函數(shù)的單調(diào)與曲線的凹凸實(shí)用教案

1、函數(shù)函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性的單調(diào)性曲線曲線(qxin)的上升的上升和下降和下降函數(shù)的凹凸性函數(shù)的凹凸性曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向用用一階一階導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)研究用用二階二階導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)研究第1頁/共23頁第一頁，共24頁。yoxyf (x)若函數(shù)若函數(shù) yf (x) 在在a, b上單調(diào)上單調(diào)(dndio)增增加，加，則它的圖形是一條則它的圖形是一條(y tio)沿沿x軸正向上升軸正向上升的曲線。的曲線。ab則曲線上各點(diǎn)處切線的斜率則曲線上各點(diǎn)處切線的斜率是非負(fù)是非負(fù)的，的，即即若函數(shù)若函數(shù) yf (x) 在在a, b上上單調(diào)減少單調(diào)減少，則它的圖形是一條沿則它的圖形是一條沿x軸正向軸正向下降下

2、降的曲線的曲線。ab則曲線上各點(diǎn)處切線的斜率則曲線上各點(diǎn)處切線的斜率是非正是非正的，的，即即第2頁/共23頁第二頁，共24頁。反之，若函數(shù)在某區(qū)間反之，若函數(shù)在某區(qū)間(q jin)可導(dǎo)，能否用導(dǎo)數(shù)的符號來可導(dǎo)，能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？判定函數(shù)的單調(diào)性呢？答案答案(d n)是肯定的。是肯定的。討論討論(toln)：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，在在a, b上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn)x1，x2 （不妨設(shè)（不妨設(shè)x1x2)由由Lagrange中值定理中值定理得到：得到：( )0fx若在若在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)始終內(nèi)導(dǎo)數(shù)始終( ) 0f210

3、xx又 若在(a, b)內(nèi)( )0fx則12 , ,xxa b有12( )()f xf xf (a)=0.例例 6 證明 當(dāng) x1 時(shí) xx132 例6 證明(zhngmng) 第9頁/共23頁第九頁，共24頁。 因?yàn)楫?dāng)x1時(shí) f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調(diào)(dndio)增加因此(ync)當(dāng)x1時(shí) f(x)f(1)=0 即第10頁/共23頁第十頁，共24頁。 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)曲線除了有升有降之外曲線除了有升有降之外, , 還有不同的彎曲還有不同的彎曲方向方向, , 如何根據(jù)函數(shù)如何根據(jù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)本身判斷函數(shù)本身判斷函數(shù)(hnsh)(hnsh)

4、曲線的曲線的彎曲方向呢？彎曲方向呢？第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。v曲線(qxin)的凹凸性定義 設(shè)f(x)在區(qū)間(q jin)I上連續(xù) 如果對I上任意兩點(diǎn)x1 x2 恒有 那么(n me)稱f(x)在I上的圖形是凹的 那么稱f(x)在I上的圖形是凸的 如果恒有 觀察與思考 觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。v定理(dngl)2(曲線凹凸性的判定法) 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(do sh). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的

5、若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 例7 判斷(pndun)曲線yln x 的凹凸性 因?yàn)樵诤瘮?shù) yln x 的定義域(0 )內(nèi) y0 所以曲線yln x是凸的 解 xy1 21xy 第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。 例8 判斷(pndun)曲線yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因?yàn)楫?dāng)x0時(shí) y0時(shí) y0 所以曲線在0 )內(nèi)是凹的 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(do sh). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 在區(qū)間( )內(nèi)曲線(qxin)是凹的 因此曲線(qxin)無拐點(diǎn) 例 6 求曲線3xy的拐點(diǎn) 例12 解 二階導(dǎo)數(shù)無零點(diǎn); 當(dāng)x0時(shí), 二階導(dǎo)數(shù)不存在(cnzi) 因