二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法

1、二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式無(wú)忑=向（仃2 口，b> 0）對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算.二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng).運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式.化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要 掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)

2、收到事半功倍的效果，下面通過(guò)具體的實(shí)例進(jìn)行分類解析.1.公式法工 +>2歷ab -b1【例1】計(jì)算出十萬(wàn)；口而曲獷）= 廠*廠=瓜十收【解】原式''. -原式.一 ；：山-，.【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了 “完全平方公式”和“平方差公式”,從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便.2.觀察特征法2出十臟-3顯【例2】計(jì)算： 2 + 72-76【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分,即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下:母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以【解】原式_73(2 + V2-6)_- 2 + /2->/6 -【例3】 把下列各式的分母

3、有理化.G -忑（1）（而一指胸L婦；Jx + 1 + 2 J1-1+ I(力 1 )【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè)因式相等，計(jì)算將很 繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式=-述）+卜區(qū)-忑）=而3) 藍(lán)-國(guó) 區(qū)【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn).但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為"1"式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:-1 +m原式3.運(yùn)用配方法【例4】化簡(jiǎn)解】原式=也-2必1 =炯-2s1 + 1【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開(kāi)方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“4

4、.平方法【例5】化簡(jiǎn)-屈* J*匹【解后評(píng)注】對(duì)于這類共利根式a-也與a +備 的有關(guān)問(wèn)題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5 .恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)（5+也 布了+ 短+、歷y【方法導(dǎo)弓I】若直接展開(kāi)，計(jì)算較繁，如利用公式ig+by +伍媚=2口 +別，則使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【解】原式=曲低-質(zhì)）了+回/-同6 .常值換元法【例7】化簡(jiǎn) 71998x1999000x2001 +1【解】令1998 = ;2,則:7 .裂項(xiàng)法1 1 1 A 1+ A +【例8】化簡(jiǎn)1+72短S護(hù)7?+Tioo【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式一二一三反 尸=1 ， L【例9】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分

5、繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù) 之和，于是則有如下簡(jiǎn)解：_ （號(hào)+77）+2+啊1（；厄十曲）：卜+、萬(wàn)）【解】原式1 卜.18 .構(gòu)造對(duì)偶式法用 + 2 +-4 + 23 +2 + J.i -4【例10】化簡(jiǎn) 月 + 2 - J儲(chǔ)-I « +2 +dd -4【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒(méi) = m+2 + J? -4 , 6 =用 + 2-J/-4則二二二，必一；步一*.9 .由里向外，逐層化簡(jiǎn)【解】:' J1-而丁，原式卜.J，；.【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理.10 .由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn)【

6、方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn).【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號(hào)逐層脫去，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很 強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見(jiàn)的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1 .根式變形法【解】將兩個(gè)二次根式作變形得3,5=7?看用，5招=7?而歷.乃45, .標(biāo) >疝即3出<5招【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng) go,

7、 no時(shí)，。方，則內(nèi)而；若a < b,則石 < 新2 .平方法【例2】比較3亞與2g的大小解(3=18(2回=1218 312, .3亞2一【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng) a>d,b>0時(shí)，如果J >必，則a汴，如果戶<b'則a b .3 .分母有理化法通過(guò)運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小.2【例3】比較后1與尬-1的大小2【解】又' 1由 T a/2-14 .分子有理化法在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化，利用分母的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小.【例4】比較后-而與尼-亞的大小715-./14 =【解】1短+

8、而'又：二一丁 ,二 I. .布而忑不凝.而歷舊<舊舊5 .等式的基本性質(zhì)法【例5】比較 近 iK與而 16的大小【解法1】.行_« +的+閭=/ +小12+ 2/5x7 =12 + 2/35【解后評(píng)注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.非負(fù)底數(shù)和它們的二 次募的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得又幣+&石+5.幣-&舟后【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 .利用媒介值傳遞法【例6】比較 行+ 3與庶-3 的大小解.2<-/?<3 .幣曲又. 9

9、版 CO .屈-36后+ 3<廝-3【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較.7 .作差比較法在對(duì)兩數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)： +1 .【例71比較J? + 1與正的大小 + .鳳變+鳳5+1)【解】 顯十 丹.二一、二a > 0, b>0 時(shí),則:8.求商比較法與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)色loab lOa<b辦，b【例8】比較 "后與2+指 的大小.=74=13-歷【解】1一 13. - 1 5-g<2+后【解后評(píng)注】得上所述，含有根式的無(wú)理數(shù)大小的比較往往可采

10、用多種方法，來(lái)求解.有時(shí)還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對(duì)于具體的問(wèn)題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),一般遵循以下做法：石盛=向（a> 0,0）先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算.二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng).運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式.化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧

11、與方法二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要 掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍的效果，下面通過(guò)具體的實(shí)例進(jìn)行分類解析.1 .公式法x + y + Z歷ab -b1【例1】計(jì)算 瓜十方；4而【解】原式原式 " '【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了 “完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便.2 .觀察特征法2出千娓及【例2】計(jì)算：2 + 72-76【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分 母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以后，即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下：

12、【解】原式_73(2 + V2-6)_- 2 + /2->/6 -【例3】 把下列各式的分母有理化.G -忑（1）（而一指胸L婦；Jx + 1 + 2 J1-1+ I(力 1 )【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè)因式相等，計(jì)算將很 繁，觀察分母中的兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式=-述）+卜區(qū)-忑）=而3) 藍(lán)-國(guó) 區(qū)【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn).但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為"1"式的值就等于“ 1” 了！因此，可以解答如下:-1 +m原式3.運(yùn)用配方法【例4】化簡(jiǎn)解】原式=也

