Q，B=x|x是無理數4. 求所給每組集合A,B的交集C:(1)A=4,5,6,8，B=3,5,7,8；(2)A=Q，B=x|x是無理數剖例探法講解點一 并集的概念與運算由屬于集合A或屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作：AÈB即AÈB=x|xÎA，或xÎB.注意：AÈB就是把A，B中的元素合在了一起，只不過相同元素只計一次.性質：(1) AÈ A= A, AÈ

21、98;=A (2) AÈB=BÛ AÍ B例題1設集合A=x|-1x2，B=x|1<x<3，求AÈB【思維切入】為了方便的看出所求集合的并集可以借助于數軸,但要注意端點的虛實.【解析】-1213xAÈB=x|-1x2或1<x<3=x| -1x<3【規(guī)律技巧總結】用數軸表示集合時，重點考慮端點虛實，見陰影就收在并集內.思維拓展已知集合,求AÈB.【解析】x·30-2oo-3oAÈB=【規(guī)律技巧總結】借助數軸求集合的并集時需要把各個集合端點的相對位置畫準確.講解點二 交集的概念與運算由屬于

22、集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合稱為A與B的交集記作：AÇB即AÇB=x|xÎA，且xÎB性質：（1）AÇ A = A，AÇÆ=Æ；（2）AÇB=AÛ A Í B例題2 設A=x|x24x5=0，B=x|x2=1，求AÈB，AÇB【思維切入】集合A,B分別對應方程的解集.二者的交集就是公共元素組成的集合.【解析】A=1，5，B=1，1AÈB=1，1，5，AÇB=1【規(guī)律技巧總結】求解由列舉法給出的集合的交集和并集時注意集合元素的互異性.思維

23、拓展已知A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，求AÈB，AÇB【解析】AÈB=x|x是等腰或直角三角形；AÇB =x|x是等腰三角形，且x是直角三角形=x|x是等腰直角三角形講解點三 并集、交集的性質及簡單應用1.并集的性質(2);(3);(4).(5)若,則.2.交集的性質(1);(2);(3);(4) ;(5)若,則.例題3已知集合,若,求的值.【思維切入】由知.再考慮元素之間的關系,即可解決.【解析】由知,則,解得.【規(guī)律技巧總結】做題時注意與 .精彩反思注意并集與交集區(qū)別：（1）通俗地說,并集就是不重復的收集了兩個集合的所有元素;交集就

24、是收集了兩個集合的公共元素.（2）并集與“或”相關，交集與“且”相關. 【自我測評】1.設集合,則=( )A 0,1 B -1,0,1C 0,1,2 D -1,0,1,22.設集合,則=( )A BC D3.下面四個結論:(1)若,則;(2)若,則;(3)若,且,則;(4)若,則.其中正確的個數為( )A 1 B 2 C 3 D44.已知A=x|x是銳角三角形,B=x|x是鈍角三角形,則=_,=_5.設,，則=_,=_6.設,求.【拓展遷移】思維提升7.設,求視野拓展西西弗斯串在古希臘神話中，科林斯國王西西弗斯被罰將一塊巨石推到一座山上，但是這塊石頭推上去就滾下來，永無休止。著名的“西西弗斯串

25、”就是根據這個故事而得名的。什么是“西西弗斯串”呢？也就是任取一個數，例如35962，數出這個數中的偶數個數、奇數個數及所有數字的個數，就可得到2（2個偶數）、3（3個奇數）、5（總共5個數），用這3個數組成一個數字串235.對235重復上述程序，就會得到1、2、3，將數字串123再重復進行，仍得123.對這個程序和數的“宇宙”來說123就是一個數字黑洞。§1.1.3集合的基本運算(第二課時)【課標定向】學習目標理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.提示與建議1.求某一集合的補集的前提是明確全

26、集,同一集合在不同全集下補集是不同的,補集和全集是兩個相互依存不可分割的概念.2.全集是對于研究問題而言的一個相對概念,它含有與研究問題有關的所有集合的全部元素,全集因研究問題而異.【互動探究】自主探究1.一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個集合為_.2.對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合成為集合A相對于全集U的_.3.已知全集U= 1，2，3，4 ,M=1,2，則CU M=_.4. 已知:全集U= ,M=1,2，則CU M=_.剖例探法講解點一 補集全集：在給定的問題中，若研究的所有集合都是某一給定集合的子集，那么稱這給定的集合為全集.

