金融數(shù)學(xué)第二章均值-方差資產(chǎn)選擇模型ppt課件

1、均值均值-方差準(zhǔn)那么方差準(zhǔn)那么 第二章 均值-方差資產(chǎn)選擇模型組合投資實(shí)際概述組合投資實(shí)際概述最優(yōu)組合系數(shù)最優(yōu)組合系數(shù) 最小方差集最小方差集 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第一節(jié)第一節(jié) 均值均值-方差準(zhǔn)那么方差準(zhǔn)那么 u 均值-方差準(zhǔn)那么 假定投資者均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型,在具有一樣的期望收益率的諸多投資時(shí)機(jī)中，總是選擇收益率方差最小的投資時(shí)機(jī)；或者在具有一樣的收益率方差的諸種投資時(shí)機(jī)中，總是選擇期望收益率最大的投資時(shí)機(jī)。l M-V準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 l M-LPV準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么 在某些條件下期望在某些條件下期望-方差準(zhǔn)那么與隨

2、機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)那么是等價(jià)的。方差準(zhǔn)那么與隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)那么是等價(jià)的。l M-V準(zhǔn)那么與準(zhǔn)那么與SSD準(zhǔn)那么的等價(jià)關(guān)系準(zhǔn)那么的等價(jià)關(guān)系u均值-方差準(zhǔn)那么與隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)那么的關(guān)系 證明證明 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 ()()GFruru 即 ( )()()( )GFruruF rG r 于是有 ( )( )rrF t dtG t dt第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 ( )( )uG tF t dt(2)(2)uGuxFux dx (2)(2)uG

3、utFut dt ( )(2) ( )(2)0uG tGutF tFutdt 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 l M-LPV那么與那么與TSD準(zhǔn)那么的等價(jià)關(guān)系準(zhǔn)那么的等價(jià)關(guān)系定理定理2.2 對(duì)于絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞減型投資者而言，對(duì)于絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞減型投資者而言， M-LPV準(zhǔn)那么與準(zhǔn)那么與TSD準(zhǔn)那么等價(jià)。準(zhǔn)那么等價(jià)。證明略。證明略。 值得留意的是，均值-方差準(zhǔn)那么的根本思想是以投資收益率的方差來(lái)作為投資風(fēng)險(xiǎn)的度量，這正是大多數(shù)主流經(jīng)濟(jì)學(xué)家所認(rèn)同的,因此在本書(shū)后續(xù)的章節(jié)中，均采用這種度量方法.第二節(jié)第二節(jié) 組合投資實(shí)際

4、概述組合投資實(shí)際概述第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u組合向量第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 解解 300000.650000Ax 600001.250000Bx 200000.450000Cx ( 0.6,1.2,0.4)X 于是該投資的組合向量為 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u 證券組合收益率期望與方差 1122()()()()PNNE Rx E Rx E Rx E R2()()() PREX RE X RX RE X R( )( ) X ERE RRE RXXX11NNijijijx x11NNijijijijx

5、 x 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 ()0.5 10%0.5 8%9%PE R12222()0.515%0.512%2 0.5 0.5 0.4 15% 12%11.3%PR 投資組合的期望收益率介于兩種證券之間，但是風(fēng)險(xiǎn)卻比兩種證券都要低。這個(gè)簡(jiǎn)單的例子也闡明了“不要將一切的雞蛋放入同一個(gè)籃子的緣由。第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u 市場(chǎng)證券組合 市場(chǎng)證券組合(Market Portfolio)的概念是Fama于1968年提出來(lái)的，它是指包括市場(chǎng)上每一種證券的總的組合，其中每種證券的組合權(quán)重等于該種證券在市場(chǎng)買賣中尚未清算部分的價(jià)值在市場(chǎng)上全