13、-2必1 =炯-2s1 + 1【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開(kāi)方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“4 .平方法【例5】化簡(jiǎn)-屈* J*匹【解后評(píng)注】對(duì)于這類共利根式a-也與a +備 的有關(guān)問(wèn)題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5 .恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)（5+也 布了+ 短+、歷y【方法導(dǎo)弓I】若直接展開(kāi)，計(jì)算較繁，如利用公式ig+by +伍媚=2口 +別，則使運(yùn)算簡(jiǎn)化.【解】原式=曲低-質(zhì)）了+回/-同6 .常值換元法【例7】化簡(jiǎn) 71998x1999000x2001 +1【解】令1998 = ;2,則:7 .裂項(xiàng)法1 1 1 A 1+ A +【例8】化簡(jiǎn)1+72短S護(hù)7?+Tioo【解】原式各項(xiàng)

14、分母有理化得原式一二一三反 尸=1 ， L【例9】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù) 之和，于是則有如下簡(jiǎn)解：_ （號(hào)+77）+2+啊1（；厄十曲）：卜+、萬(wàn)）【解】原式1 卜.18 .構(gòu)造對(duì)偶式法用 + 2 +-4 + 23 +2 + J.i -4【例10】化簡(jiǎn) 月 + 2 - J儲(chǔ)-I « +2 +dd -4【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒(méi) = m+2 + J? -4 , 6 =用 + 2-J/-4則二二二，必一；步一*.9 .由里向外，逐層化簡(jiǎn)【解】:' J1-而丁，原式卜.J，；.【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)

15、問(wèn)題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理.10 .由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn).【解后評(píng)注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號(hào)逐層脫去，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的的.返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很 強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見(jiàn)的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1 .根式變形法【解】將兩個(gè)二次根式作變形得3,5=7?看用

16、，5招=7?而歷.乃45, .標(biāo) >疝即3出<5招【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng) go, no時(shí)，。方，則內(nèi)而；若a < b,則石 < 新2 .平方法【例2】比較3亞與2g的大小解(3=18(2回=1218 312, .3亞2一【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng) a>d,b>0時(shí)，如果J >必，則a汴，如果戶<b'則a b .3 .分母有理化法通過(guò)運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小.2【例3】比較后1與尬-1的大小2【解】又' 1由 T a/2-14 .分子有理化法在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化，

17、利用分母的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小.【例4】比較后-而與尼-亞的大小715-./14 =【解】1短+而'又：二一丁 ,二 I. .布而忑不凝.而歷舊<舊舊5 .等式的基本性質(zhì)法【例5】比較 近 iK與而 16的大小【解法1】.行_« +的+閭=/ +小12+ 2/5x7 =12 + 2/35【解后評(píng)注】本解法利用了下面兩個(gè)性質(zhì)：都加上同一個(gè)數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.非負(fù)底數(shù)和它們的二 次募的大小關(guān)系一致.【解法2】將它們分別乘以這兩個(gè)數(shù)的有理化因式的積，得又幣+&石+5.幣-&舟后【解后評(píng)注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個(gè)正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變.6 .利

18、用媒介值傳遞法【例6】比較 行+ 3與庶-3 的大小解.2<-/?<3 .幣曲又. 9版 CO .屈-36后+ 3<廝-3【解后評(píng)注】適當(dāng)選擇介于兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進(jìn)行比較.7 .作差比較法在對(duì)兩數(shù)進(jìn)行大小比較時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)： +1 .【例71比較J? + 1與正的大小 + .鳳變+鳳5+1)【解】 顯十 丹.二一、二a > 0, b>0 時(shí),則:8.求商比較法與求差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運(yùn)用的是如下性質(zhì)，當(dāng)色loab 2lOa<b辦，b【例8】比較 "后與2+指 的大小.=74=13-歷【解

19、】1一 13. - 1 5-g<2+后【解后評(píng)注】得上所述，含有根式的無(wú)理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來(lái)求解.有時(shí)還需各種方法配合使 用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對(duì)于具體的問(wèn)題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果.二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡(jiǎn)具有極強(qiáng)的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很 強(qiáng)的技巧性，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，但掌握一些常見(jiàn)的方法對(duì)它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進(jìn)作用.1 .根式變形法【例1】比較 3而與班 的大小【解】將兩個(gè)二次根式作變形得3君=際、屈,5忑即=品.乃45, .標(biāo) 而即3石5后【解后評(píng)注】本解法依據(jù)是：當(dāng)。0,時(shí)，儀6,則啟而；若。（6,則石心'2 .平方法【例2】比較3亞與2、片的大小【解】（殖卜2（2冏=12.18）12, .赤 2忑i。？【解后評(píng)注】本法的依據(jù)是：當(dāng) ad,b0時(shí)，如果白6，則。汴，如果拿b，則a b .3.分母有理化法通過(guò)運(yùn)用分母有理化，利用分子的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小.【例3】比較后T與也-1的大小1 一 2（+ 1）因4 .分子有理化法在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的差的大小時(shí)，我們通常要將其進(jìn)行分子有理化，利用分母的大小來(lái)判斷其倒數(shù)的大小.【例4