數(shù)字信號處理 課后答案第1章

1、時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)1.1學習要點與重要公式學習要點與重要公式1.2解線性卷積的方法解線性卷積的方法1.3例題例題1.4習題與上機題解答習題與上機題解答時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章 1.1學習要點與重要公式學習要點與重要公式本章內(nèi)容是全書的基礎。 學生從學習模擬信號分析與處理到學習數(shù)字信號處理， 要建立許多新的概念。 數(shù)字信號和數(shù)字系統(tǒng)與原來的模擬信號和模擬系統(tǒng)不同， 尤其是處理方法上有本質(zhì)的區(qū)別。 模擬系統(tǒng)用許多模擬器件實現(xiàn)， 數(shù)字系統(tǒng)則通過運算方法實現(xiàn)。 如果讀者對本章關于時域離散信號與系統(tǒng)的若干基本概念不清楚， 則學到數(shù)字濾波器時，

2、 會感到“數(shù)字信號處理”這門課不好掌握， 總覺得學習的不踏實。 因此學好本章是極其重要的。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章1.1.1學習要點學習要點 （1） 信號： 模擬信號、 時域離散信號、 數(shù)字信號三者之間的區(qū)別； 常用的時域離散信號； 如何判斷信號是周期性的， 其周期如何計算等。 （2） 系統(tǒng)： 什么是系統(tǒng)的線性、 時不變性以及因果性、 穩(wěn)定性； 線性、 時不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系； 求解線性卷積的圖解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函數(shù)求解； 線性常系數(shù)差分方程的遞推解法。 （3） 模擬信號的采樣與恢復： 采樣定理； 采樣前的模擬信號和采樣后得到的采樣信號之

3、間的頻譜關系； 如何由采樣信號恢復成原來的模擬信號； 實際中如何將時域離散信號恢復成模擬信號。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章1.1.2 重要公式重要公式 （1） mnhnxmnhmxny)(*)()()()(這是一個線性卷積公式， 注意公式中是在之間對m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分別是系統(tǒng)的輸入和單位脈沖響應， y(n)是系統(tǒng)輸出， 則該式說明系統(tǒng)的輸入、 輸出和單位脈沖響應之間服從線性卷積關系。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（2） x(n)=x(n)*(n) 該式說明任何序列與(n)的線性卷積等于原序列。 x(nn0)=x(n)*(nn0)（3）kankXTX)jj

4、(1)j (s 這是關于采樣定理的重要公式， 根據(jù)該公式要求對信號的采樣頻率要大于等于該信號的最高頻率的兩倍以上， 才能得到不失真的采樣信號。 naaTnTtTnTtntxtx/ )(/ )(sin)()(這是由時域離散信號理想恢復模擬信號的插值公式。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章1.2解線性卷積的方法解線性卷積的方法解線性卷積是數(shù)字信號處理中的重要運算。 解線性卷積有三種方法， 即圖解法（列表法）、 解析法和在計算機上用MATLAB語言求解。 它們各有特點。 圖解法（列表法）適合于簡單情況， 短序列的線性卷積， 因此考試中常用， 不容易得到封閉解。 解析法適合于用公式表示序列的線性卷

5、積， 得到的是封閉解， 考試中會出現(xiàn)簡單情況的解析法求解。 解析法求解過程中， 關鍵問題是確定求和限， 求和限可以借助于畫圖確定。 第三種方法適合于用計算機求解一些復雜的較難的線性卷積， 實驗中常用。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解線性卷積也可用Z變換法， 以及離散傅里葉變換求解， 這是后面幾章的內(nèi)容。 下面通過例題說明。 設x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。該題是兩個短序列的線性卷積， 可以用圖解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1給出了圖解法（列表法）， 用公式可表示為y(n)=, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1

6、, 0, 0, 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章下面用解析法求解， 寫出卷積公式為mmmnRmRmnhmxny)()()()()(44在該例題中， R4(m)的非零區(qū)間為0m3， R4(nm)的非零區(qū)間為0nm3， 或?qū)懗蒼3mn， 這樣y(n)的非零區(qū)間要求m同時滿足下面兩個不等式： 0m3m3mn上面公式表明m的取值和n的取值有關， 需要將n作分段的假設。 按照上式， 當n變化時， m應該按下式取值： 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章 max0, n3mmin3, n當0n3時， 下限應該是0， 上限應該是n； 當4n6時， 下限應該是n3， 上