6、部證券的總價(jià)值所占的比例。從實(shí)際上講，市場(chǎng)證券組合是風(fēng)險(xiǎn)性證券的理想證券組合，每個(gè)“具有高度理性的投資者都按一定的比例持有它。 如假設(shè)股票市場(chǎng)只需A和B兩種股票構(gòu)成，且股票A的平衡市場(chǎng)價(jià)錢為400萬(wàn)美圓，股票B的平衡市場(chǎng)價(jià)錢為600萬(wàn)美圓，那么顯然任何“具有高度理性的投資者都會(huì)按照 2：3的比例投資A股和B股。 市場(chǎng)證券組合是一個(gè)實(shí)際上的籠統(tǒng)概念，現(xiàn)實(shí)生活中并不存在。通常的做法是選取一些覆蓋面較大的股票價(jià)錢指數(shù)來(lái)代表它。如美國(guó)規(guī)范普爾500股指數(shù)和道瓊斯價(jià)錢指數(shù)等。第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u投資組合線 l 兩證券的投資組合線兩證券的投資組合線 12()()(1)

7、 ()PE RE RE R1222221212()()(1)()2(1)()()PRRRRR 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 212()()()()pE RE RE RE R222221212()()(1)()2(1)()()PRRRRR 可以得到以下來(lái)看幾種特殊情況以下來(lái)看幾種特殊情況12222212()()(1)()PRRR 212()()()()pE RE RE RE R投資組合為雙曲線。第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 222221212()()(1)()2 (1) ()()PRRRRR 212()(1) ()RR 2212212()()

8、()()()()()pE RE RRRRE RE R212212()()() ()()()()()ppE RE RRRRRE RE R( )( )RE R122212()()() ()()()()()ppE RE RE RRRE RRR122212()()() ()()()()()ppE RE RE RRRE RRR 122212()()0,()()()()E RE RRE RRR1212()()()()E RE RRR即 進(jìn)一步的，在坐標(biāo)系下，即為直線 它們是從點(diǎn)向右發(fā)射，斜率為的兩條射線。第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 122212()()() ()()()()()

9、ppE RE RE RRRE RRR122212()()() ()()()()()ppE RE RE RRRE RRR 和 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 由圖，至少可以得到兩點(diǎn)結(jié)論：由圖，至少可以得到兩點(diǎn)結(jié)論：1投資組合線均經(jīng)過(guò)投資組合線均經(jīng)過(guò)A和和B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 l 含債券和股票的兩證券投資組合線含債券和股票的兩證券投資組合線 (1)PARiR()(1) ()PAE RiE R()(1) ()PAR

10、R 此時(shí)，證券組合的收益率為此時(shí)，證券組合的收益率為 相應(yīng)的收益率期望和方差分別為相應(yīng)的收益率期望和方差分別為即即 ()1()pARR代入期望收益率的等式中，得到該投資組合線為代入期望收益率的等式中，得到該投資組合線為()()()()APpAE RiE RiRR 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 組合線是一條如下圖的射線組合線是一條如下圖的射線O B第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 l 兩種以上證券的投資組合線兩種以上證券的投資組合線1122123()()()(1) ()PE Rx E Rx E Rxx E R222222211221233()()(

11、)(1)()PRxRxRxxR1212112132132322(1)2(1)x xxxxxxx第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 31213232()*()*()()()()E RrE RrxxE RE RE RE R第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 l 分散投資分散投資 分散投資就是投資者將資金有選擇的投放到很多彼此間相關(guān)程度很低分散投資就是投資者將資金有選擇的投放到很多彼此間相關(guān)程度很低的高質(zhì)量收益高、風(fēng)險(xiǎn)小的證券上的一種投資方式。的高質(zhì)量收益高、風(fēng)險(xiǎn)小的證券上的一種投資方式。211()NNPijijijijRx x 11NNijijijx x 2

12、1Niiix1()NPiiiRx=即 12111PNRRRRNNN22222122221111()()()()PNRRRRNNNN1()PRN即 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 實(shí)際上，只需證券的種類數(shù)非常大，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)就可以完全消除。然而，現(xiàn)實(shí)并非如此。美國(guó)學(xué)者Home根據(jù)多人的實(shí)驗(yàn)，繪制了一條反映投資組合風(fēng)險(xiǎn)與其包含證券種類關(guān)系的曲線，如下圖。 組合的風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn) 隨著證券種類數(shù)的增多非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)可以逐漸減少，甚至是消除，但是系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)卻不可消除。 人們多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果普通以為：一個(gè)較好的組合至少應(yīng)包含人們多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果普通以為

