二重積分學(xué)習(xí)總結(jié)

1、高等數(shù)學(xué)論文二重積分學(xué)習(xí)總結(jié)姓名：徐琛豪班級(jí)：安全工程02班學(xué)號(hào)：1201050221二重積分【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解二重積分的概念與性質(zhì)，了解二重積分的幾何意義以及二重積分與定積分之間的聯(lián) 系，會(huì)用性 質(zhì)比較二重積分的大小，估計(jì)二重積分的取值范圍。2. 領(lǐng)會(huì)將二重積分化為二次積分時(shí)如何確定積分次序和積分限， 如何改換二次積分的積分次 序， 并且如何根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征選擇坐標(biāo)系。 熟練掌握直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系 下重積分的計(jì) 算方法。3?掌握曲頂柱體體積的求法，會(huì)求由曲面圍成的空間區(qū)域的體積。1 二重積分的概念與性質(zhì)1二重積分定義為了更好地理解二重積分的定義， 必須首先引入二重積分的

2、兩個(gè) “原型”，一個(gè)是幾何的“原型”曲頂柱體的體積如何計(jì)算，另一 個(gè)是 物理的“原型”平面薄片的質(zhì)量如何求。從這兩個(gè)“原型”出發(fā)，對(duì)所抽象出來(lái)的二重積分的定義就易于理解了。在二重積分的定義中，必須要特別注意其中的兩個(gè)“任意”，一 是將區(qū)域D成n個(gè)小區(qū)域i,2丄，n的分法要任意，二是在每個(gè)小區(qū)域i上的點(diǎn)(j)i的取法也要任意。有了這兩個(gè)“任意”，如果所對(duì)應(yīng)的積分和當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值 0時(shí)總有同一 個(gè)極限，才能稱二 元函數(shù)f(x, y)在區(qū)域D上的二重積分存在。2明確二重積分的幾何意義。(1)若在 D 上 f (x, y) > 0, 貝卩 f (x, y)d 表示以區(qū)域 D 為底，以

3、Df(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積。特別地，當(dāng)f(x,y) = 1時(shí)，f(x,y)dD表示平面區(qū)域 D 的面積。(2) 若在 D 上 f(x,y) < 0, 則上述曲頂柱體在 Oxy 面的下方，二 重積分 f(x,y)d 的值是負(fù)的，其絕對(duì)值為該曲頂柱體的體積D(3)若f(x, y)在D的某些子區(qū)域上為正的，在 D的另一些子區(qū)域 上為 負(fù)的 , 則 f (x, y)d 表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和D(即在 Oxy 平面之上的曲頂柱體體積減去 Oxy 平面之下的曲頂柱體的 體 積).3二重積分的性質(zhì) , 即線性、區(qū)域可加性、有序性、估值不等 式、 二重積分中值定理都與一元定積分

4、類似。 有序性常用于比較兩個(gè) 二重積 分的大小 , 估值不等式常用于估計(jì)一個(gè)二重積分的取值范圍 , 在用估值不 等式對(duì)一個(gè)二重積分估值的時(shí)候，一般情形須按求函數(shù)f (x, y)在閉區(qū)域D上 的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值， 再應(yīng)用估值不等式得到 取值范圍?！局饕拍钍崂?】1.二重積分的定義 設(shè)二元函數(shù) f(x,y) 在閉區(qū) 域 D 上有定義且有 界.分割 用任意兩組曲線分割 D成n個(gè)小區(qū)域1, 2丄，n,同時(shí) 用i表示它 們的面積，i 1,2丄,n.其中任意兩小塊i和j(ij)除邊界外無(wú)公共點(diǎn)。i既表示 第 i 小塊 ,又表示第 i 小塊的面積 .n近似、求和 對(duì)任意點(diǎn) ( i,

