李正中,固體理論,課后習(xí)題答案

1、固體理論課后習(xí)題參考答案第1-18題固體理論（李正中：第二版）首先，本習(xí)題集主要貢獻(xiàn)屬于恩師謝老師。授之于魚，不如授之于漁。在這 里為防止抄襲作為作業(yè)，不提供答案。 索求答案者，均不回復(fù)，請(qǐng)見諒。由于水 平有限，懇請(qǐng)各位前輩批評(píng)指正。由于一學(xué)期學(xué)習(xí)的內(nèi)容不多，還有很多習(xí)題（超 導(dǎo)、強(qiáng)關(guān)聯(lián)和無序等）沒有解答。如有慷慨者，可聯(lián)系以供大家學(xué)習(xí)。第一題：1+設(shè)女與十均為BZ中波矢"二工碼疋二工貨也川|心眄徒N.*i i試直接證明下列正交關(guān)系曠遼評(píng)""2 X弘川"工=弘利用a和b關(guān)系，可計(jì)算k*l的數(shù)值。再進(jìn)行分類討論（相等和不相等）：2）'伙1為心WB乙

2、即一容rtj 濘1工尸認(rèn)芒-廠）4 E exp feI3Z士送野（U同樣進(jìn)行分類討論。此題兩個(gè)公式特別重要，后面用得很多，請(qǐng)大家熟記。 第二題：耳設(shè)為正點(diǎn)陣的周期函數(shù)，還明當(dāng)火不等于倒格矢厲肘f(r)rdrO因?yàn)閒為正點(diǎn)陣的周期函數(shù)，所以f(葉l)=f(r).I fr)eik rdr =/(r -l)eikrdr=/(r)e<rd(r -Z)=嚴(yán)訂陽膚 fI卅血(1_廠證“)=0若k不等于倒格矢K易證上式為0.第三題3證明 no* = (2k)j= Qbl (&2 X &3)= Qbl 62 x -ry (ai x Ct2 jXb I b'2 1 a I !2 O

3、. I ： Q-j 第四題4.試用平面波法論證布洛赫函數(shù)其中倉為簡約波矢冬K為倒格矢，斤為帶指標(biāo)*根據(jù)布洛赫定理，u為格點(diǎn)周期函數(shù)，可用平面波展開KG+k (r)=工弧(Ki" J十K"K'=52 ak A") e'(-K，'+fe)r = ti?n.fc (r)K,f第五題5,設(shè)晶格周期場V = Ot試應(yīng)用布洛赫定理求簡約區(qū)（BZ）中單電子 的能H和狀態(tài)波雷數(shù)*并作出能帶曲線的一維示意圖.首先寫出晶體單電子薛定諤方程（V=0）再根據(jù)譏（r） = Akeik r 其中斤=j2mE護(hù),易證滿足布洛赫定理，再根據(jù)周期性邊界條件3 推導(dǎo)出杞=匸1

4、=1 “k的取值僅限于簡約區(qū)歸一化后可算岀波函數(shù)和能級(jí)一維情況卜，t/6 < k < TT/d能帶曲線為拋物線口第六題&討論在均勻外電場捜中質(zhì)為帶電豪為和頻率為3的一 維諧抿子系統(tǒng).試EE用玻色算子艱與G表示的哈密頓為 /=&0/（。十。十+） 4- A （at召"）其中入« Mi:仙 ： n : intB Hi = fa rii 首先寫出諧振子系統(tǒng)的哈密頓量D?代入H即得第七題7. 討論二維密排六角晶格的格波特 性.設(shè)a為晶搐常數(shù)./代表最近鄰原子 間的線彈性力席數(shù)，其簡約區(qū)BZ如下圖 所示,求BZ中工線（包括r,Af A）和T 線（包括rK點(diǎn)