7、限應該是3； 當n6時， 上面的不等式不成立， 因此y(n)=0； 這樣將n分成三種情況計算： （1） n6時， y(n)=0 （2） 0n3時， nmnny011)(時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（3） 4n6時， nnmnny371)(將y(n)寫成一個表達式， 如下式： y(n)= 071)(nnny0n34n6其它時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章在封閉式求解過程中， 有時候決定求和的上下限有些麻煩， 可借助于非零值區(qū)間的示意圖確定求和限。 在該例題中， 非零值區(qū)間的示意圖如圖1.2.1所示。 在圖1.2.1(b)中， 當n0 時, 0011)(mmmmaaans最后得到)1(

8、)(11)(nunuaansn1j )(2j)(nunhn例例1.3.3設時域離散線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入激勵信號x(n) 分別為時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章x(n)=cos(n)u(n)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應y(n)。 解解 x(n)=cos(n)u(n)=(1)nu(n)2j12j11) 1( 2j) 1() 1(2j ) 1)(2j )()()(10nnnmmnnmnmnmnmnmumnxmhny時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章當n時， 穩(wěn)態(tài)解為 j2j54) 1()(nny例例1.3.4假設5項滑動平均濾波器的差分方程為y(n)=x(n)+x(n1)+x(n2)

9、+x(n3)+x(n4)輸入信號用圖1.3.1表示， 畫出該濾波器輸出的前16個序列值的波形， 并說明該濾波器對輸入信號起什么作用。51時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章圖1.3.1時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號求系統(tǒng)輸出， 可以用遞推法求解， 這里采用MATLAB函數(shù)filter 計算。 調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算該系統(tǒng)的系統(tǒng)響應的程exp134.m如下： %程序exp134.m%調(diào)用conv實現(xiàn)5項滑動平均濾波xn=0.5*ones(1， 15)； xn(4)=1； xn(6)=1； xn(10)=1； hn=ones(1， 5)； y

10、n=conv(hn， xn)； 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章%以下為繪圖部分n=0： length(yn)1； subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， .)xlabel(n)； ylabel(y(n)程序運行結(jié)果如圖1.3.2所示。 由圖形可以看出， 5項滑動平均濾波器對輸入波形起平滑濾波作用， 將信號的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章圖1.3.2時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章例例1.3.5已知x1(n)=(n)+3(n1)+2(n2)，x2(n)=u(n)u(n3)， 試求信號x(n)， 它滿足x(n)=x1(

11、n)*x2(n), 并畫出x(n)的波形。 解解： 這是一個簡單的計算線性卷積的題目。 x(n)=x1(n)*x2(n) =(n)+3(n1)+2(n2)*u(n)u(n3) =(n)+3(n1)+2(n2)*R3(n) =R3(n)+3R3(n1)+2R3(n2) =(n)+4(n1)+6(n2)+5(n3)+2(n4)畫出x(n)的波形如圖1.3.3所示。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章圖1.3.3時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章例例1.3.6已知離散信號x(n)如圖1.3.4(a)所示， 試求y(n)=x(2n)*x(n)， 并繪出y(n)的波形。 （選自西安交通大學2001年

12、攻讀碩士學位研究生入學考試試題）解解： 這也是一個計算線性卷積的題目， 只不過要先求出x(2n)。 解該題適合用列表法(圖解法)。 x(2n)=1, 1, 1, 0.5y(n)=x(2n)*x(n) =1, 2, 3, 3, 3, 3, 2.75, 2, 1, 0.25繪出y(n)的波形如圖1.3.4(b)所示。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章圖1.3.4時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章1.4習題與上機題解答習題與上機題解答1. 用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。 題1圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+

13、(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 給定信號： 2n+54n160n40 其它(1) 畫出x(n)序列的波形， 標上各序列值； (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(x(n)=時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 試畫出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6

14、(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。 (5) 畫x3(n)時， 先畫x(n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（一）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（二）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（三）時

15、域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（四）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 是常數(shù)AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因為=, 所以, 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因為=, 所以=16, 這是無理數(shù)， 因此是非周期序列。738123142時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章4 對題1圖給出的x(n)要求： (1) 畫出x(n)的波形； (2) 計算xe(n)=x(n)+x(n)， 并畫出xe(n)波形； (3) 計算xo(n)= x(n)x(n)， 并畫出