27、若A是全集U的子集，由U中不屬于A的元素構成的集合，叫做A在U中的補集，記作基本性質 ，.例題1設集合U=1，2，3，4，5，A=1，2，3，B=2，5，則A B=（ ）A.2 B.2，3 C.3 D.1，3【思維切入】根據補集的定義先求出 B，再進一步求A B.【解析】因為U=1，2，3，4，5，B=2，5，所以A B=1，3，4.又A=1，2，3，所以A B=1，3.【規(guī)律技巧總結】求B在U中的補集就是將U中屬于B的元素去掉.思維拓展如圖，I表示全集，圖中的陰影部分表示的集合是（ ）. A. （AB） B. （AB）C.（A B）（B A）D.（AB）（B A）【思維切入】（方法1）圖中陰

28、影部分是兩部分的并集，最易猜想的是C，再對C進行考查；（方法2）對A、B、C、D逐個驗證.【解析】由圖知，陰影部分是（A B）（B A），答案為C.例題2 已知全集U=,集合A=,求A的補集.【思維切入】數集之間的運算常借助于數軸,根據直觀圖形寫出結果.【解析】=.【規(guī)律技巧總結】解答本類問題避免出錯的一個有效手段是合理利用數軸幫助分析與求解，這也是數與形完美結合之所在，需要密切注意集合端點的虛實.例題3 已知集合A=x|x2+ax+12b=0和B=x|x2-ax+b=0，滿足（A）B=2，AB=4，U=R，求實數a，b的值【思維切入】（A）B=2，2B，2A，2是x2-ax+b=0的根；同理

29、AB=4，4A， 4B，4是x2+ax+12b=0的根.【解析】（A）B=2，2B，2A，AB=4，4A， 4B，a=，b= -.【規(guī)律技巧總結】深刻理解體會補集的含義，從而看懂（A）B=2，AB=4所隱含的意義是成功解答本題的關鍵.精彩反思同一集合在不同全集下補集是不同的,補集和全集是兩個相互依存不可分割的概念,求某一集合的補集的前提是明確全集.全集因研究問題而異,是一個相對確定的概念.【自我測評】1.若集合M=0,1,I=0,1,2,3,4,5,則為( )A 0,1 B2,3,4,5C0,2,3,4,5 D1,2,3,4,52.設U=R,A=,則=( )ABCD3.設集合I=0,1,2,3

30、,4為全集,集合A=0,1,2,3,B=2,3,4則=( )A0 B0,1C0,1,4 D0,1,2,3,44.設集合S=三角形,A=直角三角形,則=_5.設全集U=1,2,3,4,5,6,=5,6,則A=_ 【拓展遷移】思維提升6.設全集U=x|-5£x £ 5,A=x|2<x £5,則CU A =_視野拓展代數學的西文名稱algebra來源于9世紀阿拉伯數學家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為“ilm al-jabr wa'1 muqabalah”，原意是“還原與對消的科學”。這本書傳到歐洲后，簡譯為algebra。清初曾傳入中國兩卷無作者的代

31、數學書，被譯為阿爾熱巴拉新法，后改譯為代數學（李善蘭譯，1853）高中新課程導學學案·數學（必修1）·第一章·集合與函數§1.2.1函數的概念第一課時31【課標定向】學習目標學習用集合與對應關系的語言來刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念中的作用;了解構成函數的三要素;會求一些簡單函數的定義域.提示與建議通過豐富的實例體會函數是描述變量間的依賴關系的重要的數學模型.【互動探究】自主探究1.設A,B是非空數集,如果按照某種確定的對應關系F,使對于集合A中的任意一個實數x,在數集B中都有_的數f(x)和它對應,那么就稱f:為從集合A到集合B的一個函數.記作_

