hj1-3 直梁的彎曲

1、2021-12-161第三章第三章 直梁的彎曲直梁的彎曲第一節(jié)第一節(jié) 梁的彎曲實(shí)例與概念梁的彎曲實(shí)例與概念 2021-12-162以彎曲為主要變形的構(gòu)件在工程上稱以彎曲為主要變形的構(gòu)件在工程上稱為為梁梁 2021-12-1632021-12-1642021-12-165 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn)是：在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，是：在構(gòu)件的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，受到垂直于梁的軸線的力或力偶作用，使受到垂直于梁的軸線的力或力偶作用，使構(gòu)件的軸線在此平面內(nèi)彎曲為曲線，這樣構(gòu)件的軸線在此平面內(nèi)彎曲為曲線，這樣的彎曲稱為的彎曲稱為平面彎曲平面彎曲. 2021-12-166梁的基本形式梁的基本形式 簡支梁簡支梁：一端固定鉸

2、鏈，另一端活動(dòng)鉸鏈；：一端固定鉸鏈，另一端活動(dòng)鉸鏈；外伸梁外伸梁：簡支梁一端或兩端伸出支座以外；：簡支梁一端或兩端伸出支座以外；懸臂梁懸臂梁：一端固定，另一端自由。：一端固定，另一端自由。外力外力內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力強(qiáng)度條件和剛度條件強(qiáng)度條件和剛度條件 2021-12-167第二節(jié)第二節(jié) 梁橫截面上的內(nèi)力梁橫截面上的內(nèi)力 剪力和彎矩剪力和彎矩一、截面法求內(nèi)力一、截面法求內(nèi)力剪力剪力Q和彎矩和彎矩M2021-12-168ARQ 1剪力：11xRMA彎矩（內(nèi)力偶矩）：2021-12-169axPxRMA222Q2=P-RA2021-12-1610內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下： 通常根據(jù)梁的變形來規(guī)

3、定其正負(fù)號(hào)：通常根據(jù)梁的變形來規(guī)定其正負(fù)號(hào)：當(dāng)梁向當(dāng)梁向下凹下凹彎曲，即彎曲，即下下側(cè)受側(cè)受拉拉，彎矩，彎矩規(guī)定為規(guī)定為正正值；當(dāng)梁向值；當(dāng)梁向上凸上凸彎曲，即彎曲，即上上側(cè)受側(cè)受拉拉，彎矩規(guī)定為，彎矩規(guī)定為負(fù)負(fù)值。值。2021-12-1611ARQ 1剪力：PRQA2yFQ剪力：左左側(cè)梁上向側(cè)梁上向上上的外力或的外力或右右側(cè)梁上向側(cè)梁上向下下的的外力引起的剪力為外力引起的剪力為正正，反之為負(fù)，剪力，反之為負(fù)，剪力等于該側(cè)外力的代數(shù)和。等于該側(cè)外力的代數(shù)和。 2021-12-161211:xRMA彎矩axPxRMA222 FmMO:彎矩2021-12-1613n彎矩等于該橫截面一側(cè)所有外力對該

4、彎矩等于該橫截面一側(cè)所有外力對該截面形心取力矩的代數(shù)和。梁上向截面形心取力矩的代數(shù)和。梁上向上上的外力均產(chǎn)生的外力均產(chǎn)生正正彎矩；而向彎矩；而向下下的外力的外力均產(chǎn)生均產(chǎn)生負(fù)負(fù)彎矩。彎矩。n截面截面左側(cè)順左側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶或截面時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶或截面右右側(cè)逆?zhèn)饶鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶取時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶取正正值，反之取值，反之取負(fù)值負(fù)值2021-12-1614第三節(jié)第三節(jié) 彎矩方程與彎矩圖彎矩方程與彎矩圖一、剪力方程式和彎矩方程式一、剪力方程式和彎矩方程式)()(xMMxQQ2021-12-1615n作圖時(shí)用梁的軸線為作圖時(shí)用梁的軸線為橫橫坐標(biāo)，坐標(biāo)，表示各截面的表示各截面的位置位置；用；用縱縱坐標(biāo)坐標(biāo)表

