高等流體力學(xué)第四章(2)

1、4.6 偶極子流動偶極子流動顯然 z 0 處是上述函數(shù)的奇點(diǎn)。F( )zzF( )lnlnlnlnlnlnF( )12z22222+mmmz+mzzz+(z-)=222z-2-zm=+2zzzmm=+=+2zz2zzmz z000 ln()()2 x 1, 駐點(diǎn)在圓柱面外正下方。14 Ua由于環(huán)量的存在，流場對 x 軸不再對稱，在圓柱上表面順時針的環(huán)流和無環(huán)量的繞流方向相同，因此速度增加，而在下表面則方向相反，速度減少。根據(jù)伯努利方程上表面壓強(qiáng)減小，下表面壓強(qiáng)增大，于是產(chǎn)生向上的合力，稱升力。4.8 4.8 有環(huán)量圓柱繞流有環(huán)量圓柱繞流升力和阻力升力和阻力有環(huán)量繞流速度場對 y 軸對稱，壓強(qiáng)場

2、也對 y 軸對稱，因此在 x 軸方向圓柱所受表面力合力為零。4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 002C2CX -Yi= iW dz2M = -Rez W dz2求圓柱受力和力矩的方法求圓柱受力和力矩的方法壓強(qiáng)積分方法從復(fù)位勢求出柱體表面速度分布；再利用伯努利方程求出柱體表面壓強(qiáng)分布，作積分求出表面力合力與合力矩。復(fù)變函數(shù)方法 布拉修斯公式而曲線積分則可利用留數(shù)定理求出。4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式柱體受力分析柱體受力分析設(shè)定常均勻來流繞流任意形狀的柱體，周圍流體對柱體的作用力可簡化為作用在柱體重心的力X、Y 以及力矩M（取xoy坐標(biāo)原點(diǎn)在柱體質(zhì)心）。取任意形狀封閉曲面C0 包圍柱體，柱體表

3、面為Ci。以C0 ，Ci 間的空間為控制體，控制體內(nèi)的流體受到C0 外流體的壓強(qiáng)p的作用，同時受到柱體的反作用力 X，Y，以及反力矩M的作用。XYnMiCn oCudy vdxpdypdxdlVVSSDQDtCSFudV =udV +uu ndS =utF =uQ CSCSF =uQxF =vQy4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式動量定理動量定理寫成分量形式，00CC-X -pdy=u(udy-vdx)00CC-Y +pdx=v(udy-vdx)i00CSCCC Q=udy-vdx22p= c-u +v200CCcdxcdy00022C22CX = uvdx-u -vdyY = -uvdy+u

4、-vdx4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式應(yīng)用動量定理于上述控制體，x方向，y方向，Ci 是一條流線，沒有流體穿過通過C0上的微分面積的體積流量微元面在x和y方向受到的壓力則分別為：p dy，p dx伯努利方程代入 x 和 y 方向的動量方程，并考慮到 ，得XYnMiCn oCudy vdxpdypdxdlCSCSF =uQxF =vQy布拉修斯公式布拉修斯公式W( ) z 00022CC2222CiW dz=iu-i vdx+i dy2211= uvdx-(u -v )dy +i uvdy+(u -v )dx2202CX -iY =iW dz24.9 布拉修斯公式布拉修斯公式上式中X，Y是作用

5、在柱體重心的力，方向分別沿 x 與 y 軸正向；C0 是包圍柱體的任意曲面；W為復(fù)速度。與動量定理求出的柱體受力X，Y的表達(dá)式相比得，若已知復(fù)速度 ， 則CSM =ru Q00CC-M +(xpdx+ ypdy)=vx(udy-vdx)- uy(udy-vdx)4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式動量矩定理動量矩定理對我們研究的控制體，只需要考慮z方向分量方程，pdypdx vQ, uQ方程左邊第一項(xiàng)是柱體對流體的反力矩，第二項(xiàng)是C0 外的流體作用在C0上的壓力對坐標(biāo)原點(diǎn)（柱體重心）的矩。方程右邊則是單位時間凈流出控制面的流體動量矩，方括號內(nèi)兩項(xiàng)分別表示動量 對坐標(biāo)原點(diǎn)的矩。由于沒有流體通過柱體表

6、面Ci，積分只在C0上進(jìn)行。XYnMiCn oCudy vdx221p= c- u -v200CCcdxcdy0022 () ( )2 ( ) 2CMuvx dxy dyu v x dyy dx 利用伯努利方程 消去上式內(nèi)的壓強(qiáng)項(xiàng)，并考慮到 ，力矩M可表示為， 000022CC22C22CzW dz=x+i yu-i vdx+i dy22=u -vx dx- y dy +2uv x dy+ y dx2+iu -vx dy+ y dx -2uv x dx- y dy202cM = -RezW dz24.9 布拉修斯公式布拉修斯公式上式中 Re 表達(dá)取復(fù)變數(shù)的實(shí)部。M是作用在柱體上的力矩，逆時針方

7、向?yàn)檎籆0 為圍繞柱體的任意曲面；W為復(fù)速度。與由動量矩定理求出的力矩M的表達(dá)式比較可得，以復(fù)速度作如下積分式，布拉修斯合力矩公式布拉修斯合力矩公式4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩 如 F(Z) 在環(huán)形域 處處解析，該環(huán)形域中心在點(diǎn) ，那么F(z)可用級數(shù)表示為 上述級數(shù)稱羅倫級數(shù)。10r r r0zF( ).22101020200bbz+a +a (z - z )+a (z - z )z - zz - z羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)如F(z)在曲線C內(nèi)的區(qū)域中除有限個奇點(diǎn) 外解析，則式中 是 F(z) 在點(diǎn) 的留數(shù)， 是 F(z) 在點(diǎn) 的留數(shù)，等等。01zz123nz

8、 , z , z ,.z()12nCF(z) dz=2 i R +R +.+R1z2z2R1R4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩留數(shù)留數(shù)一個函數(shù)在 點(diǎn)的留數(shù)就是該函數(shù)對于 的羅倫級數(shù) 0z0z項(xiàng)的系數(shù)。留數(shù)定理留數(shù)定理02CX -i Y =i W z2W( )W ( )222224222224322aiz =U-+z zU aU aiUiUaz =U -+-zzzz ziUiUX -i Y =i 2 i= -i U24.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力作用在圓柱上的力 函數(shù) W2 在 Co 內(nèi) 的奇點(diǎn)只有一個， z = 0點(diǎn)， 即點(diǎn)渦和偶極子的所在點(diǎn)。 在 z0點(diǎn)的留數(shù)為 ，布拉修斯公式,定常均勻來流繞流圓柱，圓柱半徑為a，來流速度為U，繞圓柱環(huán)量為（順時針），則由上式可見在 x 方向的阻力為零，升力等于環(huán)量與來流速度 U 和流體密度 的乘積， Y=U上式為正值，即負(fù)方向的環(huán)量產(chǎn)生向上的升力。該公式稱為庫塔儒科夫斯基公式。顯見 0 時 Y0，無環(huán)量繞流無升力。4.10 4.10 作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力和力矩作用在圓柱上的力作用在圓柱上的力 函數(shù) 在 Co 內(nèi) 的奇點(diǎn)