二倍角的正弦余弦正切公式

1、二倍角的正弦余弦正切公式教學目標1.會推導二倍角的正弦、余弦、正切公式.（重點）2 .掌握二倍角公式及其變形公式的應用.（難點）3.二倍角公式與兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的區(qū)別與聯(lián)系.（易混點）基礎(chǔ)初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式閱讀教材 P133例5以上內(nèi)容，完成下列問題.1 .二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2asin 2 a = 2sin a COS aGaCOS 2 a = COS a Sin aT2 a2ta n atan 2 a =丄 21 tan a2.余弦的二倍角公式的變形3.正弦的二倍角公式的變形(1)sina COS1a = 2S in 2a , COS

2、sin 2 a2sin a2(2)1 士 sin 2 a = (sin a 士 COS a ).1.判斷（正確的打“錯誤的打“X”）（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.（）存在角a，使得sin 2 a = 2sin a成立.（）對于任意的角 a , cos 2 a = 2cos a都不成立.（）解：（1） X .二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二nn倍角的正切公式，要求a工2 + kn （k Z）且a ±4 + kn （k Z）,故此說法錯誤.V.當a = k n (k Z)時，sin 2 a = 2sin a .(3) X.當cos a = 1 時，c

3、os 2 a = 2COS a .【答案】(1) X (2) V (3) X12.已知 cos a = 3，則 cos 2 a 等于.(1)cosa - sin4解：由cos1 /曰21 27a = 3,得 cos 2 a = 2cos a 1 = 2X 3 1 = 【答案】79化簡求值.nnnsin 24 cos 24 cos ”；(3)1 2sin 2 750 ° ;1 3tan 2 150 °tan 150+2ta n 150靈活運用倍角公式轉(zhuǎn)化為特殊角或產(chǎn)生相消項，然后求得解:(1)cos 4a sin4=cos2 寺sin2cos=cos a .1原式=2 2si

4、nn24cosn24ncoF1=2Sinn 1訝 42sinnn12 cos 121=-sin4n 16 = 8.1二原式=8"原式=cos(2 x 750° ) = cos 1 500=cos(4 x 360° + 60° ) = cos 60 ° =才1二原式=2"2tan 150原式=2tan2150°+1 3tan2 150=2tan 150 °= tan (2x 150°)11=tan 300 ° = tan(360° 60°)13=tan 60 ° =3

5、 .原式=121 tan 150二倍角公式的靈活運用:(1)公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn).主要形式有:12sin a COS a = sin 2 a , sin a COS a=Msin 2 a ,cossin 2 a2sin a2cos.2 oc sina = COs 2 a ,2ta n a1 tan 2 aa cos a = (sincos a )2, 1 + cos 2 a= 2cos2 a , cos21 + cos 2 a2sintan 2 a .公式的變形：公式間有著密切的聯(lián)系，這就要求思考時要融會貫通，有目的地活用公式.主要形式有:2 21 士

6、sin 2 a = sin a+ cos a ± 2sin1 cos 2 a再練一題1.求下列各式的值:(1)sin12cosn12；2tan 150 ° 1 ta n2150°1 sin 10cos 10 ° 'cos 20 ° cos 40 ° cos 802si n解:(1)原式=n/cos2n12sin6 = 1=4.原式=tan(2 x 150° ) = tan 300 ° = tan(360 ° 60° )2 2cos 102sin 10 cos 104si n 20=sin

7、 20=4.原式=2sin 20 cos 20 cos 40 cos 802si n 202sin 40-cos 40 cos 804sin 20 °2sin 80 cos 808si n 20_ sin 160=8sin 20_ 1=8.(3)原式=cos1010 ；3T010sin 10 cos 104 (sin 30 ° cos 10 ° cos 30 ° sin 10 ° ) =2sin 10 ° cos 10 °利用二倍角公式解決求值問題A.C.(1)已知 sin a = 3cos那么B.D.tan 2 a的值為（

8、已知sin nn +=3,則cos7一 9B.D.2342n2131的值等于（32(2016 天津高一檢測)已知cos a = 4, sin p = 3, a是第二象限角，p 求sin 2 a的值；求C0S(2 a + B )的值.(1) 可先求tan a，再求tan 2 a ;2nnn n(2) 可利用3 n 2 a= 2§ a及空一a = 石+況求值；(3) 可先求sin 2 a , cos 2 a , cos B，再利用兩角和的余弦公式求 C0s(2 a+ B ).解:(1)因為 sin a = 3cos a ,所以 tan a = 3,所以tan 2 a2ta n a =1

9、tan1 22X 33= =一 a1 324'因為cos 3=sin=sin1a = 3,所以cos 2a79.2 n=2cos【答案】(1)D (2)C(3)因為a是第二象限角，cos a3=4,所以sina 1 曲a 享所以 sin 2 a = 2sina COS a = 2X因為 B -2，冗，sin B = 3,所以cos2cos 2 a = 2cos91a_ 1=2x 196-1=8,所以cos(2 a+ B ) = cos 2 a cos B sin 2 a sin1=8x53.7,25+673_ V x 3= 24直接應用二倍角公式求值的三種類型(1) sina (或 c