32、.其中,x叫做_,x的取值范圍A叫做函數的_.與x值對應的y的值叫做_,它的集合叫做_.2.一次函數的定義域為_,值域為_.剖例探法 講解點一 函數概念的理解在嚴格的數學定義中,函數就是從一個集合A到另一個集合B的對應關系,這種關系的特殊性在于:A中的任何一個元素在集合B中都有對應元素,且對應元素是唯一的.例題1 判斷下列對應能否表示從集合A到集合B的函數.(1);(2);(3)“求平方根”;(4)“求算術平方根”.【思維切入】就是看從集合A到集合B的對應是否滿足: A中的任何一個元素在集合B中都有對應元素,且對應元素是唯一的.【解析】(1)滿足函數定義的要求,所以是函數.(2)不是函數,因為

33、A的“0”在B中沒有對應元素;(3)不是函數,因為A中元素的對應元素不唯一(正實數的平方根有兩個).(4)是函數.【規(guī)律技巧總結】關注函數定義的要求的同時注意集合中特殊元素的對應元素的特點.例題2 從甲地到乙地火車票價為80元,兒童乘火車時,按身高確定免票、半票或全票.票價情況如下表：身高h/m購票款w/元0401.480（1）寫出購票款w關于兒童身高h的函數關系式；（2）寫出函數的定義域和值域（不妨假設全世界最矮的兒童0.5m，最高的2.7m）.【思維切入】將身高和票價的對應關系用數學式子表示出來即可.【解析】(1);(2)函數的定義域為;值域為0,40,80.【規(guī)律技巧總結】當函數的定義域

34、的不同部分對應不同的解析式時,我們常表示為這樣的分段函數的形式. 講解點二 函數符號的理解（1）符號 是“是的函數”的數學表示，除了用外 ，還常用等。（2）與的含義不同。是變量的函數，在一般情況下是一個變量；而是自變量為1時所對應的函數值，是一個常量。 例題3 已知函數(1)求(2)求函數的定義域.【思維切入】(1)只要將函數式中分別換成,求出值即可;(2)函數的定義域就是保證式子有意義的的取值集合.【解析】(1);.(2)要使函數有意義,則,即.所以函數的定義域為.精彩反思理解函數概念,要注意函數三要素:定義域,值域,對應法則,其中對應法則是核心.通俗的說,f就是對自變量x進行“操作”的“程

35、序”,按照這一“程序”從集合A中任一x,可得出B中唯一y與之對應.同一f可以操作不同的變量,如f(x)是對x進行操作,而f()則是對進行操作.【自我測評】下列用圖標給出的函數關系中,當x=6時,對應的函數值y等于( )xy1234A2 B3 C4 D無法確定2.在上面的圖表中,函數的定義域是( )A BC D 3.已知函數,則=( )A B C D 4.某種茶杯,每個2.5元,把買茶杯的錢數y(元)表示為茶杯個數x(個)的函數,則y=_,其定義域為_.5.已知函數,求:(1);(2);(3).【拓展遷移】思維提升6.已知函數,求的值.視野拓展20世紀著名數學家諾伯特·維納，在博士學位

36、的授予儀式上，當執(zhí)行主席當面詢問他的年齡時，維納的回答十分巧妙：“我今年歲數的立方是個四位數，歲數的四次方是個六位數，這兩個數，剛好把十個數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。這意味著全體數字都向我俯首稱臣，預祝我將來在數學領域里一定能干出一番驚天動地的大事業(yè)?！?#167;1.2.1函數的概念（第二課時）【課標定向】學習目標了解構成函數的三要素：定義域，值域，對應法則；會用區(qū)間表示函數的定義域，值域.提示與建議1.兩個函數當且僅當它們三要素完全相同時，才表示同一函數，根據它們之間的關系，判斷兩個函數是否為同一函數，主要看它們的定義域，對應法則是否相同.2.求函數的定