5、 i) i ,作和式 f( i, i) i.i1取極限 若 i 為 i 的直徑, 記 max 1, 2,L , n ,若極限lim0 f( i, i) i0i1存在，且它不依賴于區(qū)域D的分法，也不依賴于點(diǎn)(i, J的取法，稱 此極限為 f(x,y) 在 D 上的二重積分 ?記為nf(x, y)dlim0f ( i, i).D0 i 1稱f(x,y)為被積函數(shù)，D為積分區(qū)域，x、y為積分變?cè)琩為面積微 元(或 面積元素 ).2. 二重積分 f (x,y)d 的幾何意義D(1) 若在D上f(x,y)為，則f(x,y)d表示以區(qū)域D為底，以f(x,y)D為曲頂?shù)那斨w的體積 .(2) 若在D上f

6、(x,y)電，則上述曲頂柱體在 Oxy面的下方，二重 積分f(x,y)d 的值是負(fù)的，其絕對(duì)值為該曲頂柱體的體積D(3) 若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的，在D的另一些子區(qū)域 上為負(fù)的，則 f(x,y)d 表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和D(即在 Oxy 平面之上的曲頂柱體體積減去 Oxy 平面之下的曲頂柱體的 體 積).3二重積分的存在定理3.1若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必存在(即f(x,y)在D上必可積).3.2若有界函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù)，則 f(x,y) 在 D 可積.4 . 二重積分的性

7、質(zhì)二重積分有與定積分類似的性質(zhì).假設(shè)下面各性質(zhì)中所涉及的函數(shù)f(x,y), g(x,y) 在區(qū)域 D 上都是可積的 .性質(zhì) 1 有限個(gè)可積函數(shù)的代數(shù)和必定可積，且函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即f(x,y) g(x,y)d f (x, y)d g(x,y)dDDD性質(zhì) 2 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即kf (x, y)d k f (x, y)d (k 為常數(shù) ).DD性質(zhì)3若D可以分為兩個(gè)區(qū)域 Di,D2,它們除邊界外無(wú)公共點(diǎn)，則f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .DDD2性質(zhì) 4 若在積分區(qū)域 D 上有 f(x,y)=1 ,且用 S(D) 表

8、示區(qū)域 D 的面積,則d S(D).D性質(zhì)5若在D上處處有f(x,y)駕(x,y)，則有f (x, y)d g(x, y)d .DD推論 f (x, y)d I f(x,y) d .DD性質(zhì)6(估值定理) 若在D上處處有m#(x,y) MM ,且S(D)為區(qū)域 D 的面積，則mS(D) f (x, y)d MS(D).性質(zhì)7(二重積分中值定理)設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則在 D 上存在一點(diǎn) ( , ), 使f ( x, y)d f ( , )S(D).D【數(shù)學(xué)思想方法】二重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展， 它們都是某種形式的 和 的極限，即分割求和、取極限，故可用微元法的思想來(lái)理解

9、二重積 分的概 念與性質(zhì)。2 在直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算本章的重點(diǎn)是二重積分的計(jì)算問(wèn)題， 而直角坐標(biāo)系中二重積分的 計(jì)算 問(wèn)題關(guān)鍵是如何確定積分區(qū)域及確定 X 型區(qū)域還是 Y 型區(qū)域，這 也是本 章的難點(diǎn)。直角坐標(biāo)系中二重積分計(jì)算的基本技巧：(1) 在定積分計(jì)算中，如果 D 的形狀不能簡(jiǎn)單地用類似i(X)y 2(X)或i(y)x 2(y)的形式來(lái)表示，則我們可以將D a x b c y d分成若干塊，并由積分性質(zhì)f(X,y)d f(X,y)df(X, y)d .DD1D2對(duì)右端各式進(jìn)行計(jì)算。(2) 交換積分次序不僅要考慮到區(qū)域 D 的形狀，還要考慮被積函數(shù) 的 特點(diǎn)。如果按照某一積分次序的積

10、分比較困難， 若交換積分次序后， 由 于累次積分的積分函數(shù) (一元積分 )形式發(fā)生變化，可能會(huì)使新的積 分次 序下的積分容易計(jì)算，從而完成積分的求解。但是無(wú)論是先對(duì) x 積分，再對(duì) y 積分，還是先對(duì) y 積分，再對(duì) x 積分最終計(jì)算的結(jié)果應(yīng) 該是相同的。 一般的處理方法是由積分限確定積分區(qū)域 D, 并按照新 的積分次序?qū)⒍胤e分化成二次積分。 具體步驟如下： 確定 D 的邊 界曲線，畫出 D 的 草圖； 求出 D 邊界曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)； 將 D 的邊界曲線表示為 x 或 y 的單值函數(shù)； 考慮是否要將 D 分成幾塊； 用 x,y 的不等式表示 D.注：在積分次序選擇時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面的內(nèi)容