10、os a )角三角函數(shù)的關(guān)系> cosa ) 一倍角公式 > sin 2 a (或 cos 2 a ).(2) sina (或 cos a ) 一倍角公式 > cos 2 a = 1 a (或 sin2sin 2 a (或2cos2 a 1).(3)sin a(或cos a )的角三角函數(shù)的關(guān)系cos a (或 sin a ),tan二倍角公式 、t 2tan a>tan 2 a .再練一題2. (1)已知 a 專,n , sincos 2 a =, tan 2 a =已知sinn4 + a sin1廠=6，且 an ，求 tan 4a的值.解：(1)因為a，所以cos

11、 a =5所以sin2 a = 2sina cos a = 2X等=4, cos 2a= 1552si n2a = 1 2X5'tan 2sin 2 a 4 廠-3.a =cos 2【答案】n因為sin =sinn=cos7 + a，則已知條件可化為sinncos 7 + a6'即?sin 2所以所以+ a6?+ 2 a1=3,1仇=二.因為1sincos 2aan2n ，所以2 a ( n, 2 n),從而sin 2=1 cos22 a =所以tan 2sin 2 acos 2 a-2 2,2ta n 2 a- 2 故 tan 4 a_=4也=1 tan 22a =1( 2

12、2)利用二倍角公式證明求證：(1)cos 2(A + B) sin 2( A B) = cos 2 Acos 2 B;2 2(2)cos 6 (1 tan 6 ) = cos 2 6 .(1)可考慮從左向右證的思路：先把左邊降幕擴角，再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式.(2)證法一：從左向右：切化弦降幕擴角化為右邊形式；證法二：從右向左：利用余弦二倍角公式升幕后向左邊形式轉(zhuǎn)化.(1)左邊=1 + cos (2A+ 2B)21 cos (2A 2B)2cos (2A+ 2B) + cos (2A 2B)2=1(cos 2Acos 2B- sin 2Asin 2B+ cos 2Acos 2B+s

13、in 2Asin 2B)=cos 2 Acos 2 B=右邊,sin 2 Bcos2 6二等式成立.=cos2 6sin 2 6 = cos 2 6 =右邊.法:左邊=cos2 6法二：右邊= cos 2 6 = cos2 6 sin 2 62 sin 2 622 亠=cos 6 1 冇=cos 6 (1 tan 6 )=左邊cos 6'7證明問題的原則及一般步驟：(1) 觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式，一般是從復雜到簡單，如果兩端 都比較復雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.(2) 證明的一般步驟是：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu) 等方面的差異，然后本著“復角化單角”、“異名化同

14、名”、“變量 集中”等原則，設法消除差異，達到證明的目的.3.證明：1+ sin 2 a112cos =ta n a a+ sin 2 a = 2tan a+ 2.再練一題a COSa證明：左邊=2 2sin a + cos a + 2sin22cos a + 2sin a COS a(Sin a + COS a )2cos a (sin a + cossin a + cos2cos a1a +空=右邊.所以2cos21+sin 2 aa + Sin 2 a+ 1成立.倍角公式的靈活運用探究1時，如1 + sina cos a 1 + cos a + sin在化簡 1 + sina+ cos

15、a + 1 cos a+ Sin何靈活使用倍角公式?【提示】在化簡時，如果只是從a的關(guān)系去整理，化簡可能感覺無從下手，但如果將 a看成3的倍角，可能會有另一種思路，aaa2sin 2 cos + sin 3 原式=+aaa2cos y cos + sin yaaaaa2cos cos + sinsin cos -2 2222a .2s in Sin= +aaa+ cos cos sin -2 2 2 22_a a sin a sin cos 2探究 2 如何求函數(shù) f(x) = 2cos解:f(x) = 5 3 1 + C；s 2x+ 3 =3- 3 + 2 3cos 2 x 2sin 2 x

16、=3 3 + 23cos 2 x sin 2 xx 1 2 3 sin xcos x(x R的最小正周期?【提示】求函數(shù)f (x)的最小正周期，可由f (x) = (2cos 2x 1) 3X (2sinxcosx)= cos 2x3sin 2x= 2sin* 2x，知其最小正周期為n求函數(shù) f (x) = 53cos2x + 3sin 2x 4sin xcos x , x 4, 7nn的最小值，并求其單調(diào)減區(qū)間.化簡f (x )的解析式f (x)= Asin (x +©)+ B宀3X+ ©的范圍求最小值，單調(diào)減區(qū)間1 cos 2 x2sin 2 x=3 3 + 4 sin