13、：一個(gè)較好的組合至少應(yīng)包含10種證券，以種證券，以15種為好。種為好。 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第三節(jié)第三節(jié) 最優(yōu)組合系數(shù)最優(yōu)組合系數(shù)u背景知識(shí) 問(wèn)題：在不思索收益的情況下要求投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小，即具有最小問(wèn)題：在不思索收益的情況下要求投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小，即具有最小風(fēng)險(xiǎn)的組合風(fēng)險(xiǎn)的組合(最優(yōu)組合最優(yōu)組合)的組合向量求解問(wèn)題。的組合向量求解問(wèn)題。 1()()Njjijiia Xa xaxx即即 ()()iia XX aaxx 11()()NNkjkjjkiiX AXa a x xxx2()iiiijjijija xaax()()d X AXAA XdX 即即 ()

14、2d X AXAXdX第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u最優(yōu)組合系數(shù)的建模和求解 2min(). .1pRXXsti X這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，可以用這是一個(gè)條件極值問(wèn)題，可以用Lagrange方法來(lái)求解。構(gòu)造方法來(lái)求解。構(gòu)造Lagrange函數(shù)：函數(shù)： ()(1)L XXXi X可以得到可以得到()(1)20()10XXL Xi XXiXXXL Xi X 解得解得 112Xi 11122()iiii 11112iXiii 進(jìn)而進(jìn)而 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 11112iXiii 由由2()pRXX1111()()iiiiii1112()ii

15、ii 11ii即即211()pRii第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 證券組合收益率的協(xié)方差矩陣為證券組合收益率的協(xié)方差矩陣為解解220.02250.0072(0.15)0.15 0.12 0.40.00720.01440.15 0.12 0.4(0.12)因此因此110.02250.007252.04626.0230.00720.014426.02381.322于是最優(yōu)組合系數(shù)為于是最優(yōu)組合系數(shù)為11(0.32,0.68)iXii相應(yīng)的組合收益率規(guī)范差為相應(yīng)的組合收益率規(guī)范差為11()11.1%pRii第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 值得留意的是

16、，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)是不能無(wú)限減少的，它有個(gè)下限，根據(jù)值得留意的是，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)是不能無(wú)限減少的，它有個(gè)下限，根據(jù) 可以得到以下推論：可以得到以下推論：第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u不允許賣空條件下的最優(yōu)組合系數(shù) 在不允許賣空條件下最優(yōu)組合系數(shù)的求解模型變成如下方式在不允許賣空條件下最優(yōu)組合系數(shù)的求解模型變成如下方式 2min()1. .0piRXXi Xstx討論討論N=2的情形的情形 2112221221212222212121211 于是于是212121222121211212iXii22221212221212()2pRXX 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型

17、均值方差資產(chǎn)選擇模型 由于由于 2212122121222 121222 12122200X 2212211202212211200故要故要，需求，需求即即成立。成立。合起來(lái)即合起來(lái)即 2112min,分三種情況討論：分三種情況討論： 212121222121211212iXii那么那么 12(1)PRRR于是于是 222221212()(1)2 (1)PR 22222122(1)2 (1) 222212(1) 2222122()22第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 此時(shí)該組合收益率的規(guī)范差是以風(fēng)險(xiǎn)較小的證券此時(shí)該組合收益率的規(guī)范差是以風(fēng)險(xiǎn)較小的證券(證券證券2)的規(guī)范差

18、為下限的。的規(guī)范差為下限的。 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 對(duì)應(yīng)的投資組合最小風(fēng)險(xiǎn)為對(duì)應(yīng)的投資組合最小風(fēng)險(xiǎn)為21222121212222121221221212min,2()min,min,pR 綜合綜合123的討論，當(dāng)?shù)挠懻?，?dāng)N=2時(shí)，最優(yōu)投資組合系數(shù)為時(shí)，最優(yōu)投資組合系數(shù)為22122122212121121221121min,20110X 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 第四節(jié)第四節(jié) 最小方差集最小方差集 調(diào)查在既定收益的情況下，最小方差的投資組合，和在方差給定的情況下，具有最大期望收益率的投資組合，如此就產(chǎn)生了最小方差集。 u最小方差集

