高中數(shù)學(xué)人教A版必修5導(dǎo)學(xué)案：25第2課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（二）

1、【自學(xué)目標(biāo)】1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)解題.2.應(yīng)用方程的思想方法解決與等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的問題1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的變式(1)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)公比q1時(shí)，Sn；當(dāng)q1時(shí)，Sn (2)當(dāng)公比q1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是Sn，它可以變形為Sn·qn，設(shè)A，上式可寫成Sn .由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)當(dāng)公比q1時(shí)，因?yàn)閍10，所以Snna1的相應(yīng)函數(shù)是正比例函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù))2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m

2、)不為零，則它們?nèi)詷?gòu)成 數(shù)列(注意：q1或m為奇數(shù))(2)SmnSmqmSn(q為數(shù)列an的公比)(3)若an是項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)、公比為q的等比數(shù)列，則q.情境導(dǎo)學(xué)上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，那么該公式與相應(yīng)的函數(shù)有怎樣的關(guān)系？等比數(shù)列的前n項(xiàng)和又有怎樣的性質(zhì)？如何利用這些性質(zhì)解題？這是我們本節(jié)研究的主要內(nèi)容探究點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征思考1設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)公比q1時(shí)，Sn對應(yīng)怎樣的函數(shù)？其函數(shù)圖象又如何？思考2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)公比q1時(shí)，Sn對應(yīng)怎樣的函數(shù)？其函數(shù)圖象又如何？思考3數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)列：S1，S2，S3

3、，Sn，.你能完成這個(gè)新數(shù)列的遞推關(guān)系嗎？例1設(shè)f(n)2242723n1 (nN*)，則f(n)等于()A.(8n1) B.(8n11)C.(8n21) D.(8n31)跟蹤訓(xùn)練1若an是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn3n1t，則t_.探究點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)思考1等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q，Smn與Sm及Sn有怎樣的關(guān)系？為什么？思考2在等比數(shù)列an中，若連續(xù)m項(xiàng)的和不等于0，則它們?nèi)越M成等比數(shù)列即Sm，S2mSm，S3mS2m，仍組成等比數(shù)列怎樣證明這個(gè)關(guān)系？例2已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：SSSn(S2nS3n)跟蹤訓(xùn)練2在

4、等比數(shù)列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.探究點(diǎn)三等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合問題例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an2(nN*)，在數(shù)列bn中，b11，點(diǎn)P(bn，bn1)在直線xy20上(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tna1b1a2b2anbn，求Tn.跟蹤訓(xùn)練3在等比數(shù)列an中，an>0 (nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項(xiàng)為2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)最大時(shí)，求n的值1一個(gè)七層的塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點(diǎn)381盞燈，則

5、底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是()A190 B191 C192 D1931192.2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1(a是不為零的常數(shù)且a1)，則數(shù)列an()A一定是等差數(shù)列 B一定是等比數(shù)列C或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 D既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列3一個(gè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為()A180 B108 C75 D634在數(shù)列an中，an1can(c為非零常數(shù))，且前n項(xiàng)和為Sn3nk，則實(shí)數(shù)k_.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對公比q1或q1作出判斷；若an是等比數(shù)列，且an>0，則lg an構(gòu)成等差數(shù)列2等比數(shù)列中用到的數(shù)學(xué)思想：(1)分

6、類討論的思想：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q1和q1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng)a1<0，q>1或a1>0,0<q<1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)為擺動數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)為常數(shù)列(2)函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項(xiàng)ana1qn1·qn(q>0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn(qn1)(q1)設(shè)A，則SnA(qn1)也與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常把qn，當(dāng)成整體求解一、基礎(chǔ)過關(guān)1等比數(shù)列an中，a33

7、S22，a43S32，則公比q等于()A2 B. C4 D.2設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若Sn是等差數(shù)列，則q等于()A1 B0 C1或0 D13在等比數(shù)列an中，已知S3013S10，S10S30140，則S20等于()A90 B70 C40 D30.4等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn3n2k，則實(shí)數(shù)k的值為()A. B C. D5等比數(shù)列an共2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q_.6設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若3，則_.7已知a1，a2，a3，an，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Snn2，設(shè)bn，記bn的前n項(xiàng)和為Tn.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：Tn1.8設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.9設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a41，S37，則S5等于()A. B.C. D.10數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6等于()A3×44 B3×441C45 D45111等比數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，S32，S66，則a10a11a12_.12已知等比數(shù)列an中，a12，a32是a2和a4的等差中項(xiàng)(