5(2)變量可分離方程及齊次方程ppt課件

1、1變量變量可分離可分離小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)增長(zhǎng)與衰減模型增長(zhǎng)與衰減模型第二節(jié)第二節(jié) 變量變量可分離方程及齊次方程可分離方程及齊次方程第十二章第十二章 微分方微分方程程2xxyyd)(d)( 如果一階微分方程如果一階微分方程等式的每一邊僅是一個(gè)變量的函數(shù)與這個(gè)等式的每一邊僅是一個(gè)變量的函數(shù)與這個(gè) 可分離變量的方程可分離變量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以寫成可以寫成0),( yyxF的形式的形式,易于化為形式易于化為形式特點(diǎn)特點(diǎn)變量的微分之積變量的微分之積.兩端積分可得通解兩端積分可得通解.一階微分方程一階微分方程一、變量一、變量

2、可分離可分離方程方程3可分離變量的方程求通解的步驟是可分離變量的方程求通解的步驟是: :分離變量分離變量,兩邊積分兩邊積分的形式；的形式；把方程化為把方程化為xxyyd)(d)( 1.2. 將上式將上式一階微分方程一階微分方程( )d( )d;yyxxC其中其中C為任意常數(shù)為任意常數(shù).由上式確定的函數(shù)由上式確定的函數(shù)),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解(隱式通解隱式通解).這種解方程的方法稱為這種解方程的方法稱為分離變量法分離變量法. .4例例1 1 求方程求方程 的通解的通解.dykydx注意: kxyCedykydx反映某種函數(shù)指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減的現(xiàn)象.一階微分方程一階微分方程5一

3、階微分方程一階微分方程例例2 2 求方程求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解分離變量分離變量xxxyyyd1d122 兩端積分兩端積分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy 221(1)yCx所以為方程的通解為方程的通解.1ln2C隱式通解隱式通解 xxxd126二、齊次二、齊次方程方程如果一階微分方程可以寫成如果一階微分方程可以寫成 xygxydd齊次方程齊次方程. .即即,uxy 得到得到 u 滿足的方程滿足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作變量代換作變量代換 xydd 代入代入則稱之為則稱之為 uxxudd 可分離變量的方程可

4、分離變量的方程,)(ddxuugxu dd,( )( )ux dyyg uug uuxdxx時(shí)分離變量分離變量?jī)蛇叿e分兩邊積分,求出通解后求出通解后, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.1. 齊次型方程齊次型方程一階微分方程一階微分方程7( )0,dyyg uudxx當(dāng)時(shí) 即時(shí)但分離變量,直接求解得到:yCx00, ( )0,:.uug uuyu x當(dāng)時(shí)則解為這兩種解都不包含在前面的通解中.一階微分方程一階微分方程8例例3 3 求求dtanyyydxxx的通解.sin.yCxx一階微分方程一階微分方程9分析分析.,求求解解比比較較方方便便的的函函數(shù)數(shù)看看作作把把yx解解

5、 yxdd,yxu 令令,uyx 則則,ddddyuyuyx 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?yuyudd)1(11 ueu 齊次方程齊次方程可分離變量方程可分離變量方程 yxfyxdd一階微分方程一階微分方程)1(11 yxeyx(1) d()d.xyey xxyy求方程的通解例例410兩邊積分兩邊積分lnlnlnuueyC 即即Ceuyu )(得通解得通解Cyexyx 分離變量分離變量yyueueuud1d1 yuyudd)1(11 ueu一階微分方程一階微分方程11為齊次型方程為齊次型方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc00,XxxYyy令，(其中其中h和和k是待定的常數(shù)是待定的常數(shù))YyXxdd,dd 否

6、則為非齊次型方程否則為非齊次型方程. . XYdd解法解法一階微分方程一階微分方程2. 可化為齊次的微分方程可化為齊次的微分方程的微分方程的微分方程111cybxacbyax )(ddfxy cbyaxbYaX00)(f1010111cybxaYbXa, 0, 01010100cybxacbyax11)1(baba 有唯一一組解有唯一一組解., 0 12, 0)1(11 baba有唯一一組解有唯一一組解.)(dd11YbXabYaXfXY 得通解代回得通解代回，00,yyYxxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) bba 與與1一階微分方程一階微分方