19、的導(dǎo)出 l 最小方差集的定義最小方差集的定義 l 最小方差集的建模與求解最小方差集的建模與求解2min()(1)(). .1pRXXER Xrsti X第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 構(gòu)造構(gòu)造Lagrange函數(shù)函數(shù) 12()()(1)L XXXER Xri X由由Lagrange條件極值定理有條件極值定理有1212()20(2)()()0(3)()10(4)L XXERiXL XERXrL Xi X求解求解2式，可得式，可得由由34式，可知式，可知將將5式代入到式代入到6式得式得代入代入7式，得到式，得到代入代入(5)式，可得式，可得相應(yīng)的最小方差為相應(yīng)的最小方差為1

20、1(, )( ,1)XER i Ar21()( ,1)( ,1)pRXXrAr第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u最小方差集的性質(zhì)21()( ,1)( ,1)pRrAr1( ,1)( ,1)abrrbc121( ,1)( ,1)cbrrbaacb222crbraacb 221()cbracbcc22122()( ,1)( ,1)pcrbraRrAracb第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 我們發(fā)現(xiàn)有效組合拋物線頂點(diǎn)我們發(fā)現(xiàn)有效組合拋物線頂點(diǎn)G點(diǎn)之上的部分，它是點(diǎn)之上的部分，它是1式的對(duì)偶問(wèn)題的解：式的對(duì)偶問(wèn)題的解： 當(dāng)給定某一方差程度時(shí)，在對(duì)應(yīng)這個(gè)方差

21、程度的諸多投資組合中具有最大期望收益率的組合，我們通常稱這樣的組合為有效組合。 2max(). .1ER XXXsti X222144()42brbcacbaccc解得解得 最小方差集中方差最小的組合稱為絕對(duì)最小方差組合最小方差集中方差最小的組合稱為絕對(duì)最小方差組合,即為圖中的即為圖中的G點(diǎn)。且容點(diǎn)。且容易得到在易得到在G點(diǎn)點(diǎn) 2111,gggbrXiccc證明證明cov(,)()()pqpqppqqRRE RERRER()()PppqqqXRERRERXPqXX因此因此 2gjgjgXX11jXic 1jX ic第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 性質(zhì)性質(zhì)3 兩基金定理每

22、一個(gè)有效組合的系數(shù)向量均可以表示成其他兩個(gè)均兩基金定理每一個(gè)有效組合的系數(shù)向量均可以表示成其他兩個(gè)均值不一樣的有效組合的系數(shù)向量的線性組合。值不一樣的有效組合的系數(shù)向量的線性組合。證明證明 有效組合系數(shù)向量可以表示成有效組合系數(shù)向量可以表示成11(, )( ,1)XER i Ar無(wú)妨設(shè)無(wú)妨設(shè) 11(, )BER i A顯然顯然B矩陣為一常數(shù)矩陣。矩陣為一常數(shù)矩陣。32112()rrrrrr那么有那么有312(1)rrr于是于是331prXB12(1)(1)rrB12(1)11rrBB12(1)ppXX第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 兩基金定理的重要性在于，只需找到兩個(gè)有

23、效組合，就可以找到一切的有效組合。兩基金定理的重要性在于，只需找到兩個(gè)有效組合，就可以找到一切的有效組合。21()( ,1)( ,1)pRrAr21(,1)()(,1)cbaababacbb2ab11(, )( ,1)abXER i Ar121(, )()(,1)cbaER ibaacbb11ERb11gXic(1)gabXXX3利用兩基金定理，找到一切的有效組合利用兩基金定理，找到一切的有效組合 第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 u含有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合 曲線段GSL是原來(lái)N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合最小方差集的上側(cè)部分，G點(diǎn)代表絕對(duì)最小方差組合。 于是，新的有效組合曲線就由三個(gè)部分組成：于是，新的有效組合曲線就由三個(gè)部分組成：第二章第二章 均值方差資產(chǎn)選擇模型均值方差資產(chǎn)選擇模型 于是，含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合的均值的表達(dá)式為于是，含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效組合的均值的表達(dá)式為 2222222144()42SSSSSSLLLLLLriibrbcacbacccrii其中點(diǎn)其中點(diǎn)S和和L的坐標(biāo)有下式給出的坐標(biāo)有下式給出221()(22 )(, )kkkkricrbkS