37、義域就是求使這個函數有意義的自變量的取值集合.3.“”是一個符號，而不是一個數.4.區(qū)間表示的是連續(xù)數集，不連續(xù)的數集不能用區(qū)間表示.【互動探究】自主探究1.把下列數集用區(qū)間表示：（1）；（2）；（3）.2.函數的定義域是( )A BC D剖例探法 講解點一 函數三要素的應用函數的三要素指定義域，值域，對應法則. 兩個函數當且僅當它們三要素完全相同時，才表示同一函數，根據它們之間的關系，判斷兩個函數是否為同一函數，主要看它們的定義域，對應法則是否相同.例題1 試判斷下列函數是否為同一函數:(1)與(2)與;(3)與;(4)與.【思維切入】對于兩個函數, 當且僅當它們三要素完全相同時，才表示同一

38、函數.判斷兩個函數是否為同一函數，主要看它們的定義域，對應法則是否相同.【解析】(3)是,(1)(2)(4)不是.對(1)來說,的定義域為,而的定義域為R;對于(2), 的定義域為,而的定義域為,定義域也不同;(4)中的的定義域為R, 的定義域為,因此也不是同一函數.(3)中兩個函數盡管自變量一個用一個用表示,但它們的定義域相同,對于定義域中的同一個變量,根據對應法則都能得到同一個函數值,因此二者是同一個函數.【規(guī)律技巧總結】判段兩個函數是否是同一個函數,首先要看二者的定義域是否相同,其次再看其對應法則,尤其注意形式不同的對應法則是否仍是同一對應法則.講解點二 區(qū)間的應用區(qū)間是研究函數時常用的

39、概念,它的優(yōu)點是簡潔直觀.區(qū)間表示的是數集,但并不是所有的數集都可以用區(qū)間表示,如:1,2,3就不能用區(qū)間表示.用區(qū)間時要特別注意是否包含區(qū)間的端點,如(1,2)和(1,2是不同的區(qū)間.例題2 把下列數集用區(qū)間表示:(1);(2).【思維切入】根據區(qū)間的定義進行“翻譯”即可.【解析】(1)=.(2) =.【規(guī)律技巧總結】用區(qū)間表示集合時需要注意區(qū)間端點的虛實；區(qū)間的左端點必須小于右端點，且左右端點均為實數.講解點三 求函數定義域求函數的定義域就是求使函數式有意義的自變量的取值集合.比如:分式的分母不能為0;偶次根式的被開方數不小于0等.例題3 求函數y=的定義域.【思維切入】本題需要保證兩個方

40、面:一是被開方數,二是分母不等于0.【解析】要使函數有意義,須解得且.所以函數的定義域為(-，0)(0,1【規(guī)律技巧總結】求函數的定義域，一般轉化為解不等式或不等式組問題；求定義域最后的結果需要用集合或區(qū)間表示.精彩反思求函數定義域的原則:(1) 當以表格的形式給出時,其定義域指表格中的的集合;(2)當以圖象的形式給出時,其定義域有圖象范圍決定;(3) 當以解析式給出時,其定義域由使解析式有意義的的集合構成;(4)在實際問題中，函數的定義域由實際問題的意義確定.【自我測評】1.下列函數中表示同一函數的是（ ）Af(x)=x 與 g(x)= B f(x)=|x| 與g(x)=Cf(x)=與g(x