11、：(i)保證各層積分的原函數(shù)能夠求出；(ii)若 D為X型(丫型)，先對(duì)x(y)積分；(iii)若 D 既為 X 型又為 Y 型，且滿足 ( i )時(shí)，要使對(duì) D 的分塊最少。(3) 利用對(duì)稱性等公式簡(jiǎn)化計(jì)算設(shè)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，則 當(dāng)區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱若 f (x, y) f (x, y) ，貝 S f (x,y)d = 0；D若 f (x, y) f(x,y) ，貝 S f (x, y)d = 2 f(x, y)d ，其中 Di 為 D 在DD1x 軸上方部分。 當(dāng)區(qū)域 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱若 f ( x, y) f (x, y) ，貝 y f (x,y)d = 0；D若

12、f ( x, y) f(x,y) ，貝 S f (x, y)d = 2 f(x, y)d ，其中 D2 為 D 在D2y 軸右側(cè)部分 當(dāng)區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸和 y 軸都對(duì)稱若 f ( x, y) f (x, y) 或 f(x, y) f (x, y) ，貝 f (x,y)d = 0 ； D若 f(x, y) f ( x, y) f (x,y) ，貝 Sf (x, y)d = 4 f (x, y)d ，其中 Di 為DDiD 在第一象限部分。 輪換對(duì)稱式設(shè) D 關(guān)于直線 y x 對(duì)稱，則 f(x, y)d = f (y,x)d .D D【主要概念梳理】直角坐標(biāo)系中二重積分計(jì)算當(dāng)被積函數(shù) f(x

13、,y) 0 且在 D 上連續(xù)時(shí) ，若 D 為 X - 型區(qū)域 D:貝 S D f (x, y)dxdy若 D 為 Y 型區(qū)域 D ：貝 S D f(x, y)d xdy :dy(x) y 2(x)2 a x b b2( x)dx y)dyai(x) f( x,i(y) xc yd2( y)f (x, y)d x i(y)說(shuō)明：若積分區(qū)域既是 X 型區(qū)域又是 Y 型區(qū)域 ，則有2(y)i (y)b2( x)D f (x, y)dxdy dx f(x,y)dy dy f (x, y)d x3 在極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算極坐標(biāo)系中二重積分計(jì)算的基本技巧：(1) 一般地，如果積分區(qū)域是圓域、扇形域或圓

14、環(huán)形域，且被積函 數(shù)為 f (x2 y2),f(-), f(-)等形式時(shí)，計(jì)算二重積分時(shí)，往往采用極坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算 x y主要概念梳理】)r d r利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分k (k 1,2, L , n) 。則D f(x, y)df(r cos ,rsin )rdrd D在極坐標(biāo)系下 ，用同心圓r 二常數(shù)及射線 q 二常數(shù)，分劃區(qū)域 D 為特別地貝 S 有 f(rcos ,rsin )rdrd Df(rcos ,rsin貝 S 有 f(rcos ,rsin )rdrdD若 D: 1( ) r 2()2()()f (r cos , r sin ) r d rf (r cos , rsin ()貝 S 有 f(rcos ,rsin )rdrd D若 D:?2)9.4 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用主要在幾何方面和物理方面。幾何應(yīng)用之一是求 曲線所圍成的面積，應(yīng)用之二是求曲面所圍成的立體的體積； 物理應(yīng) 用主 要是平面薄片的質(zhì)量(1) 空間立體的體積 V設(shè)空間立體 由曲面 1: z f(x,y) 與 2: Z g(x,y) 所圍成， 在 xoy 面投影為平面區(qū)域 D, 并且 f(x,y) g(x,y) .則V f (x, y) g(x,y)d 或 Vdv.(2) 曲面面積 S設(shè)光滑曲面為：Z z(x, y)，則S .