段祖睿 201301120118 給水1301

1、給水工程第二次小班課給水工程第二次小班課PPTPPT 證明證明根據(jù)拉格朗日條件極值法求根據(jù)拉格朗日條件極值法求出的極小值點(diǎn)就是全局極小出的極小值點(diǎn)就是全局極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）給水給水13011301段祖睿段祖睿2013011201182013011201181 1、數(shù)學(xué)中拉格朗日條件極值法、數(shù)學(xué)中拉格朗日條件極值法基本內(nèi)容介紹及極值點(diǎn)與最值基本內(nèi)容介紹及極值點(diǎn)與最值點(diǎn)的關(guān)系點(diǎn)的關(guān)系2 2、證明給水管網(wǎng)計(jì)算中拉格朗、證明給水管網(wǎng)計(jì)算中拉格朗日條件極值法求出的是全局極日條件極值法求出的是全局極小值點(diǎn)小值點(diǎn)3 3、對拉格朗日條件極值法在給、對拉格朗日條件極值法在給水管網(wǎng)中應(yīng)用適用性的

2、總結(jié)水管網(wǎng)中應(yīng)用適用性的總結(jié)拉格朗日條件極值法的基本內(nèi)容拉格朗日條件極值法的基本內(nèi)容實(shí)際中常遇到的問題：實(shí)際中常遇到的問題：求表面積為求表面積為 S S( (固固定定) ) 、體積最大的長方體的體積體積最大的長方體的體積( , , )V x yzxyz 222xyyzzx S 限制條件限制條件求極值求極值設(shè)設(shè)假設(shè)在假設(shè)在求求函數(shù)函數(shù)下的極值下的極值. .在條件在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF解方程組解方程組021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F即可即可得到條件極值的可疑點(diǎn)得到條件極值的可疑點(diǎn) 極值點(diǎn)與

3、最值點(diǎn)的關(guān)系極值點(diǎn)與最值點(diǎn)的關(guān)系設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在閉區(qū)間閉區(qū)間aa，bb上連續(xù)，則函數(shù)的上連續(xù)，則函數(shù)的最大最大值和最小值一定值和最小值一定存在存在)(xf函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得取得如果最值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得，則必在開區(qū)如果最值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得，則必在開區(qū)( (a a，b b) )的的極值點(diǎn)極值點(diǎn)處或不可導(dǎo)點(diǎn)處取得處或不可導(dǎo)點(diǎn)處取得因此：找最值只需比較因此：找最值只需比較端點(diǎn)端點(diǎn)的函數(shù)值和的函數(shù)值和極值點(diǎn)極值點(diǎn)處的處的函數(shù)函數(shù)值以及值以及不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值即處的函數(shù)值即可?？伞xyoxyoxybaabab證明給水管網(wǎng)計(jì)算中拉

4、格朗日條件極值法求出的是全局極小值點(diǎn)證明給水管網(wǎng)計(jì)算中拉格朗日條件極值法求出的是全局極小值點(diǎn)圖5-6 起點(diǎn)水壓未知的管網(wǎng)4321QQQQQ4321P應(yīng)用應(yīng)用 拉格朗日條件極值法，拉格朗日條件極值法，可以得到以下方程：可以得到以下方程：12231324233412244()()()()nmmmmmijijijpIIIPpaKpbk qhlPQHhhhhhhZHhhZH2mmmmmijijiji jpabk qhllPQH0132312hhh0342324hhh122440PpaZHhhZH運(yùn)用所學(xué)給水管網(wǎng)知識(shí)可以得到這些方程：運(yùn)用所學(xué)給水管網(wǎng)知識(shí)可以得到這些方程：（p） 求函數(shù)求函數(shù)K K對揚(yáng)程

5、對揚(yáng)程H Hp p和管段水頭損失和管段水頭損失h hijij的偏的偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), , 并令其等于并令其等于零零得：得： 0pKPQH12121212()0nmmmmmmIKp bk qlhhm 13131313()0nmmmmmmIKp bk qlhhm 23232323()0nmmmmmmIIIKp bk qlhhm 24242424()0nmmmmmmIIKp bk qlhhm 34343434()0nmmmmmmIIKp bk qlhhm 而函數(shù)而函數(shù)K K對揚(yáng)程對揚(yáng)程H Hp p和管段水頭損失和管段水頭損失h hijij的二階偏導(dǎo)數(shù)為：的二階偏導(dǎo)數(shù)為：213132213()mmmmmpb

6、kKqhlhm anaa+2ma+ma(a)212122212()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)223232223()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)224242224()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)234342234()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)220KHp從上述這些二階偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可以看從上述這些二階偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式可以看出除了函數(shù)出除了函數(shù)K K對楊程對楊程HpHp的二階偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù)為0 0以外，其他的二階偏導(dǎo)數(shù)全為正數(shù)以外，其他的二階偏導(dǎo)數(shù)全為正數(shù)而函數(shù)而函數(shù)K K對

