第7章 隨機(jī)利率模型

1、第第7章隨機(jī)利率模型章隨機(jī)利率模型【考試要求考試要求】7.1引言引言相關(guān)概念利率模型的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)均衡模型與無套利模型7.2Ho-Lee模型模型Ho-Lee模型Ho-Lee模型的應(yīng)用7.3連續(xù)時(shí)間隨機(jī)利率模型下零息債券的定價(jià)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)利率模型下零息債券的定價(jià)隨機(jī)利率模型的一般形式及零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程基于鞅方法的零息債券定價(jià)公式 7.4Vasicek模型模型Vasicek模型及模型求解Vasicek模型下的債券的定價(jià)7.5CIR模型模型CIR模型及模型求解CIR模型下債券的定價(jià)7.6單因素模型的局限性單因素模型的局限性單因素模型的局限多因素

2、模型簡介【要點(diǎn)詳解要點(diǎn)詳解】7.1引言引言1相關(guān)概念相關(guān)概念（1）銀行賬戶過程定義 為t時(shí)刻銀行賬戶過程(的價(jià)值)。假設(shè)(0)=1，且銀行賬戶滿足以下的微分方程：其中 是瞬時(shí)利率。由上式可以進(jìn)一步的推出：說明：說明：如果瞬時(shí)利率rt是隨機(jī)的，銀行賬戶過程 也是隨機(jī)的。（2）隨機(jī)折現(xiàn)因子在t時(shí)刻到T時(shí)刻的隨機(jī)折現(xiàn)因子D(t，T)是：隨機(jī)折現(xiàn)因子的含義假設(shè)在0時(shí)刻向銀行賬戶存入A單位貨幣，則在t0時(shí)刻銀行賬戶將有 單位貨幣。若希望在T(Tt)時(shí)銀行賬戶有1單位貨幣，即 ，需在0時(shí)刻投入 單位的貨幣，這筆金額在t時(shí)刻銀行賬戶的價(jià)值為： 所以，T時(shí)刻的1單位貨幣，在t時(shí)刻的價(jià)值為 。( ) t( )(

3、 )tdtrt dttr( ) t( )At( )1AT1( )AT( )( )( )tAtT( )( )tT（3）連續(xù)復(fù)利收益率用B(t，T)表示T時(shí)刻到期的零息票債券1單位面值在t時(shí)刻的價(jià)格。連續(xù)復(fù)利收益率R(t，T)定義為：由這個(gè)等式可以推出：R(t，T)是零息債券在t，T上的平均收益率。說明說明：盡管B(t，T)與D(t，T)二者都是從T到t的貼現(xiàn)因子，但B(t，T)在t時(shí)刻是一個(gè)數(shù)，而D(t，T)則可能是一個(gè)隨機(jī)變量。（4）遠(yuǎn)期單利和遠(yuǎn)期復(fù)利t時(shí)刻的期限為T，S (TS)的遠(yuǎn)期單利 的定義為：t時(shí)刻的期限為T，S (TS)的遠(yuǎn)期復(fù)利 的定義為：說明：說明： 和 是基于t時(shí)刻的信息對未

4、來的期限為T，S的即期單利和即期復(fù)利的預(yù)期值。( , , )lF t T S( , , )cF t T S( , , )lF t T S( , , )cF t T S（5）遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率的定義為：由定義可知 。由上面的等式可以推出，零息債券的價(jià)格可表示為：這個(gè)式子結(jié)合 可以推出：說明：說明：當(dāng)期限T，S無限小時(shí)單利和復(fù)利相等。( , )trf t tln( , )( , )B t TR t TTt 【例題例題7.1】零息債券的遠(yuǎn)期利率由表達(dá)式f(0，T)=0.05+0.01T給出，其中T為年數(shù)。面值為100美元，到期以面值贖回，則到期日為5年的零息債券的價(jià)格為（）。A94.65B88

5、.69C68.73D36.79E25.36【答案答案】C【解析】【解析】到期日為5年的零息債券的價(jià)格為： （美元）5500(0, )(0.05 0.01 )(0,5)10010068.73ft dtt dtBee2利率模型的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)利率模型的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)利率模型能夠滿足一些優(yōu)良的性質(zhì)，這些優(yōu)良的性質(zhì)包括：（1）模型應(yīng)該是無套利的。即利率應(yīng)該是非負(fù)的。（2）利率應(yīng)該具有均值回復(fù)特征。即利率圍繞某一均值波動(dòng)，如利率超過均值，則在未來有下降的趨勢；反之，如低于均值，則未來有上升的趨勢。（3）被用于計(jì)算債券以及利率衍生品價(jià)格時(shí)應(yīng)較為簡單。（4）應(yīng)該是動(dòng)態(tài)的，能充分反映市場利率的變化。（5）參數(shù)容易估計(jì)，且