41、)= D f(x)=x0與g(x)=12.下列各式中，函數個數為（ ）（1）（2）；（3）；（4）。A 4 B 3 C 2 D 13.已知f(x)=x2+1,則ff(-1)=_4.將下列集合用區(qū)間表示出來:（1）；（2）.【拓展遷移】思維提升5.求函數的定義域. 視野拓展國際數學家大會（簡稱ICM）是國際數學界四年一度的大集會。在會上頒發(fā)菲爾茲獎獎章和獎金，同時頒發(fā)獎勵信息科學方面的奈望林納獎。1998年在德國柏林舉行的第23屆國際數學家大會上，國際數學家聯合會決定設置高斯獎這一獎項。§1.2.2函數的表示法(第一課時)【課標定向】學習目標會根據需要選擇恰當的方法(如圖象法,列表法,

42、解析式法)表示函數;了解分段函數的簡單應用.提示與建議各種表示方法都有各自的優(yōu)點和缺點,需要根據問題的實際需要靈活選擇.【互動探究】自主探究1.函數的表示方法,常用的有_,_,_.2.下列函數適合用哪種方法表示?(1)銀行中表示利息為存期的函數;(2)2000年到2009 年10年中各年的國民生產總值隨時間變化的函數;(3)氣象臺用自動記錄儀器描繪溫度隨時間變化的函數.剖例探法講解點一 函數的表示方法表示的函數的方法,常用的有列表法,圖象法,解析法三種.1.列表法通過列出自變量與對應函數值的表來表示函數的方法叫列表法.優(yōu)點:可以直接看出與自變量的值對應的函數值,這種表格經常用到生產和生活中.缺

43、點:它只能表示自變量取較少的有限值的對應關系.2.圖象法優(yōu)點:能形象的表示出函數隨自變量變化的趨勢.缺點:只能近似求出自變量對應的函數值,而且有時誤差較大.3.解析法如果函數時用一個式子表示的,這種表示函數的方法就叫做解析法.優(yōu)點:簡潔,全面的概括了變量間的關系,同時,通過解析式可以求出任意一個自變量所對應的函數值.缺點:不夠形象,直觀,具體,而且并不是所有的函數都可以用解析法表示出來.例題1 作下列函數的圖像,并寫出函數的值域:(1);(2);(3).【思維切入】(1)圖象是分布在直線上的孤立的點;(2)圖像是折線;(3)圖象是一段曲線.【解析】(1)由圖象可以看出函數的值域為. (2)原函

44、數可寫為,是端點為(1,0) 的兩條射線.值域為【0, (3)值域為【規(guī)律技巧總結】作函數圖象的步驟：列表描點連線,同時應充分利用已知函數的圖象；函數的圖象可以是一群孤立的點、線段、直線及曲線.講解點二 分段函數分段函數是一種特殊的函數,其解析式是由幾個不同的式子構成,它們合為一個整體表示一個函數.分段函數的定義域,值域分別是各段定義域,值域的并集.例題2 如圖,在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P,沿著邊線BCDA由B向A運動.設點P運動的距離為,的面積為.(1)求與之間的關系式;(2)畫出的圖象.【思維切入】點P在BC,CD,DA上運動時,三角形的高及的表達式都發(fā)生變化,所以需要寫成分

45、段函數的形式.【解析】(1)(2)的圖象為【規(guī)律技巧總結】分段函數是一個函數,不要誤認為是“幾個函數”,它的定義域是各段定義域的并集.例題3 已知函數若,求的值.【思維切入】是分段函數,函數值3可能是在第一段上取的,可能是在第二段上取的,也可能是在第三段上取的.所以需要分三種情況進行討論.【解析】(1)當時,由得,矛盾.(2)當時,由得,所以.(3)當時,由得,矛盾.綜上所述, .【規(guī)律技巧總結】解答分段函數問題時要密切關注各段的定義域.精彩反思(1)函數的三種表示方法都有各自的優(yōu)點和缺點,需要我們根據實際情況靈活選擇.(2)分段函數是一種特殊的函數.與分段函數有關的很多問題都需要分情況來處理