5、）上的匕（1）動(dòng)力矩陣（£） = ?（2）格波頻率叫（巌）和極化矢量 ?首先畫出二維密排六角晶格及其倒格矢及第一布里淵區(qū)0利用仇狄)=一/%(0邙寫出(0) <1>( 1)6(2) G 3 )(4)哄5)(6) 再根據(jù)。歸佝=寺口如嚴(yán)尺1 i算岀D蛙伙),Dxyk)rDy£ gDjc)Dxy (S) = Dyx (E) = >/3/3/2辰亠Dyy (E)=立 sm 曲 D(E)eE = -2(S)e(r) 可以常而.ka -)= 77siny® (另)=II 皂2 (£)=sin 25 (工)為縱波*3(E)為橫波。2. E線ku/k

6、x = 1 /vS*水妨令斤工=/3ky =乩則Dxx (E) =5/2-M 22竺=厝也12同樣的方法可算出丁線自己可以設(shè)定其他方向算一下。多練習(xí)就掌握啦。 第八題8. 設(shè)工方骷體的彈性疲方程為其中q為彈性隸奴、求沿“口】方向的格波頻率氣(的和極化矢h由晶格振動(dòng)波動(dòng)方程£Pli 3可求硯各牛力向的彈性WK-再有功力學(xué)連胖Da3出)=一 C“玄#"*# *# 越出p MD列(W.D疔仏)，D/k)*£(111)/向可令杓=ku kz k.,Qi + 2C2 + 4Cii=氣p嚴(yán)* =心I為縱波W踣足重根兩個(gè)橫波*自己可以算100110等其他方向第九題9. 設(shè)艮波縱

7、光學(xué)模的哈密頓密度為輕二號(hào)吧斗如冷1- 5松£y >22 磯Jt中 & = - "Jr疝 I + 4?t/2I « £. t= (c0 e« )<u 曬與W為縱、橫波頻率.試將系統(tǒng)的哈密頓量血=jdr寫成標(biāo)準(zhǔn)二次 址子化形式.先把E和r代入哈密頓密度，可計(jì)算出= J寺卩憑+ 口加敘一魯+再利用W和u的關(guān)系(261)，然后利用簡正坐標(biāo)，產(chǎn)生和湮滅算符，可是 H 二次量子化。第十題10. 利用色散關(guān)系式(2.230)計(jì)算一維雙原子鏈的聲子態(tài)密度.并 作出聲子頻譜的示意圖”這道題純屬計(jì)算，注意公式較復(fù)雜可令(fi + /2)+點(diǎn)i

8、汽伙)=a2土也-牆鬆UY。皿)再利用a , y#(丄)=需 /§3 丄kdk2汀J77 / 口分別討算臣學(xué)支和光學(xué)支的態(tài)密復(fù)第十一題11.求立方爺格(Bc.bccJcc)鐵磁休中磁振子(magnons)的抵溫tt熱容根據(jù)量子化的自旋波哈密頓量，低溫時(shí)，系統(tǒng)激發(fā)自旋波引起的附加能量為E二龍也曲廠=龍阿斎kk b0.1123/4第十二題12”討論S = y的兩個(gè)自旋系統(tǒng)，設(shè)其哈密頓董為'藏if 舍廠試證明：是賂r的本征態(tài);01Jv不是郵的本征態(tài)*首先寫出兩個(gè)自旋系統(tǒng)哈密頓量的算符表示H = m (cgqc廠 +c/ cuc cr +q臥把(1)和(2)兩個(gè)態(tài)代入薛定諤方程即可這

9、證明第十三題13.若用II 0 >2SNi描述鐵磁自徒晶格系統(tǒng)的躡低激發(fā)態(tài)，試嚴(yán)格證明<41(S?3| + S?Sf) 14 > =爺£»s Jt'(< /*)并求系統(tǒng)的元激發(fā)能量處I其中艸為格點(diǎn)數(shù)，S為格點(diǎn)上的自旋值, 而10>為鐵磁慕態(tài)*確+禪品=£礦V + VV )再利用 §+ = I、/2S-a+a) a. S = a+ ) Q 站- af) af = N-S £ 嚴(yán)嘰 a" = NT" £ 嚴(yán)域kk同時(shí)把|K>代入.進(jìn)一步化簡可證.注意中問會(huì)用到第一題公式和,工