6、模型能較好的擬合歷史數(shù)據(jù)。（6）有明顯的經(jīng)濟(jì)意義。說明：說明：許多常用的隨機(jī)利率模型只具有上面的部分性質(zhì)，但在實(shí)際應(yīng)用中往往忽略模型的某些缺陷。3均衡模型與無套利模型均衡模型與無套利模型（1）均衡利率模型（絕對定價(jià)模型）可以對債券和利率衍生品定價(jià)。由于貨幣市場和資本市場的復(fù)雜性，單因素均衡模型推導(dǎo)出來的收益率曲線一般不能精確地?cái)M合實(shí)際的收益率曲線，所以實(shí)際中也常常采用多因素模型。單因素模型：是指模型中只涉及一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，或者說模型只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源；多因素模型：是指涉及多個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，因而對應(yīng)了多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源。說明：說明：在均衡模型中，遠(yuǎn)期利率是由隨機(jī)模型預(yù)測得到；（2）無套利模型（相對定價(jià)模型或擬合模

7、型）基本思想是基于已知的市場債券或其他利率衍生品的價(jià)格構(gòu)造收益率曲線，再利用得到的收益率曲線對其他的利率衍生品定價(jià)?；跓o套利模型得到的價(jià)格是一種相對價(jià)格，即相對于已知的價(jià)格的無套利價(jià)格。說明：說明：在無套利模型中，遠(yuǎn)期利率是通過債券或某些利率衍生品的價(jià)格得到。7.2Ho-Lee模型模型1Ho-Lee模型模型（假定市場是完備的、考慮離散時(shí)間）該模型假定初始利率期限結(jié)構(gòu)是已知的，使用了當(dāng)前可觀測的期限結(jié)構(gòu)所包含的全部信息來給衍生證券定價(jià)，以保證不出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，是無套利模型。 sn ：第n期市場的狀態(tài)空間； （貼現(xiàn)函數(shù)）：第n期、狀態(tài) 出現(xiàn)、到期時(shí)刻為T的零息票債券的價(jià)格。在任意時(shí)刻n、狀態(tài)i，利

8、率期限結(jié)構(gòu)由一系列貼現(xiàn)函數(shù)來完全描述。其中貼現(xiàn)函數(shù) 滿足： 第一個(gè)條件表明零息票債券的價(jià)格非負(fù)，第二個(gè)條件表明到期時(shí)零息票債券的價(jià)格為1，第三個(gè)條件表明期限無限長的零息債券的價(jià)格為零。( )( )niDTnis( )( )niD（1）Ho-Lee模型的貼現(xiàn)函數(shù)在二叉樹模型下的變動(dòng)情況Ho-Lee模型的貼現(xiàn)函數(shù)在二叉樹模型下的變動(dòng)情況為：在第n期，貼現(xiàn)函數(shù)有n+1中可能狀態(tài)。貼現(xiàn)函數(shù)的每個(gè)狀態(tài)都都獨(dú)立于通向該節(jié)點(diǎn)的路徑，僅由初始點(diǎn)到該節(jié)點(diǎn)之間的向上移動(dòng)和向下移動(dòng)的次數(shù)決定。在該二叉樹模型中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一組折現(xiàn)率，因此每個(gè)節(jié)點(diǎn)都對應(yīng)一組與之關(guān)聯(lián)的各種零息債券的價(jià)格。圖圖7-1零息債券價(jià)格的二叉樹

9、模型 （2）極限情況下，Ho-Lee模型下的短期利率在極限情況下，Ho-Lee模型下的短期利率滿足：其中， 為時(shí)間t的函數(shù)，描述了 變動(dòng)的趨勢； 為一常數(shù)，描述了利率的波動(dòng)幅度； 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。( )ttdra t dtdW( )a ttrtW2Ho-Lee模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用由 可得 ， 。在計(jì)算債券價(jià)格時(shí)，通常將 離散化為：其中隨機(jī)變量在u出現(xiàn)時(shí)取+1，在d出現(xiàn)時(shí)取-1，u和d分別代表向上移動(dòng)和向下移動(dòng)。( )ttdra t dtdW()( ( )tE drE a t dt2()tVar drdt( )ttdra t dtdW【例題例題7.2】表7-1為一組面值為100元的零息票債券的數(shù)