17、n§cos 2 x cos gsin 2=3- 3 + 4sin7n"24，2X2X3n n7 n所以當2x § = ，即x =牙時,f(x)取最小值為3 3 2 2.因為y=sin 2x3在n, 7-4上單調(diào)遞增，所以f(x)在nn,去上單調(diào)遞減本題考查二倍角公式，輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì).解決這類問題經(jīng)常是先利用公式將函數(shù)表達式化成形如y = Asin( 3X + © )的形式，再利用函數(shù)圖象解決問題.再練一題4 .求函數(shù)y = sin 4x + 2 3sin xcos x cos4 x的最小正周期和 最小值，并寫出該函數(shù)在0 ,n 上的單調(diào)遞減區(qū)

18、間.解:y= sin 4x+ 2 3sin xcos x cos4x=(sin 2x+ cos2x)(sin 2x cos2x) + 2 3sin xcos x=cos 2 x+ “ 3sin 2 x1sin 2 x 2cos 2 xn=2sin 2x 2 n所以T=.=n,ymin2.nn3 n由 2k n+ y < 2x - < 2k n+ , k Z,n5 n彳得 k n + W X W k n+ , k Z,36又x 0 , n ，所以令k = 0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為構(gòu)建體系1. sin 22 ° 30' cos 22 ° 30 的值為(A.

19、B.J2C.D.1解:原式=qsin 45【答案】 B12.已知sin x = 4,貝卩cos 2x的值為(A.B.C.D.1解:因為sin x = 4,所以 cos 2 x= 1 2sin1x = 1 2X 42 7=8.【答案】 A12sin 12）cos 乃 + sin 的值為（）B.n _V36 = 2 .D.2 n2 n解：原式=cos 12 sin 12= cos2sin2a COS a COS a2COS2 a=tan5 - 6-=1 一 2【答案】D4.已知1小sin 2 a cos2i ata na=-3,則1 + cos 2 a解 :sin 2 a -2-cos a2si

20、na cos a 2- cos a一一211 + cos 2 a1 + 2cos a -5【答案】562si n解:(1)原式=nn2ncoscos5552sin2 n 2 nsin cos sin55sin2sin4si n4si nn5 = 1 n=4.55.求下列各式的值:(1)cosn2 ncos55112兀coS 8.2 n1 2cos 十r、8(2)原式=22 n2cos 1821 n=一二COS 一2 4學業(yè)分層測評學業(yè)達標、選擇題1.若 sin a=3cosA.B.C.D.小 sin 2 a解：-cos a2sin a2cos acos a 2sin a 6COS a6. co

21、s acos【答案】 D2.(2016 鐵嶺高一檢測)已知sin2小=3，貝U cos( n2a)=A. 一B.31D.解：因為sin2a= 3，所以 cos( n2a)=-cos 253. 2a = (1 2sin a )2X2 2_ 13 =_ 9.【答案】 B3.sin a + COS a 1 sin a COS a 2,則 tan 2A.B.C.D.解:因為sinsin a + COS aoc COS1a 2,整理得tana = 3,所以tan 22ta n a = 1 tana 2X2 a 1 (3) = 33) 2= 4.【答案】4. （2016 沈陽高一檢測）若sinx tan

22、x<0，貝A 1 + cos 2 x等A.2cos xC.2sin xB. 2cos xD. 2sin x解：因為 sin x tan x<0,所以x為第二、三象限角，所以cos x<0,所以1 + cos 2 x= 2cos2 x = . 2|cos x|=“ 2cos x.【答案】 B5.已知cos 2 x-2cos x + 寸15,貝卩 sin 2 x=(24一25cos 2 x-2cos x + 寸15,2 . 2 .cos xsin x 1 cos x sin x 5'1cos x + sin x =匚,51 + sin 2x=25'sin 2242

23、5.【答案】A二、填空題冗36. （2016 廣州高一檢測）已知sin x =，貝卩sin 2 x的值45等于n 3解:法一：sin -x = 5,n2 n cosy-2x = 1 2sin 7 x=1-2X 5725,sin 2 x = cos 2x =725.法二：由sinn34x =5,12得2(sin x cos x)="曰3，二 sin x5cos x=兩邊平方得1 sin 218X= 25,7X=25.【答案】7257 .已知sin 2I，則COS asin a =解：因為所以sina >COS a即cosoc sin a<0,又 sin 21=4,則有cos

24、 a sin a = ”，(cos a sin a ) 211 4=【答案】三、解答題8.化簡：tan 70cos10 ° ( ,3tan 201).解：原式sin 70=cos 70 ° cos103sin- 1cos 20sin 70 ° cos 10cos 70 °sin 70 °cos 70 ° cos 103sin 20 ° cos 20 cos 20 °2sin ( 10°)cos 20 °sin 70 ° sin 20 cos 70 ° cos 20=1.9 .求證:(1) sin 10<3cos 10=4;4 3.(4cos12° 2)1證明：(1)左邊=sin 10132 qcos 10 sin 10書 cos 10cos 10sin 10