二面角大小求法的歸類分析

1、二面角大小的求法的歸類分析四、射影法：利用面積射影公式 S射=S原cos，其中 為平面角的大小，此二面角大小的求法中知識的綜合性較強，方法的靈活性較大，一般而言， 二面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小， 在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識。求 二面角大小的關(guān)鍵是，根據(jù)不同問題給出的幾何背景，恰在此時當選擇方法， 作出二面角的平面角，有時亦可直接運用射影面積公式求出二面角的大小?，F(xiàn) 將二面角大小的求法歸類分析如下：方法不必在圖形中畫出平面角；例3在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PAL平面ABCD， p PA = AB = a,

2、求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。、定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性;例1在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面 ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。五、：對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半DAB平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）、三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點到一個面的垂線，用三垂線定理例5、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形,PA丄平面 ABCD，PA=AB = a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。（補形化為定

3、義法）或逆定理作出二面角的平面角；例2在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平 行四邊形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a， / ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下:、垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知, 平面與棱垂直；例3在四棱錐P-ABCD中, ABCD是正方形，PAL平面 ABCD PA=AB=a 求 B-PC-D的大小。面角的平面角所在的PDBC基礎(chǔ)練習5、一22BC在棱I)D 120上，若AB與面CAC1. 二面角是指A兩個平面相交所組成的圖形B 一個平面繞這個平面內(nèi)

4、一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形C從一個平面內(nèi)的一條直線出發(fā)的一個半平面與這個平面所組成的圖形D從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形2. 平面a與平面B、丫都相交，則這三個平面可能有（）A 1 條或2條交線B 2條或3條交線C僅2條交線D 1條或2條或3條交線3 .在300的二面角的一個面內(nèi)有一個點，若它到另一個面的距離是10,則它到棱的距離是（）A 5 B 20 C10.2 D4.在直二面角a -l- B中，Rt ABC在平面a內(nèi)，斜邊 B所成的角為60°,則AC與平面B所成的角為 （A 30 0B 450C 600的二面角，則菱形中含600角的兩個頂點間的距離為 。12 .如圖， AB

5、C在平面a內(nèi)的射影為 ABC,若/ ABC= 0, BC=a,且 平面ABC與平面a所成的角為書，求點 C到平面a的距離13.在二面角a -AB- B的一個平面a內(nèi)，有一直線 與平面B成300角，求二面角a -AB- B的度數(shù)深化練習5.如圖，射線BD BA BC兩兩互相垂直，AB=BC=1V6BD6，214.若二面角內(nèi)一點到二面角的兩個面的距離分別為a和、2a，到棱的距離為則弧度數(shù)為一的二面角是(3A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D6.A ABC在平面a的射影是厶 ABC，A S A1B1C=S ABC sin 0C S ABC =s A1B1C1 sin 07.如圖，若P

6、為二面角M-l-NA為l上一點，且/ PAB=a， 角M-l-N的大小為丫，則有A sin a =sin B sin 丫C sin 丫 =sin a sin BD A-BD-C如果 ABC所在平面和平面a成 0角，有 A1B1C= Sa ABC cos 0D S ABC =s A1B1C1 cos 0的面N內(nèi)一點，PB丄I，B為垂足,D以上都不對8 .在600的二面角的棱上有兩點PA與平面M所成角為B,二面（B sin B =sin a sin 丫CA、B，AC BD分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段，已知：AB=6 AC=3 BD=4則CD=。9. 已知 ABC和平面 a，Z A=

7、3C0，Z B=60，AB=2 AB a,且平面 ABC與a所成角為300,則點C到平面a的距離為。10. 正方體ABCA1B1CD中，平面 AACC和平面ABCD所成的二面角（銳角）2a,則此二面角的度數(shù)是 。15.把等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，若/BAC=60, 則此二面角的度數(shù)是。16 .如圖，已知正方形 ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角，求直線 BD與平面ABEF所成角的正弦值。17.如圖，在棱長為a的正方體 ABCABCD中，求：（1）面AABB與面ABCD所成角的大??；（2）二面角G BD-C的正切值。AB11.已知菱形的一個內(nèi)

8、角是600,邊長為a,沿菱形較短的對角線折成大小為 600二面角大小的求法答案 1 1因 PB= , 2 a,BC=a,PC= . 3 a, PB BC=S PBC= PC-BH2 2PAABPBPD1.、AB=AD=a PAADPB PD , BCDCABAD aPCPC則BH=? =DH , 又BD= , 2a在厶BHD中由余弦定理，得:3PBDPDC過B作BH丄PC于H，連結(jié)DH=DH丄PC 故/ BHD為二面角B-PC-D的平面角因 PB= . 2 a,BC=a,PC= .3a,1 PB-BC=S PBC= 1 PC-BH2則BH=DH又BD=,習3在厶BHD中由余弦定理，得:cos/

9、 BHDBH2 DH2 BD22BHgBDV6a32.2a2又 Ov/ BHD V n 則/ BHD=23，二面角 B-PC-D的大小是/ 6 . 6 a323BH2 DH2 BD2cos/ BHD =2BHgBD又 Ov/ BHD V n 則/ BHD=AD4解（面積法）如圖 ADPAABPAI AB A2蘭a七332面角B-PC-D的大小是。3AD PBA于 A同時，BC丄平面BPA于B，故 PBA是厶PCD在平面PBA上的射影設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為0,則cos B玉BAS PCD2解：（三垂線法）如圖PAL平面BD過A作AHL BC于H,又AHL BC故/ PHA是二面角 P-BC-A的平面角，a2連結(jié)PH貝U PHLBC在 Rt ABH 中,AH=ABsinZ ABC=aS in 30 =在 Rt PHA中,tan / PHA=PA/AH=a旦2,則/ PHA=arctan2.5解（補形化為定義法）如圖將四棱錐P-ABCD補形得正方體 ABCD-PQMN , 貝U PQ 丄 PA、PD,于是/ APD是兩面所成二面角的平面角。在 Rt PAD 中，PA=AD，則/ APD=45。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為 45 參考答案3解（垂面法）如圖PAL平面BDBDL AC=BD 丄 BC=過BD作平面BDH丄PC于