46、.【自我測評】1下列各圖中，可表示函數yf（x）的圖象的只可能是（）2. （1）數集x|4x<16用區(qū)間表示為_；（2）數集x|x|3用區(qū)間表示為_；（3）數集x|xR，且x0用區(qū)間表示為_.3. 已知f(x)= ，求fff(5)的值.4.已知函數yf（x）的兩個變量之間的關系如下表:12342413求和的值.5.長度單位海里與米的換算關系是1海里約合1852米,求米數與海里數的函數關系式.【拓展遷移】思維提升6.已知.求(1);(2);(3)函數的值域.視野拓展華羅庚是一位人生經歷傳奇的數學家。華羅庚在解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積分等廣

47、泛數學領域中都作出卓越貢獻，有許多用他他的名字命名的定理、引理、不等式、算子與方法。華羅庚還根據中國實情與國際潮流，倡導應用數學與計算機研制，為經濟建設作出了重大貢獻。§1.2.2 函數的表示法(第二課時)【課標定向】學習目標學習用集合與對應的語言來刻畫函數,體會對應關系在刻畫函數概念中的作用;會根據需要選擇恰當的方法表示函數;了解映射的概念.提示與建議映射與圖象,表格,解析式一樣,都是反應的變量之間的對應關系.【互動探究】自主探究1.設A,B是兩個非空的集合，如果按照某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有_的元素與之對應，那么就稱對應為從集合A到集合

48、B的一個映射.2.通過學習.你發(fā)現映射的概念與前面那一個概念非常接近?3.試著從映射的角度給函數下定義.4. 已知f（x），則_；f_剖例探法講解點 映射(1)映射是函數概念的推廣,函數是一種特殊的映射,其特殊性在于函數是數集到數集的對應,而映射則不局限于此.(2)映射具有方向性.從A到B的映射和從B到A的映射不一樣.(3)對于映射,通常把集合A的元素叫做原象,與之對應的元素叫做象.(4)根據映射的定義,每一個原象都有唯一的象,但不同的原象可能有同一個象.例題1 在下列各圖中,箭頭標明A中元素與B中元素的對應法則,它們是否為映射?是否為函數?【思維切入】判斷的依據就是映射的概念. 看對于集合A

49、中的任意一個元素x，在集合B中是否都有唯一確定的元素與之對應.【解析】(1)不是映射,也不是函數.因為集合A中元素的對應元素不唯一.(2)不是映射,也不是函數.因為集合A中的元素3沒有對應元素.(3)(4)是映射,也是函數.【規(guī)律技巧總結】判斷一個對應是否為映射，要緊扣映射的定義，深刻理解定義中的關鍵詞“任意”、“都有”、“唯一”等；只要建立在兩個非空數集上的映射就是函數.思維拓展判斷下列對應是否是集合A到集合B的映射?(1)集合A=1,2,3,4,集合B=3,4,5,6,7,8,9對應關系為;(2)集合A=Z,B=,對應關系為;【解析】(1)A中元素在f作用下都能找到唯一的對應元素,因此為映

50、射.(2)A中元素-1,在f作用下沒有對應元素,所以不是映射.例題2 某地區(qū)稅務部門對餐飲業(yè)的征稅標準如下:每月的營業(yè)額征稅小于或等于1000元300元超過1000元1000元以下征收300元,超過部分的稅率為4%.(1)寫出每月征收的稅金y(元)與營業(yè)額x(元)之間的函數關系式;(2)某飯店2月份的營業(yè)額是25000元,這個月應交多少稅金?【思維切入】由于營業(yè)額不同收取的稅金不同，所以需要表示為分段函數.【解析】 (1)每月征收的稅金y(元)與營業(yè)額x(元)滿足(2)當,(元).即4月份應交稅金1260元.精彩反思映射概念的引入,使函數概念更加完善.簡單的說,建立在兩個非空數集上的映射就是函數.【自我測評】1.已知映射,其中A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在f下的象,且對任意,則集合B中元素的個數是( )A 4 B 5 C 6 D 72.已知集合,下列從P到Q的各對應關系f中不是函數的是( )A BC D3.某班學號為16的學生的數學成績如下表所示,請將學號