7、程中必至少有一個(gè)為零中必至少有一個(gè)為零., 0 b若若可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.)(dd111cybxacbyaxfxy ,byaxz 令令, 0, 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程., 0, 01010100cybxacbyax13,11 bbaa令令),)(dd1cbyaxcbyaxfxy ，則則xybaxzdddd ).()dd(11czczfaxzb ,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) b,byaxz 令令可分離變量可分離變量.)(dd111cybxacbyaxfxy 一階微分方程一階微分方程 , 0,

8、0111ckbhacbkah, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.方程可化為方程可化為14.31dd的的通通解解求求 yxyxxy解解, 021111 0301yxyx2, 1yx1,2.XxYy令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 一階微分方程一階微分方程例例5 5 )(dd111cybxacbyaxfxy 0,Xxx令. 0, 01010100cybxacbyax0Yyy，是非齊次型方程是非齊次型方程. .方程組方程組是齊次型方程是齊次型方程. . XuXudd分離變量法得分離變量法得方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?11uu 15,11dduuXuXu 分

9、離變量法得分離變量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 代代回回，將將2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)橐浑A微分方程一階微分方程XYu 即即或或16求解下列微分方程求解下列微分方程一階微分方程一階微分方程例例6 60d)(d)()1( yxxygxyxyf 解題提示解題提示方程中出現(xiàn)方程中出現(xiàn)),(),(yxfxyf )(),(22xyfyxf 等形式的項(xiàng)時(shí)等形式的項(xiàng)時(shí),通常要做相應(yīng)通常要做相應(yīng)的的變量代換變量代換,22xyyxyxxyu yxxy1dd)2(17一階微分方程一階微分

10、方程0d)(d)()1( yxxygxyxyf解解,xyu 令令求微分得求微分得,dddxyyxu 代入方程代入方程0d)(d)()( uugxxuuguf0d)()()(d uugufuugxx xln uugufuugd)()()(C 可分離變量方程可分離變量方程18yxxy1dd)2(解解uyx 令令, 1dddd xuxy則則代入原式代入原式,11dduxu 分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求通解為所求通解為,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解yxyx dd一階線性方程一階線性方程. 可分離變量方程可分離變量方程一階微分方程一階微分方

11、程方程變形為方程變形為19三、增長(zhǎng)與衰減模型三、增長(zhǎng)與衰減模型一階微分方程一階微分方程有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 解解由由力學(xué)知識(shí)力學(xué)知識(shí) 得得,水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度ghStVQ262. 0dd 水面的高度水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間隨時(shí)間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.開始時(shí)開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里求水從小孔流出過(guò)程中容器里流出流出, 例例7小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 水從它的底部小孔水從它的底

12、部小孔 20hhhd)200(2 ,d262. 0tgh ,d)200(262. 0d3hhhgt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為一階微分方程一階微分方程可分離變量方程可分離變量方程21可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程分離變量分離變量?jī)啥朔e分兩端積分一階微分方程一階微分方程四、小結(jié)四、小結(jié)解法解法:隱式隱式(或顯式或顯式)通解通解0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM22一階微分方程一階微分方程一階微分方程的一階微分方程的解題程序解題程序

13、(1) 審視方程審視方程, 判斷方程類型判斷方程類型;(2) 根據(jù)不同類型根據(jù)不同類型, 確定解題方案確定解題方案;(3) 若方程的求解最終化為分離變量型的若方程的求解最終化為分離變量型的,則作適當(dāng)變換則作適當(dāng)變換; (4) 做變量替換后得出的解做變量替換后得出的解, 最后一定要最后一定要還原為原變量還原為原變量.23思考題思考題).(A一階微分方程一階微分方程A. 有極大值有極大值B. 有極小值有極小值C. 某鄰域內(nèi)單調(diào)增加某鄰域內(nèi)單調(diào)增加D. 某鄰域內(nèi)單調(diào)減少某鄰域內(nèi)單調(diào)減少( )240yf xyyy1.設(shè)函數(shù)是微分方程的處在點(diǎn)則一個(gè)解且000)(, 0)(, 0)(xxfxfxf242. 解方程解方程解解將方程寫為將方程寫為22ddyxxyxy 齊次方程齊次方程,xyu 令令,uxy