數(shù)分第十八章第四節(jié)(1)高斯公式和斯托克斯公式

1、.第18 章 曲面積分第四節(jié) 第二類型曲面積分的高斯公式與第二類型曲線積分的斯托克斯公式理解掌握封閉曲面上第二類型曲面積分的高斯公式，并運用于一些第二類曲面積分的計算。理解掌握溝通第二類曲線積分與第二類型曲面積分聯(lián)系的斯托克斯公式。1、 高斯公式的證明 考察中的有界閉區(qū)域其中是平面上的閉區(qū)域。為行文的簡短，我們稱這類區(qū)域為丙類區(qū)域。 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。取的外側(cè)為曲面定向，計算第二型曲面積分，這時可以看成是一個拼接曲面。下底由方程表示，法線向下；上蓋由方程表示，法線向上；還有一個是母線平行于軸的柱面，記作，法線平行于平面，方向向著體外。這樣便有，因為在，因此；于是，我們有，從而

2、， 如果把最后的表達式看成是從一個三重積分化歸的累次積分，我們便得出 。類似地，我們可以定義甲類區(qū)域。如果閉區(qū)域能夠表示為其中是平面上的閉區(qū)域，那么稱這類區(qū)域為甲類區(qū)域。這時我們有： 。而對于乙類區(qū)域其中是平面上的閉區(qū)域，則有。設(shè)是中的一個有界閉區(qū)域，它可以同時分拆為有限個甲類區(qū)域、乙類區(qū)域和丙類區(qū)域的并，同一類中任何兩個區(qū)域至多只有公共邊界。那么，我們把區(qū)域分成這若干簡單類區(qū)域，在每一簡單類區(qū)域上應(yīng)用上述公式，在同一類兩個區(qū)域的公共邊界上，邊界曲面上的第二類曲面積分被用到兩次，但符號恰好相反，把這些公式兩邊相加，仍能得到如下的結(jié)果：，這三個公式都成立，把這三個等式相加，我們得出。這樣，我們已

3、經(jīng)證明了下面的定理18.1(高斯公式)設(shè)是中的有界閉區(qū)域，它可以同時分拆為有限個甲類區(qū)域、乙類區(qū)域和丙類區(qū)域的并，同一類中任何兩個區(qū)域至多只有公共邊界。如果和都在上連續(xù)可微，那么便有，或 這里表示區(qū)域的邊界，按外法線方向來定向，表示曲面的外法線的方向余弦。 （高斯公式 中對區(qū)域的條件可為：是中的有界閉區(qū)域，其邊界（封閉曲面）為光滑或分片光滑的。應(yīng)用高斯公式就可使第二型曲面積分計算問題變的簡單,理論上應(yīng)用非常方便。）2、斯托克斯公式的證明斯托克斯公式把沿一塊曲面的邊界的第二型曲線積分同展布在這塊曲面上的第二型曲面積分聯(lián)系了起來。在某種意義上，可以認為斯托克斯公式是格林公式的推廣。證明斯托克斯公式

4、的時侯，要用到格林公式。在講下述定理之前，先對雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在上指定的一側(cè)，若沿行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線的正向；若沿行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人前進的方向為邊界曲線的負向。這個規(guī)定方法也稱為右手定則（因為它與判別通電螺線管的磁場方向的右手定則類似。）定理18.2(斯托克斯公式) 設(shè)是由有限塊二階連續(xù)可微的正則曲面拼接成的定向曲面。如果和是定義在上的連續(xù)可微函數(shù)，那么這里表示曲面的邊界，曲面的定向與其邊界曲線的定向應(yīng)當是協(xié)調(diào)的，表示曲面的定向單位法線的方向余弦。曲線積分的方向和曲面的側(cè)（法向量）按右手法則聯(lián)系。曲面為光滑或分片光