10、據(jù)，設(shè)利率變動(dòng)符合Ho-Lee模型，其中 ， 。表表7-1市場觀測數(shù)據(jù)市場觀測數(shù)據(jù) 期限(年)零息利率()零息債券價(jià)格(元)l5.8394.4926.3088.50構(gòu)建Ho-Lee模型下利率的二叉樹及債券價(jià)格的二叉樹。解：解：債券價(jià)格的樹形結(jié)構(gòu)如圖7-2所示，其中2年期的零息票債券在一年后其價(jià)格以05的概率變?yōu)镻u ，或者以0.5的概率變?yōu)镻d 。圖圖7-2基于基于Ho-Lee模型的定價(jià)二叉樹模型的定價(jià)二叉樹(2年期零息票債券年期零息票債券)1.5%1t 該價(jià)格是受相應(yīng)利率變動(dòng)影響的，與其相對應(yīng)的短期利率的結(jié)構(gòu)如圖7-3所示。圖圖7-3基于基于Ho-Lee模型的短期利率樹形結(jié)構(gòu)模型的短期利率樹

11、形結(jié)構(gòu)首先可以得到Pu和Pd的表達(dá)式分別為：再由債券價(jià)格可得：解該方程得 。 10.96%a也可得到 ， 。債券的價(jià)格二叉樹、利率的二叉樹分別如圖7-4和圖7-5所示：圖圖7-4基于基于Ho-Lee模型的債券價(jià)格二叉樹模型的債券價(jià)格二叉樹圖圖7-5基于基于Ho-Lee模型的短期利率樹模型的短期利率樹8.29%,5.29%udrr=92.34=94.98udPP，【例題例題7.3】圖7-6給出了一利率二叉樹圖，假設(shè)所有分支上的概率都是12，用倒向法計(jì)算兩年期零息債券的價(jià)格為（）。圖圖7-6A0.8865B0.8925C0.9071D0.9123E0.9257【答案】【答案】C【解析】【解析】兩年

12、期零息債券的價(jià)格為：11=0.9434,=0.96151.061.040.9434/1.050.9615/1.050.907127.3連續(xù)時(shí)間隨機(jī)利率模型下零息債券的定價(jià)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)利率模型下零息債券的定價(jià)1隨機(jī)利率模型的一般形式及零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程隨機(jī)利率模型的一般形式及零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程（1）隨機(jī)利率模型的一般形式考慮單因素模型。關(guān)于短期利率rt的隨機(jī)微分方程的一般形式為：其中， 被稱為漂移項(xiàng)，被稱為 波動(dòng)項(xiàng)， 為客觀概率測度P下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。（2）零息債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程由于零息債券價(jià)格B(t，T)與rt有關(guān)，則可以把B(t，T)視為關(guān)于t，T，rt的函數(shù)

13、，即：方法一：對B(t，T，rt)微分可得：則零息債券滿足的隨機(jī)微分方程：方法二：直接對B(t，T，rt)應(yīng)用 引理，也可以得到上面的隨機(jī)微分方程。( , )tt r( , )tt rtWIto2利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格用兩種不同到期日的零息債券(即T1T2)構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，設(shè)組合 為： （7.1）選擇適當(dāng)?shù)念^寸 ，使得 的風(fēng)險(xiǎn)為零，即 （7.2） 是兩種零息債券對利率風(fēng)險(xiǎn)的敏感度之比，也是用到期日為T2的零息債券對到期日為T1的零息債券做套期保值的比率。對 微分可得：12( , )( , )ttB t T rB t T r由 可得：故組合 是無風(fēng)險(xiǎn)的，因此其收益率與無風(fēng)險(xiǎn)收益

14、率相等，即 （7.3）將 的表達(dá)式代入(7.3)式，可得：12( , )( , )0ttB t T rB t T rrrtdrdtd由 可得：由T1，T2的任意性可知，數(shù)值 （7.4） 與期限T無關(guān)，僅與t、rt有關(guān)，記為t。12( , )( , )0ttB t T rB t T rrr 下面我們探究t在實(shí)際中的含義。T時(shí)刻到期的債券價(jià)格在客觀概率測度下的隨機(jī)微分方程重新記為：其中， 和 分別為零息債券的瞬時(shí)收益率和瞬時(shí)波動(dòng)率。由可以得到：因此可以看出，t的含義是承擔(dān)單位風(fēng)險(xiǎn)獲得的超額收益，即利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格。( , )( , ) ( , )( , )tdB t TB t Tm t T dt