7、楊程對楊程HpHp的偏導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為一常數(shù)，將其一階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)為，將其一階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)為0 0后，后，K K隨隨HpHp的的變化而無變化，因此我們無需討論變化而無變化，因此我們無需討論HpHp再看函數(shù)再看函數(shù)K K對其他各管段水頭損失的一對其他各管段水頭損失的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，下面我們以階和二階偏導(dǎo)數(shù)，下面我們以1212管段管段為例為例212122212()mmmmmpbkKqhlhm anaa+2ma+ma(a)12121212()0nmmmmmmIKp bk qlhhm 一階：二階：前面已經(jīng)提到其二階偏導(dǎo)數(shù)為正數(shù)，即說明前面已經(jīng)提到其二階偏導(dǎo)數(shù)為正數(shù)，即說明其一階偏導(dǎo)數(shù)為增函數(shù)，而其一階

8、偏導(dǎo)數(shù)為增函數(shù)，而h h1212最小值為最小值為0 0，此，此時(shí)其一階偏導(dǎo)數(shù)為最小值即時(shí)其一階偏導(dǎo)數(shù)為最小值即 ，若此值，若此值小于小于0 0，則說明其一階偏導(dǎo)數(shù)先小于，則說明其一階偏導(dǎo)數(shù)先小于0 0后大于后大于0 0，在其他未知數(shù)一定時(shí)，函數(shù)，在其他未知數(shù)一定時(shí)，函數(shù)K K隨著隨著h h1212的增大的增大先減小后增大，即當(dāng)且僅當(dāng)其一階偏導(dǎo)數(shù)的先減小后增大，即當(dāng)且僅當(dāng)其一階偏導(dǎo)數(shù)的值為值為0 0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)K K取極小值，顯然是最小值。取極小值，顯然是最小值。而當(dāng)而當(dāng) 的值大于或等于的值大于或等于0 0時(shí)，說明其一階時(shí)，說明其一階偏導(dǎo)數(shù)一直大于偏導(dǎo)數(shù)一直大于0 0，函數(shù)，函數(shù)K K的值一

9、直隨著的值一直隨著h h1212增增大而增大，此時(shí)函數(shù)大而增大，此時(shí)函數(shù)K K無極小值，而當(dāng)無極小值，而當(dāng)h h1212=0=0時(shí)時(shí)，函數(shù)，函數(shù)K K取最小值，這種情況不符合實(shí)際應(yīng)當(dāng)取最小值，這種情況不符合實(shí)際應(yīng)當(dāng)舍棄。舍棄。IIIIIIII同理可得函數(shù)同理可得函數(shù)K K對其他管段水對其他管段水頭損失求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于頭損失求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0 0求出的極小值也是最小值。求出的極小值也是最小值。由此我們可以得出，給水管由此我們可以得出，給水管網(wǎng)計(jì)算中拉格朗日條件極值網(wǎng)計(jì)算中拉格朗日條件極值法求出的極小值點(diǎn)就是全局法求出的極小值點(diǎn)就是全局極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)），問極小值點(diǎn)（最小值點(diǎn)），問題得以證明

10、。題得以證明。而當(dāng)所有管段水頭損失均取其全局極小值點(diǎn)即最而當(dāng)所有管段水頭損失均取其全局極小值點(diǎn)即最小值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)小值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)K K取得最小值，即函數(shù)取得最小值，即函數(shù)W W在諸多能在諸多能量連續(xù)方程限制下得以取到最小值。量連續(xù)方程限制下得以取到最小值。對拉格朗日條件極值法在給水對拉格朗日條件極值法在給水管網(wǎng)計(jì)算中應(yīng)用適用性的總結(jié)管網(wǎng)計(jì)算中應(yīng)用適用性的總結(jié) 在進(jìn)行給水在進(jìn)行給水 管網(wǎng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)計(jì)算時(shí)管網(wǎng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)計(jì)算時(shí)，經(jīng)濟(jì)管徑的確，經(jīng)濟(jì)管徑的確 定受許多因素限制，其定受許多因素限制，其中能量連續(xù)方程對中能量連續(xù)方程對 其計(jì)算的限制尤為其計(jì)算的限制尤為明顯，如果不考慮明顯，如果不考慮 能量連續(xù)方程

11、的限制，能量連續(xù)方程的限制，求出的經(jīng)濟(jì)管徑將求出的經(jīng)濟(jì)管徑將 會(huì)與實(shí)際不符，不滿足會(huì)與實(shí)際不符，不滿足工程實(shí)際的需求。工程實(shí)際的需求。 而要考慮能量而要考慮能量 連續(xù)方程的限制，并求連續(xù)方程的限制，并求出其全局極小值點(diǎn)出其全局極小值點(diǎn) 即最小值點(diǎn)，使用拉格即最小值點(diǎn)，使用拉格朗日條件極值法朗日條件極值法 是不錯(cuò)的選擇，與其是不錯(cuò)的選擇，與其他條件聯(lián)立并共同求解，可以準(zhǔn)確地求出經(jīng)濟(jì)他條件聯(lián)立并共同求解，可以準(zhǔn)確地求出經(jīng)濟(jì)管徑，且理論依據(jù)足夠。管徑，且理論依據(jù)足夠。綜上所述，在給水管網(wǎng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)計(jì)綜上所述，在給水管網(wǎng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)計(jì)算中使用拉格朗日條件極值法求出算中使用拉格朗日條件極值法求出的極小值點(diǎn)就是全局極小值點(diǎn)（最的