(隱函數(shù)組)_(數(shù)學(xué)分析)

1、第二節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 , 即雅可比 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3.3.,0),(000

2、0vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(000yxvv ),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：vvvuvuGFG

3、GFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組,0vuvuGGFFJ在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故得系數(shù)行列式同樣可得),(),(1vyGFJyu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(),(1vxGFJxu),

4、(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例例4. 設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有例例5.5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(,

5、 ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uy

6、uxJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例例5的應(yīng)用的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換sin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù) .),(),(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

7、內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè), ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏

8、導(dǎo)數(shù).,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由d y, d z 的系數(shù)即可得uzyxx x)()(xzzxyy及,2 yxeyx備用題備用題.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè),dsin0tttezxx(2001考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,x

9、yy)sin()(1zxzxezx解得因此 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設(shè))(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可得222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元線性代數(shù)方程組解的公式雅可比雅可比(1804 1851)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家