15、v t T dW( , )m t T( , )v t T3零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程模型推導(dǎo)：由可得零息債券價(jià)格滿足的偏微分方程：整理上式，可得： （7.5）邊界條件為：B(T，T)=1模型求解方法：可以利用有限差分方法或者蒙特卡羅模擬法對上式進(jìn)行求解，因此可對任意特定的隨機(jī)利率模型求出上式的數(shù)值解。利用Feynman-Kac公式，債券價(jià)格滿足的微分方程的解為：其中Q是風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度， 表示在t時(shí)刻的信息集。一般的，對于一個(gè)到期日為T的利率衍生品，如果其到期支付為f(T)，則該衍生品t時(shí)刻的價(jià)格為：4基于鞅方法的零息債券定價(jià)公式基于鞅方法的零息債券定價(jià)公式在風(fēng)險(xiǎn)

16、中性概率測度Q下，任何資產(chǎn)的期望收益率均為無風(fēng)險(xiǎn)收益率 ，因此債券價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程變?yōu)椋焊鶕?jù)零息債券滿足的隨機(jī)微分方程可得由 得： 說明：這里需要假定Girsanov定理的條件成立。tr可通過測度變換將貼現(xiàn)的債券價(jià)格過程轉(zhuǎn)化為鞅。令其中t是銀行賬戶過程，顯然Z(T，T)=T-1。由 引理可得： （7.6）因此Z(t，T)是一個(gè)Q鞅，所以，將Z(t，T)和Z(T，T)的表達(dá)式代入(7.6)式可得：Ito7.4Vasicek模型模型短期利率rt最著名的兩個(gè)模型是Vasicek模型和CIR模型。這兩個(gè)模型都是時(shí)間齊性，即rt未來的變化僅依賴于rt的當(dāng)前值，而不是當(dāng)前的時(shí)刻t。1Vasicek模

17、型及模型求解模型及模型求解（1）客觀概率測度下的Vasicek模型模型的形式該模型形式為： （7.7）其中、為正的常數(shù)。參數(shù)描述了利率回復(fù)的速度，參數(shù)為短期利率的長期水平。它是一個(gè)滿足均值回復(fù)特征的隨機(jī)利率模型。由模型的形式知：當(dāng)rt時(shí)，漂移項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)，此時(shí)rt位于的上方，總體是向下移動(dòng)的。因此在Vasicek模型中，rt是以回復(fù)參數(shù)的。滿足（7.7）的過程稱為Ornstein-Uhlenbeck過程，因此在Vasicek模型下短期利率是Ornstein-Uhlen-beck過程。()tttdrr dtdW Vasicek模型的解定理7-1 隨機(jī)微分方程 的解為：證明：考慮過程 ，由 引理可

18、知：等式兩邊取積分，得到： 故從而該定理得證。由隨機(jī)分析的基本知識(shí)可知，積分 服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，因此rt服從均值為 ，方差為 的正態(tài)分布?；趖時(shí)刻的信息集Ft，rT(Tt)的條件分布服從正態(tài)分布：()tttdrr dtdW ttreIto()0ttuedW222()20(1)2tttedue0(1)ttr ee22(1)2te（2）在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下的Vasicek模型在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下的Vasicek模型形式為：其中 ，風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格為常數(shù)。與客觀概率測度下的Vasicek模型 相比，風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度下的長期均值 發(fā)生了變化，方程的形式和波動(dòng)率都沒有變化。說明：說明：盡管

19、Vasicek模型中利率可以正的概率取負(fù)值，該模型仍得到了廣泛的應(yīng)用。= ()tttdrr dtdW 2Vasicek模型下債券的定價(jià)模型下債券的定價(jià)定理7-2Vasicek模型下零息債券的價(jià)格為：其中 ， ，證明：假設(shè)債券價(jià)格的形式為： （7.8）其中 ， 為待定函數(shù)。在中，(t，rt)=(rt)，(t，rt)=，(t，rt)=。代入可得到Vasicek模型下的關(guān)于債券價(jià)格的偏微分方程：( )( ),tbraB t TeTt1( )eb( )A( )b( ),( )tbrB t TAe由 可得下列等式：所以可以重寫成：因?yàn)樯鲜龅仁綄τ谌我獾膔都是成立的，所以函數(shù)A、b可以通過解下面兩個(gè)獨(dú)立的