5、示相應(yīng)截面上的表示相應(yīng)截面上的彎矩值彎矩值，并，并且規(guī)定且規(guī)定正正彎矩畫在橫坐標(biāo)的彎矩畫在橫坐標(biāo)的上上面，面，負(fù)負(fù)彎矩畫在橫坐標(biāo)的彎矩畫在橫坐標(biāo)的下下面，面，這樣畫出來的圖形就叫這樣畫出來的圖形就叫彎矩圖彎矩圖。二、內(nèi)力圖二、內(nèi)力圖剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖2021-12-1616n例例3-1管道托架如圖管道托架如圖a。如。如AB長為長為l，單位為，單位為m，作用在其上的管道重，作用在其上的管道重P1與與P2，單位為，單位為kN，a、b以以m計(jì)。托架可簡化為懸臂梁，試畫出它計(jì)。托架可簡化為懸臂梁，試畫出它的彎矩圖。的彎矩圖。2021-12-1617n1建立彎矩方程。建立彎矩方程。 n根據(jù)截面

6、左邊梁上的外力，按前述直接從外力根據(jù)截面左邊梁上的外力，按前述直接從外力計(jì)算的方法，寫出彎矩方程如下：計(jì)算的方法，寫出彎矩方程如下：2021-12-1618n2作彎矩圖。作彎矩圖。 2021-12-1619n例例3-2塔器可以塔器可以簡化為具有固定簡化為具有固定端支座的懸臂梁，端支座的懸臂梁，如圖。風(fēng)壓為均如圖。風(fēng)壓為均布載荷布載荷q，單位為，單位為kNm，l的單位的單位用用m表示，畫它表示，畫它的彎矩圖。的彎矩圖。2021-12-1620n1.寫彎矩方程式。寫彎矩方程式。以以B點(diǎn)為原點(diǎn)，這樣可避免點(diǎn)為原點(diǎn)，這樣可避免求支座反力，求支座反力，x軸向右為正，從右邊自由端考軸向右為正，從右邊自由端

7、考慮列任意截面慮列任意截面n-n處的彎矩方程式：處的彎矩方程式：n2.畫彎矩圖畫彎矩圖 n（考慮如果在B點(diǎn)作用集中力）2021-12-1621例例3-3簡支梁受集度為簡支梁受集度為q的均布荷的均布荷載作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩載作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。圖。 2021-12-1622qlRRBA212021-12-1623222)(2)(2qxxqlxqxxRxMqxqlqxRxQAA2max81qlM2021-12-1624n如果是集中力如果是集中力P=ql用在梁的中用在梁的中點(diǎn)，畫出來的彎點(diǎn)，畫出來的彎矩圖如下圖，最矩圖如下圖，最大彎矩在集中力大彎矩在集中力P所在的橫截面所在的橫截

8、面上，等于，比均上，等于，比均布載荷時(shí)大一倍。布載荷時(shí)大一倍。 2021-12-1625例例3-4簡支梁在簡支梁在C處受一集中力偶處受一集中力偶mC的作的作用，畫出剪力圖和彎矩圖。用，畫出剪力圖和彎矩圖。 2021-12-1626lmRRCBA)0()()0()(111111axxlmxRxMaxlmRxQCACA)()()()(222222lxamxlmmxRxMlxalmRxQCCCACA2021-12-1628例例3-5簡支梁在簡支梁在C點(diǎn)處受集中荷載點(diǎn)處受集中荷載P作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。 2021-12-1629lPbRlPaRAB2021-1

