第5節(jié)排列組合解題技巧

1、排列組合的的解題技巧一、準(zhǔn)備工作：排列組合知識要點(diǎn)分析（一）基本原理1.分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它可以有 類辦法，在第一類辦法中有 種不同的方法，在第二類辦法中有 種不同的方法，在第 類辦法中有 種不同的辦法，那么完成這件事共有： 種不同的方法。2.分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成 個(gè)步驟，做第一步有 種不同的方法，做第二步有 種不同的方法，做第 步有 種不同的辦法，那么完成這件事共有：  種不同的方法。3.兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)即“聯(lián)斥性”：（1）對于加法原理有以下三點(diǎn)：“斥”互斥獨(dú)立事件；模式：“做事”“分類”“加法”關(guān)鍵：抓住分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰

2、當(dāng)?shù)胤诸?，要使分類既不遺漏也不重復(fù)。（2）對于乘法原理有以下三點(diǎn)：“聯(lián)”相依事件；模式：“做事”“分步”“乘法”關(guān)鍵：抓住特點(diǎn)進(jìn)行分步，要正確設(shè)計(jì)分步的程序使每步之間既互相聯(lián)系又彼此獨(dú)立。（二）排列1排列定義：一般地說從 個(gè)不同元素中，任取  個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 個(gè)不同元素中，任取 個(gè)元素的一個(gè)排列。特別地當(dāng) 時(shí)，叫做 個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。2排列數(shù)定義：從 個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù)，用符號 表示。3 排列數(shù)公式（三）組合1組合定義：一般地說從 個(gè)不同元素中，任取  個(gè)元素

3、并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè)組合。2組合數(shù)定義：從 個(gè)不同元素中取出  個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的組合數(shù)，用符號 表示。3 組合數(shù)公式4組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) （四）排列與組合的應(yīng)用1.排列的應(yīng)用問題（1）無限制條件的簡單排列應(yīng)用問題，可直接用公式求解。（2）有限制條件的排列問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。2組合的應(yīng)用問題（1）無限制條件的簡單組合應(yīng)用問題，可直接用公式求解。（2）有限制條件的組合問題，可根據(jù)具體的限制條件，用“直接法”或“間接法”求解。3排列、組合的綜合問題排列組合的綜合問題，主要是排

4、列組合的混合題，解題的思路是先解決組合問題，然后再討論排列問題。在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）限制條件的排列問題常見命題形式：“在”與“不在”“相鄰”與“不相鄰”在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：“相鄰”問題在解題時(shí)常用“捆綁法”，可以把兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法。“不相鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空法”?！霸凇迸c“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置。元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果。（2）限制條件的組合問題常見命題形式：“含”與“不含”“至少”與

5、“至多”在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”。（3）在處理排列組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重復(fù)，不遺漏按事件的發(fā)生過程分類、分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列問題的最基本，也是最重要的思想方法。4、解題步驟：（1）認(rèn)真審題：看這個(gè)問題是否與順序有關(guān)，先歸結(jié)為排列問題或組合問題或二者的綜合題，還應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：在這個(gè)問題中 個(gè)不同的元素指的是什么？ 個(gè)元素指的又是什么？從 個(gè)不同的元素中每次取出 個(gè)元素的排列（或組合）對應(yīng)的是什么事件；（2）列式并計(jì)算；（3）作答。二、學(xué)習(xí)過程題型一：排列應(yīng)用題9名同學(xué)站成一排：（分別用A，B，C等作代號）（1） 如

6、果A必站在中間，有多少種排法？（答案： ）（2） 如果A不能站在中間，有多少種排法？（答案： ）（3） 如果A必須站在排頭，B必須站在排尾，有多少種排法？（答案： ）（4） 如果A不能在排頭，B不能在排尾，有多少種排法？（答案： ）（5） 如果A，B必須排在兩端，有多少種排法？（答案： ）（6） 如果A，B不能排在兩端，有多少種排法？（答案： ）（7） 如果A，B必須在一起，有多少種排法？（答案： ）（8） 如果A，B必須不在一起，有多少種排法？（答案： ）（9） 如果A，B，C順序固定，有多少種排法？（答案： ）

7、題型二：組合應(yīng)用題若從這9名同學(xué)中選出3名出席一會議（10） 若A，B兩名必在其內(nèi)，有多少種選法？（答案： ）（11） 若A，B兩名都不在內(nèi)，有多少種選法？（答案： ）（12） 若A，B兩名有且只有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： ）（13） 若A，B兩名中至少有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或 ）（14） 若A，B兩名中至多有一名在內(nèi)，有多少種選法？（答案： 或 ）題型三：排列與組合綜合應(yīng)用題若9名同學(xué)中男生5名，女生4名（15） 若選3名男生，2名女生排成一排，有多少種排法？（答案： ）（16） 若選3名男生2名女生

8、排成一排且有一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案： ）（17） 若選3名男生2名女生排成一排且某一男生必須在排頭，有多少種排法？（答案： ）（18） 若男女生相間，有多少種排法？（答案： ）題型四：分組問題      6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？（19） 一堆一本，一堆兩本，一堆三本  （答案： ）（20） 甲得一本，乙得兩本，丙得三本  （答案： ）（21） 一人得一本，一人得兩本，一人得三本   （答案： ）（22） 平均