20、微分方程得到： （7.9） （7.10）( ),( )tbrB t TAe1bb又因P(T，T，r)=1，即： ，對于任意的rt都是成立的，則A(0)=1，b(0)=0，這是式(7.9)和(7.10)的邊界條件。解方程可得：所以債券價(jià)格公式為：其中 。定理得證。(0)(0)1tbrAe設(shè) 。由定理7-2及 可知： 因此，當(dāng)T時(shí)R(t，T)R(t，)，其中R(t，)為期限無限大時(shí)零息債券的收益率。說明說明：Vasicek模型的不足：該模型下的利率可能以正的概率出現(xiàn)負(fù)值?？紤]的時(shí)間范圍較短時(shí)，負(fù)利率出現(xiàn)的概率可能很小，此時(shí)影響不大；當(dāng)考慮的期限很長時(shí)，負(fù)利率出現(xiàn)的概率及其精確程度等問題就會(huì)變得愈發(fā)

21、顯著而不能忽略。222( ,)R t=-ln ( , )( , )B t TR t TTt=-【例題例題7.4】假設(shè)在Vasicek模型中， =0.15， =0.08，初始的短期利率為8.1%短期利率在短時(shí)間 內(nèi)變化的初始標(biāo)準(zhǔn)差為0.023 ，由該模型計(jì)算的5年期零息債券的價(jià)格為（）。2011年春季真題A0.6638B0.6681C0.6723D0.6782E0.6837【答案】【答案】C【解析】【解析】由 此外，利率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格 。于是tt0 =【例題【例題7.5】假設(shè)在Vasicek模型中的參數(shù)為 =0.1和 =0.1。在此種模型下，初始短期利率均為10，在一個(gè)短時(shí)間t內(nèi)，短期利率變化的

22、初始標(biāo)準(zhǔn)差為0.02 。則所給出的10年期零息債券的價(jià)格為（）。A0.38046B0.36025C0.35698D0.25037E0.24019【答案】【答案】A【解析】【解析】在Vasicek模型中， =0.1和 =0.1和=0.02，得到：t【例題例題7.6】證明Vasicek模型下的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率為： （7.11） 其中解：由定理7-2及式 可得：由 ， 的定義可得：及將 和 代入可得(7.11)式。Tt( )a( )b( )a( )b 7.5CIR模型模型 1CIR模型及模型求解模型及模型求解CIR模型：在一般均衡條件下的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中考慮了利率的期限結(jié)構(gòu)問題的模型。單因素CIR模型的形式為

23、： （7.12）其中，為正的常數(shù)。滿足(7.12)式的過程稱為平方根過程。說明說明：CIR模型仍是一個(gè)具有均值回復(fù)特性的模型。短期利率rt圍繞長期均值波動(dòng)；利率回復(fù)到均值的速度由模型中的參數(shù)描述；CIR模型中它的波動(dòng)項(xiàng)增加了rt的平方根，保證了利率rt不會(huì)出現(xiàn)負(fù)值。通過求解 可以得到下面的定理：定理7-3用 表示自由度為a，非中心參數(shù)為b的非中心 分布的密度函數(shù)。在CIR模型下，基于t時(shí)刻的短期利率rt，未來T (Tt)時(shí)刻的rT的條件分布的密度函數(shù)為：其中 引理7.1設(shè) 是一個(gè) 過程，稱 為Dynkin算子，則2,( )a bftXIto()()ttdE XD Xdt=222 22,|()T

24、tqurrffcr+=2定理7-4CIR模型下，基于t時(shí)刻的短期利率rt，未來T (Tt)時(shí)刻rT的條件期望為：條件方差為：特別的，取t=0，可得對任意的t0，有 （7.13） （7.14）證明：僅證式(7.13)和(7.14)，前兩個(gè)等式的證明是類似的。 的證明：對 兩邊取期望，因E(dWt)=0，所以，由引理7.1可得： （7.15）上式的邊界條件為E(r0)=r0。設(shè) 則(7.15)式變?yōu)椋簩ι鲜絻蛇厪?到t積分，并將 代入可得：其中C為常數(shù)。由邊界條件可得：C = r0-。()ttttdr r dt r dW=-+lndydt 的證明：對rt2用 引理，可得：由引理7.1可得：將式 代入上式將得到一個(gè)關(guān)于E(rt2)的一階常微分方程，解方程可得：結(jié)合式 和上式即可得到說明說明：由定理7-4可知，當(dāng)t時(shí)，rt。Ito2CIR模型下債券的定價(jià)模型下債券的定價(jià)CIR模型下風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格為：其中 為正的常數(shù)。將 和 代入下式 得到CIR模型下零息債券價(jià)格滿足的微分方程：該微分方程的求解：假定上式中零息債券價(jià)格的形式為：可求出待定函數(shù) 如下：說明說明：在CIR下債券的定價(jià)是非常復(fù)雜的，這在一定程度上限制了實(shí)際中對該模型的應(yīng)用。()ttttdr r dt r dW=-+( )ttE rCe-=+( ),( )tbrB t TAe