9、2-1630)0()()0()(111111axxlPbxRxMaxlPbRxQAA)()()()()()(22222222lxaaxPxlPbaxPxRxMlxaPlaPRxQAAlPbRlPaRAB)0()()0()(111111axxlPbxRxMaxlPbRxQAA)()()()()()(22222222lxaAxPxlPbaxPxRxMlxaPlaPRxQAA2021-12-1632n例例3-6臥式容器可以簡化為受均布載荷的臥式容器可以簡化為受均布載荷的外伸梁。圖外伸梁。圖a表示受均布載荷表示受均布載荷q作用的筒體作用的筒體總長總長L。問支座放在什么位置使設(shè)備的受力。問支座放在什么位

10、置使設(shè)備的受力情況最好。情況最好。 2021-12-1633n1求支座反力。求支座反力。首先求支座反力首先求支座反力RA與與RB，顯，顯然然 2021-12-1634n2寫彎矩方程式。寫彎矩方程式。 外伸段外伸段1-1截面的彎矩方程為：截面的彎矩方程為： 這一段中，當(dāng)這一段中，當(dāng)x=a時(shí)，彎矩最大值為時(shí)，彎矩最大值為 中間段中間段2-2截面的彎矩方程為：截面的彎矩方程為： 2021-12-1635因此，鞍座位置應(yīng)滿足因此，鞍座位置應(yīng)滿足a=0.2L 2021-12-1636n結(jié)論：結(jié)論：n(1)梁受梁受集中力集中力作用時(shí)，彎矩圖必為作用時(shí)，彎矩圖必為直線直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生并且在

11、集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折轉(zhuǎn)折。n(2)梁受梁受力偶力偶作用時(shí)，彎矩圖也是作用時(shí)，彎矩圖也是直線直線，但，但是，在力偶作用處，彎矩發(fā)生是，在力偶作用處，彎矩發(fā)生突變突變，突變，突變的的大小等于力偶矩大小等于力偶矩。n(3)梁受梁受均布載荷均布載荷作用時(shí)，彎矩圖必為作用時(shí)，彎矩圖必為拋物拋物線線，如均布，如均布載荷向下載荷向下，則拋物線，則拋物線開口向下開口向下，如均布如均布載荷向上載荷向上，則拋物線，則拋物線開口向上開口向上。2021-12-1637)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：彎矩斜率：2021-12-1638)()()()()(22xqdxxdQd

12、xxMdxQdxxdM剪力斜率：彎矩斜率：2021-12-1639)()()()()(22xqdxxdQdxxMdxQdxxdM剪力斜率：彎矩斜率：2021-12-1640內(nèi)力圖的一些規(guī)律：內(nèi)力圖的一些規(guī)律： 1、q(x)=0：一段梁上無均布荷載，剪力圖為一：一段梁上無均布荷載，剪力圖為一平行于平行于x軸水平線，彎矩圖為一斜直線；軸水平線，彎矩圖為一斜直線；2、q(x)=常數(shù)：一段梁上有均布荷載，剪力圖為常數(shù)：一段梁上有均布荷載，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一條二次曲線，當(dāng)均布荷一斜直線，彎矩圖為一條二次曲線，當(dāng)均布荷載載q(x)向下時(shí)，拋物線開口向下，彎矩圖凸向向下時(shí)，拋物線開口向下，彎矩圖凸

13、向上，當(dāng)均布荷載向上時(shí)，拋物線開口向上，曲上，當(dāng)均布荷載向上時(shí)，拋物線開口向上，曲線凸向下；線凸向下；3、彎矩的極值：若梁的某一截面上的剪力、彎矩的極值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，則該截面的彎矩為一極值；，則該截面的彎矩為一極值；2021-12-1641內(nèi)力圖的一些規(guī)律：內(nèi)力圖的一些規(guī)律： 4、集中力作用處：此處剪力圖有突變，突、集中力作用處：此處剪力圖有突變，突變方向與集中力方向一致，突變絕對值等變方向與集中力方向一致，突變絕對值等于集中力數(shù)值，彎矩圖上形成尖角；于集中力數(shù)值，彎矩圖上形成尖角；5、集中力偶作用處：此處剪力圖無變化，、集中力偶作用處：此處剪力圖無變化，彎矩圖出現(xiàn)突變