9、分給甲、乙、丙三人    （答案： ）（23） 平均分成三堆    （答案： ）（24） 分成四堆，一堆三本，其余各一本  （答案： ）（25）分給三人每人至少一本。 （答案： + + ）題型五：全能與專項(xiàng)    車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，有多少種選派方法？題型六：染色問題（26）梯形的兩條對角線把梯形分成四部分，用五種不同顏色給這四部分涂不同顏色，且相鄰的

10、區(qū)域不同色，問有（      ）種不同的涂色方法？（答案：260）（27）某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分（如圖）。現(xiàn)在栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有     種。分析：先排1、2、3排法 種排法；再排4，若4與2同色，5有 種排法，6有1種排法；若4與2不同色，4只有1種排法；若5與2同色，6有 種排法；若5與3同色，6有1種排法所以共有 （ + +1）=120種題型七：編號問題（28）四個(gè)不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒子中

11、，則恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種？     （答案：144）（29）將數(shù)字1，2，3，4填在標(biāo)號為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填上一個(gè)數(shù)字且每個(gè)方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有多少種？（答案：9）題型八：幾何問題（30）：（）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，有多少種不同的取法？（）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多少種不同的取法？解：（1）（直接法）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面共有 種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)

12、點(diǎn)，它們與所對的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，與頂點(diǎn)A共面三點(diǎn)的取法有 +3=33（種）（2）（間接法）如圖，從10個(gè)頂點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)的取法有 種，除去4點(diǎn)共面的取法種數(shù)可以得到結(jié)果。從四面體同一個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)取出4點(diǎn)必定共面。有 =60種，四面體的每一條棱上3點(diǎn)與相對棱中點(diǎn)共面，共有6種共面情況，從6條棱的中點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)時(shí)有3種共面情形（對棱中點(diǎn)連線兩兩相交且互相平分）故4點(diǎn)不共面的取法為      -（60+6+3）=141題型九：關(guān)于數(shù)的整除個(gè)數(shù)的性質(zhì)： 被2整除的：個(gè)位數(shù)為偶數(shù)； 被3整除的：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和被3整除；

13、 被6整除的：3的倍數(shù)且為偶數(shù)； 被4整除的：末兩位數(shù)能被4整除； 被8整除的：末三位數(shù)能被8整除； 25的倍數(shù)：末兩位數(shù)為25的倍數(shù)； 5的倍數(shù)：個(gè)位數(shù)是0，5； 9的倍數(shù)：各個(gè)位數(shù)上的數(shù)字之和為9的倍數(shù)。 （31）：用0,1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中5的倍數(shù)有多少個(gè)？（答案：216）題型十：隔板法：（適用于“同元”問題）（32）：把12本相同的筆記本全部分給7位同學(xué)，每人至少一本，有多少種分法？分析：把12本筆記本排成一行，在它們之間有11個(gè)空當(dāng)（不含兩端）插上6塊板將本子分成7份，對應(yīng)著7名同學(xué)，不同的插法就是不同的分法，故有 種。三、在線測試題1以一個(gè)正方形的頂點(diǎn)為頂

14、點(diǎn)的四面體共有（  D    ）個(gè)（A）70（B）64（C）60（D）5823名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所所為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（  D  ）（A）90種   （B）180種  （C）270種  （D）540種3將組成籃球隊(duì)的12個(gè)名額分配給7所學(xué)校，每校至少1個(gè)名額，則不同的名額分配方法共有（  A  ）（A）    （B）    （C）   &#

15、160; （D） 45本不同的書，全部分給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)為（  B ）（A）480   （B）240  （C）120    （D）965編號為1，2，3，4，5的五個(gè)人分別去坐在編號為1，2，3，4，5的座位上，至多有兩個(gè)號碼一致的坐法種數(shù)為（   C  ）（A）90   （B）105   （C）109    （D）1006如右圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色

16、，現(xiàn)在4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有（ B  ）種（用數(shù)字作答）（A）48   （B）72    （C）120   （D）367若把英語“error”中字母的拼寫順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤的種數(shù)是（  A  ）。（A）19  （B）20   （C）119  （D）608某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分，一球隊(duì)打完15場，積分33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況有（  D  ）（A

17、）6 種    （B）5種   （C）4種    （D）3種四、課后練習(xí)110個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于盒子的編數(shù)，問有           種不同的放法？2坐在一排9個(gè)椅子上，相鄰兩人之間至少有2個(gè)空椅子，則不同的坐法的種數(shù)是           3如圖A，B，C，D為

18、海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來，不同的建橋方案共有           種。4面直角坐標(biāo)系中，X軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn)，Y軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將X軸上這5個(gè)點(diǎn)或Y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有         個(gè)。5某郵局現(xiàn)只有郵票0.6元，0.8元，1.1元的三種面值郵票，現(xiàn)有郵資為7.5元的郵件一件，為使粘貼的郵票張數(shù)最小，且郵資恰為7.5元，則至少要購買       張郵票。6（1）從1，2，30這前30個(gè)自然數(shù)中，每次取出不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？（2）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)。（3）在1，2，3，100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取出三個(gè)數(shù)，使它們構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，問這樣的等差數(shù)列共有多少個(gè)？（4）1！