16、xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將x1(n)與x(n)進行比較， 你能得到什么結(jié)論？2121時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解：（1） x(n)的波形如題4解圖（一）所示。(2) 將x(n)與x(n)的波形對應相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個偶對稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。 (3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（一）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（二）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（三）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(

17、4) 很容易證明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。 偶對稱序列可以用題中(2)的公式計算， 奇對稱序列可以用題中(3)的公式計算。 5 設系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0為整常數(shù) （4）y(n)=x(n)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)si

18、n(n)解解： （1） 令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)nmmx0)(時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 因為 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)

19、故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（2） 令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故該系統(tǒng)是非時變的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(3) 這是一個延時器， 延時器是線性非時變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為x(nn1)輸出為y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延時器是

20、非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延時器是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(4) y(n)=x(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（5） y(n)=x2(n)令輸入為 x(nn0)輸出為y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于

21、 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（6） y(n)=x(n2)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（7） y(n)=x(m)令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系統(tǒng)是

22、時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。nm 0nm 000nnmnm 0時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（8） y(n)=x(n) sin(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系統(tǒng)不是非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系

23、統(tǒng)， 并說明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解：（1）只要N1， 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)， 因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關。 如果|x(n)|M， 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因為n時間的輸出還和n時間以后（n+1）時間）的輸入有關。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（3） 如果|x(n)

24、|M， 則|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 假設n00， 系統(tǒng)是非因果的， 因為輸出還和x(n)的將來值有關。 00nnnnk時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章m（4）假設n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為n時刻輸出只和n時刻以后的輸入有關。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。解解：

25、 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題7圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解法（二）采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2

26、(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章8. 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先確定求和

27、域。 由R4(m)和R5(nm)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下:0m34mnm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： n7時， y(n)=0nm 034nm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章最后結(jié)果為 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如題8解圖（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題8解圖（二）所示y(n)=時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題8解圖（一）時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題8解圖（二）時域離散信號和時域離散

28、系統(tǒng)第 1 章(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時， y(n)=0 0n4時， mm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章nmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5時nnmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后寫成統(tǒng)一表達式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章9 證明線性卷積服從交換律、

29、結(jié)合律和分配律， 即證明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明： （1） 因為令m=nm, 則mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmnxnhnxm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(2) 利用上面已證明的結(jié)果， 得到)()()()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第

30、 1 章交換求和號的次序， 得到)()( )()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk)()()(12nhnxnh)()()(21nhnhnx時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章)()()()()()()()()()()()()()( )3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmm10 設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測數(shù)據(jù)， 設x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。 遞推時設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。時域離

31、散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 5 . 083)(5 . 083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxnyn=0時， n0083)( xnyn=1時， )5 . 0(835 . 083)( 10110 xxxnymmm時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章)5 . 05 . 0(835 . 083)( 2102220 xxxxnymmmn=2時， 最后得到nmmnmxny05 . 083)(11 設系統(tǒng)由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny設系統(tǒng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 令x(n)=(

32、n), 則) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0時， 1) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1時， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章n=2時， 21) 1 (21)2(hhn=3時， 221)2(21) 3(hh歸納起來， 結(jié)果為)() 1(21)(1nnunhn時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章12. 設系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始條件y(-1)=0， 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。 解解： 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為(n)、 (n1)、 (n)+(n1)時， 求它的輸出，

33、 再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。 （1） 令x(n)=(n), 這時系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。)() 1()(11nnayny該情況在教材例1.4.1 中已求出， 系統(tǒng)的輸出為y1(n)=anu(n)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章(2) 令x(n)=(n1)， 這時系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。 ) 1() 1()(22nnaynyn=0時， 0) 1() 1( )0( 22yayn=1時， 1)0()0( ) 1 (22yayn=2時， ayay) 1 () 1 ( )2(2212)(nany任意 n 時， 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章最后得到) 1()( 12nuan

34、yn(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。 ) 1()() 1()(33nnnaynyn=0時， n=1時， 1) 1()0() 1( )0(33yay1)0() 1 ()0( ) 1 (33ayayn=2時， 233)1 () 1()2() 1 ( )2(aaaayay時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章n=3時， 任意 n 時， 32233)()2()3()2( )3(aaaaayay13)( nnaany最后得到)() 1()(13nuanuanynn時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章由（1）和（2）得到y(tǒng)1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(