14、，突變的絕對值等于集中彎矩圖出現(xiàn)突變，突變的絕對值等于集中力偶的數(shù)值。力偶的數(shù)值。2021-12-1642例例3-6外伸梁受載荷如圖所示，已知外伸梁受載荷如圖所示，已知q和和a值，畫出此梁的彎矩圖。值，畫出此梁的彎矩圖。2021-12-1643 0212410041004702520m22ADABACAAABAyBByMqaPaaRMqaaRMRMqaRqaPRRFqaRaqaPaaRF2021-12-1644 外伸梁上均布荷載的集度為外伸梁上均布荷載的集度為 q=3kN/m, 集集中力偶矩中力偶矩 m=3kN.m, 畫出剪力圖和彎矩畫出剪力圖和彎矩圖。圖。 2021-12-1645外伸梁上均

15、布荷載的集度為 q=3kN/m, 集中力偶矩 m=3kN.m, 畫出剪力圖和彎矩圖。 kNRkNRBA5 . 35 .140aqRQAmqRaA83. 4mkNqaaRMA04. 621) 2(2max2021-12-1646作作 業(yè)業(yè)P94 第17題 (e) (i) 畫剪力圖和彎矩圖2021-12-1647第四節(jié)第四節(jié) 彎曲時(shí)橫截面上的彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力及其分布規(guī)律正應(yīng)力及其分布規(guī)律一、純彎曲的變形特征一、純彎曲的變形特征2021-12-1648平面截面假設(shè)平面截面假設(shè) 各縱向纖維之間互不擠壓各縱向纖維之間互不擠壓 中性層，中性軸中性層，中性軸2021-12-16492021-12-16

16、50n彎曲變形特征彎曲變形特征n 通過純彎曲時(shí)梁的變形分析得出梁在純彎曲通過純彎曲時(shí)梁的變形分析得出梁在純彎曲時(shí)的變形特征，即梁的橫截面在彎曲之后仍然時(shí)的變形特征，即梁的橫截面在彎曲之后仍然保持為二個(gè)平面，只是繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)很保持為二個(gè)平面，只是繞中性軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)很小的角度，并且仍與彎曲后梁的軸線垂直。小的角度，并且仍與彎曲后梁的軸線垂直。2021-12-1651二、橫截面上的正應(yīng)力二、橫截面上的正應(yīng)力 變形幾何條件變形幾何條件 yL y物理?xiàng)l件：彈性范圍內(nèi)物理?xiàng)l件：彈性范圍內(nèi) Eymaxmaxyymaxmaxyy2021-12-1652AAAdAyydAyyydAyM2maxmaxmax

17、max2021-12-1653AdAyyM2maxmax橫截面對中性軸橫截面對中性軸z的慣性矩，的慣性矩，m4AzdAyJ2令：ZJyMmaxmaxZJyMmaxmaxZZWyJmax令：稱為稱為抗彎截面模量抗彎截面模量，單位為：，單位為：cm3。 梁純彎曲時(shí)橫截面上的最大正應(yīng)力的梁純彎曲時(shí)橫截面上的最大正應(yīng)力的公式為：公式為： ZWMmax2021-12-1654橫力彎曲橫力彎曲橫截面翹曲，橫向力引起擠壓應(yīng)力橫截面翹曲，橫向力引起擠壓應(yīng)力平面假設(shè)和各縱向纖維不互相擠壓不成立平面假設(shè)和各縱向纖維不互相擠壓不成立均布載荷作用下的矩形截面簡支梁，均布載荷作用下的矩形截面簡支梁，L/h5時(shí)，按純彎曲