10、COS&7)第十四題14. 證明在外磁場B= Bx和各向異性晶場丈Bai中(其中直子格取“點(diǎn)號(hào)上子格取號(hào))反鐵磁體的自旋波量子為腦< =2 ZI門S彳7訂縣戸 "2 這里n-i為'i易寫出外磁場和各向異性晶場的塞曼能項(xiàng)(3.5.31)。加上無外場的哈密頓量可 寫成(3.5.32)。對(duì)52式進(jìn)行HP變換和傅里葉變換，然后算出算子的運(yùn)動(dòng)方程， 求出Bogoliubov變換關(guān)系，算出u和V。代入H可算出自旋波量子。同時(shí)本題也 可以利用第六節(jié)介紹的方法求解(365-3610)。第十五題15. 試刖口 “變換方法求 H = Ea T a + £（ （a 41 a

11、 + 斗備） 的元激發(fā)嚴(yán)格解.其中。與為玻色算子.址與E,為常數(shù)，且Ec>首先算出算符的運(yùn)動(dòng)方程，可構(gòu)造 Bogoliubov變換ct= ua va. a = uava99可得u 1代入H使交叉項(xiàng)為0.可計(jì)算出u和v。H字十 jEl - 4£? 29 十 + )第十六題16. 設(shè)磁振子與聲子互作用系統(tǒng)的哈密頓景為H+十人（+ a：林）I*其中為磁振子能= 訥為聲子能量5“），創(chuàng)為瞪撮子算 符*心為聲子算符，叫為耦合系數(shù).試求（1）使H對(duì)角化的變換（變換形式及對(duì)角化條件）；（2）當(dāng)= 時(shí).互作用系統(tǒng)的元激發(fā)能鬣-首先算出算符的運(yùn)動(dòng)方程，可構(gòu)造Bogoliubov 變換U和v的平方

12、和為1,再把新組合的算子代入H,交叉項(xiàng)為0,可計(jì)算另一個(gè) U和v關(guān)系。余下過程純屬計(jì)算故省略。第十七題17. 已竊骨W個(gè)元胞復(fù)式晶搐的電子TBA哈密頓*為H -+IF刁 S（町九"+ *>*»）其中曾與$是克胞中觸（原子周圍的前/電子算符，晶格配位敗設(shè) 為乙試將H對(duì)侑牝，井求出能帶電子的能就首先做傅里葉變換引入各個(gè)子格（局域電子算符）的簡正坐標(biāo)表示1/2亠a；i=N_l/2e-ikRiQ+bj = r1/2力廠力昨加，bj = 丁I/2刀芒烏bjJtk變換后Ofc和bk満足玻色對(duì)易關(guān)系#代入也再利用消除交叉項(xiàng)和利用U和”關(guān)系，可是H對(duì)角化和求岀色散關(guān)系，第十八題18,

13、 設(shè)超流玻色系統(tǒng)的哈孫頓嘏近似為H =I coq （ b；b + A *_ |） + 嗎（bb-卜 +） !t其中cun =+用«S - N*心= ,Vk > 0,（）表示求和時(shí)k “ 試將月對(duì)角化，求岀其元激發(fā)能量（取廟=】單位）井討論元激發(fā) 譜中是否存在能隙？解題方法同第15，16題。以=ukbk - W %=訕-gb七o-k = ffkh-k 一 vka-k = 以力七一 心加、 如仗心"其它等于0確-= 1代入H后會(huì)得到u和v另一個(gè)關(guān)系式。同時(shí)也可以利用 P83或P168-169類似的方法。22.證明三維電子氣的等離激元的長波色散曲線為其中首先有等離激元的介電

14、系數(shù)牛丄)(ga+ 2 (<7Q 實(shí)部Ry (gw) =1 -豈屮V g 半耳”(方_ "Xi：qa)二' g (1 一 H茍丨d 2 v&q ) 一 d 2 + 亠g)無規(guī)柑近似的響戰(zhàn)方程 %為外擾動(dòng)總和)一 U時(shí).右QsQHdf) -U其中菲零的門60的解對(duì)隔系統(tǒng)的尤激發(fā)，所以對(duì)元激發(fā)有(q) = o對(duì)九>域胛區(qū)域.Im書(ga)總為零.說明擱蕩是無陌尼的代衷電子的集體掘斷 Rx (gw)=學(xué)工力嚴(yán)工=0在氏波近似卜' 對(duì)上式作展開f（Q）4丄畑n A F =*r護(hù)工5(異2皿)求利中第項(xiàng)為零g為冬溫度時(shí)的費(fèi)米分布=1 =it35.設(shè)在晶格常數(shù)