35、n)=y2(n1)因此可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。 情況（3）的輸入信號是情況（1）和情況（2）輸入信號的相加信號， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 最后得到結(jié)論： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描寫的系統(tǒng)， 當初始條件為零時， 是一個線性時不變系統(tǒng)。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章13 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進行采

36、樣， 試寫出采樣信號 的表達式；（3） 畫出對應 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期為)(txa)(txas 05. 01fT時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnnajj（2）（3） x(n)的數(shù)字頻率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)畫出其波形如題13解圖所示。252時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題13解圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章14. 已知滑動平均濾波器的差分方程為)4()3()2() 1()(51)(

37、nxnxnxnxnxny（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應；（2） 如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示， 試求出y(n)并畫出它的波形。解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應， 即)4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章（2） 已知輸入信號， 用卷積法求輸出。 輸出信號y(n)為kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(k)， h(nk)則隨著n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(nk)和x(k)對應相乘

38、， 再相加和平均， 得到相應的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章15*. 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為)2(2)() 1(21)(nxnxnyny 1 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 )(nx用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m% 調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1， 2，

39、3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=單位脈沖序列， 長度N=31B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系數(shù)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章yn=filter(B， A， xn) %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8)title(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 )； xlabel(n)； ylabel(y(n)程序運行結(jié)果： 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章yn =1.0000 1.5000 4.2500

40、5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序運行結(jié)果的y(n)波形圖如題15*解圖所示。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題15*解圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章16*. 已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為 （1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n

41、1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應。 解解： （1） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B1=1， A1=1， 0.6， 0.08（2） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章調(diào)用MATLAB函數(shù)filter計算兩個系統(tǒng)的系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應的程序ex116.m如下： %程序ex116.mB1=1； A1=1，0.6， 0.08； %設差分方程（1）系數(shù)向量B2=2， 0， 1； A2=1，0.7， 0.1； %設差分方程（2）系數(shù)向量%=%系統(tǒng)1xn=1， ze

42、ros(1， 30)； %xn=單位脈沖序列， 長度N=31xi=filtic(B1， A1， ys)； %由初始條件計算等效初始條件輸入序列xi時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章hn1=filter(B1， A1， xn， xi)； %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸出信號hn1n=0： length(hn1)-1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， hn1， .)title(a) 系統(tǒng)1的系統(tǒng)單位脈沖響應)； xlabel(n)； ylabel(h(n)xn=ones(1， 30)； %xn=單位階躍序列， 長度N=31sn1=filter(B1， A1， xn，

43、 xi)； %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸出信號sn1n=0： length(sn1)1； subplot(3， 2， 2)； stem(n， sn1， .)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章itle(b) 系統(tǒng)1的單位階躍響應)； xlabel(n)； ylabel(s(n)%=%系統(tǒng)2xn=1， zeros(1， 30)； %xn=單位脈沖序列， 長度N=31xi=filtic(B2， A2， ys)； %由初始條件計算等效初始條件輸入序列xihn2=filter(B2， A2， xn， xi)； %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸出信號hn2n=0： length(hn

44、2)1； subplot(3， 2， 5)； stem(n， hn2， .)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章title(a) 系統(tǒng)2的系統(tǒng)單位脈沖響應)； xlabel(n)； ylabel(h(n)xn=ones(1， 30)； %xn=單位階躍序列， 長度N=31sn2=filter(B2， A2， xn， xi)； %調(diào)用filter解差分方程， 求系統(tǒng)輸出信號sn2n=0： length(sn2)1； subplot(3， 2， 6)； stem(n， sn2， .)title(b) 系統(tǒng)2的單位階躍響應)； xlabel(n)；ylabel(s(n)程序運行結(jié)果如題16*解圖所示。 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章題16*解圖時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章17*. 已知系統(tǒng)的差分方程為y(n)=a1y(n1)a2y(n2)+bx(n)其中, a1=0.8, a2=0.64, b=0.866。（1） 編寫求解系統(tǒng)單位脈沖響應h(n)(0n49)的程序， 并畫出h(n)(0n49)；（2） 編寫求解系統(tǒng)零狀態(tài)單位階躍響應s(n)(0n100）的程序， 并畫出s(n)(0n100）。時域離散信號和時域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 調(diào)用MATLAB函數(shù)