18、正應(yīng)力計(jì)算，誤差時(shí)，按純彎曲正應(yīng)力計(jì)算，誤差1%。ZWMmax2021-12-16552021-12-1656第五節(jié)第五節(jié) 梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 利用強(qiáng)度條件，可對梁進(jìn)行利用強(qiáng)度條件，可對梁進(jìn)行強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核、選擇截面尺寸選擇截面尺寸及確定及確定許可荷載許可荷載。 ZWMmaxmax2021-12-1657例例3-7 容器四個(gè)耳座支架在四根各長容器四個(gè)耳座支架在四根各長2.4m的工字鋼梁的中點(diǎn)上，工字鋼再由四根混的工字鋼梁的中點(diǎn)上，工字鋼再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工，工字鋼為字鋼為16號(hào)型鋼，鋼材彎曲許用應(yīng)力號(hào)型鋼，鋼材彎曲許用

19、應(yīng)力 =120MPa，試校核工字鋼的強(qiáng)度。，試校核工字鋼的強(qiáng)度。kNP5 .274110最大彎矩在梁的中間，為：最大彎矩在梁的中間，為：mkNLPM.6 .164 . 25 .274141max由型鋼表查得由型鋼表查得16號(hào)工字鋼的號(hào)工字鋼的Wz=141cm3 MPaMPaWMZ12086.11710141105 .1663maxmax2021-12-1659n例例3-83-8下圖下圖a a所示的分餾塔高所示的分餾塔高H=20mH=20m，作用在塔，作用在塔上的風(fēng)載荷分兩段計(jì)算：上的風(fēng)載荷分兩段計(jì)算：q1=420N/mq1=420N/m，q2=600N/mq2=600N/m；塔的內(nèi)徑；塔的內(nèi)徑

20、1m1m，壁厚，壁厚6mm6mm，塔與基礎(chǔ)，塔與基礎(chǔ)的連接方式可看成固定端。塔體的的連接方式可看成固定端。塔體的 =100MPa=100MPa。校核風(fēng)載荷引起塔體內(nèi)的最大彎曲應(yīng)力。校核風(fēng)載荷引起塔體內(nèi)的最大彎曲應(yīng)力。2021-12-1660n解析：將塔看成懸臂梁受均布載荷解析：將塔看成懸臂梁受均布載荷q1和和q2作用，作用，畫出彎矩圖如圖畫出彎矩圖如圖b，得，得 n塔作為圓環(huán)截面，內(nèi)徑塔作為圓環(huán)截面，內(nèi)徑d=1m，塔體壁厚，塔體壁厚d=6mm，外徑外徑D=1.012m。對于薄壁圓柱形容器和管道，。對于薄壁圓柱形容器和管道，其橫截面的抗彎截面系數(shù)可簡化為：其橫截面的抗彎截面系數(shù)可簡化為：2021

21、-12-1661D-d=2；D+d2d；此塔體的抗彎截面系數(shù)為此塔體的抗彎截面系數(shù)為 塔體因風(fēng)載引起的最大彎曲應(yīng)力為塔體因風(fēng)載引起的最大彎曲應(yīng)力為 2021-12-1662n例例3-9懸臂梁架由兩根工字鋼組成，設(shè)備總懸臂梁架由兩根工字鋼組成，設(shè)備總重重P(包括物料重包括物料重)為為10kN，設(shè)備中心到固定端，設(shè)備中心到固定端處長處長L=1.5m，如下圖所示。鋼材的彎曲許用，如下圖所示。鋼材的彎曲許用應(yīng)力應(yīng)力=140MPa。試按強(qiáng)度要求選擇工字鋼。試按強(qiáng)度要求選擇工字鋼尺寸。尺寸。2021-12-1663n解析：按強(qiáng)度條件解析：按強(qiáng)度條件n選擇工字鋼尺寸。選擇工字鋼尺寸。n對每一根梁，最大彎矩對