5、滑的，（封閉曲線）為光滑或分段光滑的。證明方法一 用曲面的顯式表示給出的證法先證 ，其中曲面由方程，確定，它的正側(cè)法線方向為，設(shè)上指向正側(cè)的單位法向量為 ，其中是的方向角，即分別是與軸，軸和軸的正向的夾角。 則有，。 在平面上投影區(qū)域為，在平面上的投影曲線為?，F(xiàn)由第二型曲線積分定義及格林公式，有 ，因為 ，所以，由于，把上述二重積分先換到第一類曲面積分，然后在換到第二類曲面積分，從而，綜合上述結(jié)果，便的所要證明的成立。同樣，對于曲面表示為和時，可證得，將以上三式相加得式。 如果曲面不能直接以的形式給出，則可增添一些輔助光滑曲線把分割為若干小塊，使每一小塊能用這種形式來表示，在公共的輔助曲線上，

6、第二類曲線積分被用到兩次，但符號恰相反，把這些等式相加，就得要證的公式成立。 證法二：用曲面的向量參數(shù)表示設(shè)是一塊正則參數(shù)曲面片：，設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，函數(shù)在包含的某個三維區(qū)域上連續(xù)可導(dǎo)，我們來計算第二型曲線積分 。設(shè)的參數(shù)方程是，并且的增長方向?qū)?yīng)著的正向。這樣，的參數(shù)方程是，因此，對最后的那個平面第二型曲線積分應(yīng)用格林公式，得到，（9）計算得，將以上二式相減，得出，代入（9），得出，即。類似地，還有其他兩個公式，條件是在包含的某個三維區(qū)域上連續(xù)可導(dǎo)。把以上三個等式雙方相加，就得到。若是由有限塊二階連續(xù)可微的正則曲面拼接成的定向曲面，任何兩個小塊正則曲面至多只有公共邊界。那么，我們把整個曲面分成

7、這若干小塊正則曲面，在每一小塊正則曲面上應(yīng)用上述公式，在相鄰兩個小塊正則曲面的公共邊界上，邊界曲線上的第二類曲線積分被用到兩次，但符號恰好相反，把這些公式兩邊相加，能得到如下的結(jié)果： 定理18.2(斯托克斯公式) 設(shè)是由有限塊二階連續(xù)可微的正則曲面拼接成的定向曲面。如果和是定義在上的連續(xù)可微函數(shù)，那么，這里表示曲面的邊界，曲面的定向與其邊界曲線的定向應(yīng)當是協(xié)調(diào)的，表示曲面的定向法線的方向余弦。（曲線積分的方向和曲面的側(cè)（法向量）按右手法則聯(lián)系。曲面為光滑或分片光滑的，（封閉曲線）為光滑或分段光滑的。）斯托克斯公式記憶法，其中表示曲面的正單位向量。3、用高斯公式計算第二類曲面積分時，要注意是對封

8、閉曲面來用。 如果不是封閉曲面，需要適當補充一部分曲面之后，再用高斯公式計算。4、用斯托克斯公式計算第二類曲線積分時，要注意是對封閉曲線來用。如果不是封閉曲線，需要適當補充一段曲線之后，再用斯托克斯公式計算。5、高斯公式和斯托克斯公式的應(yīng)用例1 證明阿基米得原理：物體全部浸入液體中所受的浮力等于與物體同體積的液體之重。 證明 取坐標系如圖 。設(shè)液體的密度是，那么物體表面一小塊面積所受到的壓力大小是，方向是，這里是物體表面的單位外法向量。設(shè)，作為物體的表面的曲面記為，那么整個物體受到的壓力是，由高斯定理，由此即得，這就是要證明的。例2計算積分，其中為橢球面的外側(cè)。解 這里，：，由高斯公式，得，用廣義球坐標變換這里，。，代入公式，得。例 3 利用斯托克斯公式計算下列積分：（1），為圓周，從第一卦限內(nèi)看去，是反時針方向繞行的；（2），為橢圓，眼睛從點向看去，是反時針方向繞行的；（3），為，從原點向看去，是反時針方向繞行的。 解 （1） 用記平面在球內(nèi)的部分， 平面的方向，利用斯托克斯公式，得。（這里選曲線所圍的曲面為平面，計算來的就簡單；若選曲線所圍的曲面為半球面，則計算起來就難了。以曲線為邊界的曲面，有許多個，我們當然選擇容易計算的那個曲面，一般選由曲線所圍的平面或球面。）（2） 用記平面在圓柱內(nèi)的部分，平面的方向，利用斯托克斯公式，得；（3）