相似三角形講義及精品練習(xí)

1、 相似三角形1、 比例線段1、定義：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另外兩條線段長度的比 ，即 ，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。2、比例線段的基本性質(zhì)： 其中b為比例中項 合比性質(zhì)： 等比性質(zhì)：3、黃金分割：一條線段AB,點(diǎn)P是線段AB上的一個點(diǎn)，如果滿足：，那么稱線段AB被P點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP與AB的比值約為0.618，這個比值稱為黃金比。例1、判斷下列線段是否是成比例線段： （1）a = 2 cm, b = 12 cm, c = 8 cm, d = 3 cm; （1）a = 7, b = 3, c = 21, d = 9.例2

2、、若a : 3 = b : 7,則（a + 3b）: 2b = .例3、已知三條線段a = 1cm, b = 2cm, c = 3cm,若線段d與a、b、c成比例，請求出線段d的長度。例4、已知，且，求的值。例5、等腰三角形中，AB=AC，的角平分線BD交AC于D，且D是線段AC的黃金分割點(diǎn)，若AB=8cm，求AD的長。2、 相似圖形的性質(zhì)1、定義：我們把具有 的圖形稱為相似圖形。2、相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。3、判定兩個多邊形是否相似：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。3、 相似三角形1、定義：對應(yīng) 相等，且對應(yīng) 成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符號"&q

3、uot;表示，讀作"相似于"。3、相似三角形的相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5、判定三角形相似的思路： 、有平行截線-用判定定理中的基本定理 、有一對等角，找a、另一對等角，b、夾邊成比例 、有兩邊對應(yīng)成比例，找a、夾角相等，b、第三邊也對應(yīng)成比例，c、有一對直角。 、直角三角形，找a、一對銳角相等，b、斜邊、直角邊對應(yīng)成比例 、等腰三角形，找a、頂角相等，b、一對底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理： （1）SAS：兩邊對應(yīng)成比例且兩對應(yīng)邊的夾角相等。

4、 （2）SSS：三條邊對應(yīng)成比例。 （3）ASA：兩角對應(yīng)相等。7、對于直角三角形相似的判定法則：一條直角邊與對應(yīng)斜邊成比例。8、 對于全等三角形的判定法則：對應(yīng)邊相等。9、直角三角形相似定理： （1）直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。 （2）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一 條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。10、相似三角形性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積

5、比等于相似比的平方。(6)相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.定理推論：推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個 三角形相似。推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成

6、比例，那么這兩個三 角形相似。11、中位線： （1）定義：我們把連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。 （2）定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半。 （3）重心定理：三角形三條邊上的中線交與一點(diǎn)，這個角就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線長是對應(yīng)中線的。 （4）梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底和的一半。例1、已知：如圖，E是BA的延長線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，連接EF交AC于D。求證：. 例2、如圖所示，在ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4CM的速度向B點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3CM

7、的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為。（1） 當(dāng)為何值時，PQ/BC?（2） 當(dāng),求的值；（3） APQ能否與CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由。 例3、如圖，某同學(xué)想測旗桿高度AB，他在某一時刻得1米的竹竿直立時影長為1.5米，在同一時刻，測得旗桿影長時，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上的影長AC為21米，留在墻上的影高CD為2米，求旗桿AB的高？ 例4、如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，求證：AB:AC=BD:DC。 例5、如圖所示，在ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分BAC，BDAE的延長線于D，且交AM延長線于F，求證：EF/AB。 練習(xí)：1

8、、若求的值。2、 已知，求的值。3、已知a、b、c為ABC的三邊，且，求ABC的面積。4、 已知，求a的值。5、已知，求m的值，并判斷直線經(jīng)過哪些象限？6、 若a、b、c是非零實數(shù)，并滿足，且，求x的值。7、 設(shè)P、Q是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，且PQ = a，求AB的長。8、如圖，線段AB=2，點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，且,求的值。 9、如圖，ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，E在AD上，且，求的值。 10、 如圖，在ABC中，G是BF的中點(diǎn)，AG的延長線交BC于E，求。 11、如圖，DE/BC，,求AD:BD。 12、在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們到操場上測量旗桿的高度，然后回來交

9、流各自的測量方法小芳的測量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C處（如圖），然后沿BC方向走到D處，這時目測旗桿頂部A與竹竿頂部E恰好在同一直線上，又測得C、D兩點(diǎn)的距離為3米，小芳的目高為1.5米，這樣便可知道旗桿的高你認(rèn)為這種測量方法是否可行？請說明理由相似三角形鞏固練習(xí)題一、填空題1在ABC中，B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BDDC，則BCA的度數(shù)為_2已知：如圖，在ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是BAC的外角平分線，DEAB交AC的延長線于點(diǎn)E，那么CE=_m （2題） （3題） （4題）3如圖，已知RtABC中，AC=3，BC=4，過

10、直角頂點(diǎn)C作CA1AB，垂足為A1，再過A1作A1C1BC，垂足為C1，過C1作C1A2AB，垂足為A2，再過A2作A2C2BC，垂足為C2，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，C1A2，則CA1=_，=_4如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AC，BD交于點(diǎn)O，SAOD：SCOB=1：9，則SDOC：SBOC=_5如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，如果，那么=_ (6題) （7題） （5題） 6如圖，在ABD中，ADB=90°，C是BD上一點(diǎn)，若E、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，DEF的面積為3.5，則ABC的面積為_7在矩形ABCD中，E、F

11、分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH=DC若AB=10，BC=12，則圖中陰影部分的面積為_8如圖，在ABCD中，E為CD中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)O，SDOE=12cm2，則SAOB等于_cm29如圖，在ABC中，EFBC，AE=2BE，則AEF與梯形BCFE的面積比_10如圖，在ABC中，C=90°，AC=8，CB=6，在斜邊AB上取一點(diǎn)M，使MB=CB，過M作MNAB交AC于N，則MN=11如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，若AD=1，BD=4，則CD=_12如圖，在ABC中，M、N是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)O，那么MON與A

12、OC面積的比是_13如圖，AD=DF=FB，DEFGBC，則S：S：S=_14如圖，已知點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AFBC，CG：GA=3：1，BC=8，則AF=_二、解答題15已知：如圖，在直角梯形COAB中，OCAB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒（1）求直線BC的解析式；（2）若動點(diǎn)P在線段OA上移動，當(dāng)t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動過程中，設(shè)OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量