22、每一根梁，最大彎矩 為為 ，因此，因此n nn選選12.6號(hào)工字鋼，它的抗彎號(hào)工字鋼，它的抗彎n截面系數(shù)為截面系數(shù)為77.53cm3，n符合強(qiáng)度條件。符合強(qiáng)度條件。 ZWMmax2021-12-1664n例例3-10.有一型號(hào)為有一型號(hào)為40a的工字鋼簡支梁，跨度的工字鋼簡支梁，跨度l=8m，彎曲許用應(yīng)力，彎曲許用應(yīng)力=140MPa，求梁上能，求梁上能承受的均布載荷承受的均布載荷q之值，見下圖所示。之值，見下圖所示。2021-12-1665n解析：最大彎矩發(fā)生在梁的中點(diǎn)，解析：最大彎矩發(fā)生在梁的中點(diǎn)，n，由強(qiáng)度條件有，由強(qiáng)度條件有n查型鋼表知道查型鋼表知道40a工字鋼的工字鋼的Wz=1090c

23、m3，代入強(qiáng)，代入強(qiáng)度條件得：度條件得：n n 8qLM2max ZmaxWM6-62101090101408qLm/19075Nq 2021-12-1666n型號(hào)型號(hào)40a工字鋼的截面積為工字鋼的截面積為86.1cm2。如果換。如果換成成矩形矩形截面的鋼梁，其截面高截面的鋼梁，其截面高h(yuǎn)與寬與寬b的比的比h/b=2，載荷仍要求能承受，載荷仍要求能承受19075N/m，需要，需要的矩形面積應(yīng)為多大呢？的矩形面積應(yīng)為多大呢？n2021-12-1667n對矩形截面梁，它的抗彎截面系數(shù)為對矩形截面梁，它的抗彎截面系數(shù)為bh2/6 ，最大彎矩仍為最大彎矩仍為qL2/8，彎曲許用應(yīng)力，彎曲許用應(yīng)力=14

24、0MPa。要能承受。要能承受19075N/m的均布載的均布載荷，矩形截面的荷，矩形截面的Wz也應(yīng)為也應(yīng)為1090cm3。因此，。因此， bh2/6 =1090cm3，n即即2b3/3= 1090cm3 ，可得，可得b=11.8cmnh=23.6cm A=bh=278.5cm22021-12-1668n對比一下，可見承受同樣載荷的矩形截面粱的對比一下，可見承受同樣載荷的矩形截面粱的截面面積是截面面積是40a工字鋼梁的截面面積的工字鋼梁的截面面積的3.24倍。倍。如用矩形截面梁就浪費(fèi)大量鋼材。由此可見，如用矩形截面梁就浪費(fèi)大量鋼材。由此可見，在承受相同載荷的情況下，合理地選擇梁的截在承受相同載荷的

25、情況下，合理地選擇梁的截面形狀，可以大大節(jié)省材料。面形狀，可以大大節(jié)省材料。2021-12-1669n作業(yè)作業(yè)nP94：192021-12-1670第六節(jié)第六節(jié) 提高梁彎曲強(qiáng)度的措施提高梁彎曲強(qiáng)度的措施 一、支撐和荷載的合理布置一、支撐和荷載的合理布置二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀 ZWMmaxmax2021-12-1671支撐的合理布置支撐的合理布置 2021-12-1672載荷的合理布置載荷的合理布置 2021-12-1673二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀 ZWMmaxmaxhAbhWz61621bAhbWz616222021-12-1674材料遠(yuǎn)離中性軸材料遠(yuǎn)離中性軸AWZ矩形矩形0.167h；圓形；圓形0.125h；環(huán)形；環(huán)形 0.205h 工字鋼和槽鋼工字鋼和槽鋼(0.270.31)h 2021-12-1675等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁2021-12-1676第七節(jié)第七節(jié) 梁的彎曲變形梁的彎曲變形一、梁的撓度和轉(zhuǎn)角一、梁的撓度和轉(zhuǎn)角變形后梁的軸線稱為彈性曲線或撓曲線變形后梁的軸線稱為彈性曲線或撓曲線撓度撓度 f轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 2021-12-1677)(xfdxdfZEJxMdxfd)(22梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度EJz二梁的變形的求解二梁的變形的求解直接積分法和疊加法直接