15、a的一維晶格中瓦尼爾麥象的電子算符G滿足 運(yùn)動(dòng)方程ifit/ 瞪 AC# - B ( C； * J + G * 試求：(!)電子能量與波矢的關(guān)系E (Jt);(2) 能帶寬度和帶頂空穴及帶底電子的有效質(zhì)ilh(3) A= 0時(shí)能帶電子的態(tài)轉(zhuǎn)度p(E).首先計(jì)算算符的海森堡方程iF心Ch H 設(shè) H = , HmnCnCnCH - HCf = g - B (C + g)nCCnCi = ACt 一 B (G-1 + C屮mtrt工 HlnCn =丄0 一 B （C-1 + Gl ）nHin謹(jǐn)函數(shù)用巨尼爾誨數(shù)表示井論入薛定欝方程可得elk!a f （x - la） = Eh嚴(yán)叮匕 一 b）一 B

16、(51l.r? +- 1.n )H-v兩邊乘以廣仗一血）并對(duì)t積分俐用瓦尼爾函數(shù)的正交性 坯=工心）0 咖一 B（6屮川 + &+）=A 2Bcoska余下（2）和（3）根據(jù)帶頂和帶低的特點(diǎn)就很容易計(jì)算啦。第三十六題3試用微擾論證明r = 0 K時(shí)弗留里希極化子在a « 1時(shí)的自能-土 aresin （k/y）民x創(chuàng)嘰 一HfTTT-其中磯二舅宀（琴）當(dāng)yQ時(shí)上式簡化為式32叭T=0寸沒有聲子激發(fā)（5413），設(shè)電子聲子相互作用很弱，可用微擾計(jì)算H（有一個(gè)聲子激發(fā)）。可計(jì)算出微擾矩陣元（5414-17）易知一級(jí)微擾為0.F _ .(47reF)2 2m r dq1(2-)3

17、戸，/，亠/+2k(4疋Ff 2m f <lqI= £fc" (Zsr)3 J 歹護(hù)+ *-2bg汀=/凹| r廣蝕J 瘁決J q2 +a -2fc q 7o 9s Jo q2 + 7? - 2k?COs0dx*dq (，十工 )+ 1-一 dt =;亡0滬f/ 爐衛(wèi)2. r 亠=r2nrctan ”“Ms：2-j-3-aroin (k =)/-I肩-爐工2人二2tt rldx_ 頊' L Ji - (曲嚴(yán) k所以Et =恥一哎1 arcsin (化 “)£q / Tik再利H3 arcsinx = r +卜.即可弼tfl結(jié)果第三十八題3亂試將習(xí)翹6

18、中一維帶電諧振子的哈密頓崖時(shí)角化并求出位移 掠子變換W - e9Hes的母網(wǎng)數(shù)5.實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，要通過正則變換將振動(dòng)坐標(biāo)的原點(diǎn)移到平衡點(diǎn)。A°+広只霊尋求滿足下式的變換（位移振子變換） esaes = a 假設(shè)町J利用公式1 r+血S +頁|可得 eae3 = a + £ esa+es = ” + /*“廠一巧一町esaes /-SgS =aa.S. S + A2 方上第三十九題39.設(shè)電子與聲子&作用系統(tǒng)的哈密頓樹為H = EflC* C + C* £工氣+ u；）+ :血；伽 + ?。┢渲校ǎ簽橘M(fèi)密算子由叫為玻色算子.垃為實(shí)址1試用付移振子變換證 明H町寫成下列對(duì)角形式畫H = esHes=（£° -孕爲(wèi)）l c * 嚴(yán)，（叭+i） 并求出變