關(guān)于長期成本曲線與短期成本曲線關(guān)系的理論分析和數(shù)學證明

1、關(guān)于長期成本曲線與短期成本曲線關(guān)系的理論分析和數(shù)學證明2004年第2期總第282期企業(yè)經(jīng)濟ENTERPRISEEC0N0MYNO.2.2004SerlalNO.282關(guān)于長期成本曲線與短期成本曲線關(guān)系的理論分析和數(shù)學證明唐玉蘭-,唐群,楊圣宏(1.深圳廣播電視大學,廣東深圳518000;2.江西科技師范學院,江西南昌330013;3.深圳職業(yè)技術(shù)學院,廣東深卸l5180oo)摘要】微觀經(jīng)濟學中通常用"數(shù)學坐標曲線"來研究長期成本與短期成本曲線的關(guān)系.本文根據(jù)市場經(jīng)濟的發(fā)展需求,在經(jīng)濟分析確定產(chǎn)量和長期總成本時,對企業(yè)短期生產(chǎn)要素進行調(diào)整;為了達到總成本取得最小值的目的,我們

2、將在建立短期成本曲線與長期成本曲線數(shù)學模型的基礎(chǔ)上,采用多元復合函數(shù)求導取極值的方法,對短期成本曲線與長期成本曲線的關(guān)系作了深入探討,并進行了嚴格的數(shù)學證明.關(guān)鍵詞】短期成本曲線;長期成本曲線;證明中圖分類號】F406.72文獻標識碼】A文章編號】10065024(2004)02002903在微觀經(jīng)濟學的理論研究中,闡述了長期成本與短期成本關(guān)系的如下命題:命題I:長期總成本曲線是短期總成本曲線簇的包絡曲線;命題:長期平均成本曲線是短期平均成本曲線簇的包絡曲線;命題:長期平均成本曲線與某特定的短期平均成本曲線的切點和長期邊際成本曲線與對應的短期邊際成本曲線的交點,有相同的橫坐標(即產(chǎn)量相同).由

3、于在眾多的經(jīng)濟學論著中,未對上述命題作出全面,嚴格的數(shù)學證明,因此.對長期成本與短期成本關(guān)系的理論分析常出現(xiàn)不同的解釋.為此,本文對此問題進行深入探討,并對上述命題進行數(shù)學證明.一,關(guān)于長期成本與短期成本關(guān)系的理論分析在經(jīng)濟學中,成本(COST)是指生產(chǎn)者為使用生產(chǎn)要素而支付的一切費用.一般的意義上講,成本可分類如下表短期成本長期成本短期固定成本短期總成本STC長期總成本LTC短期可變成本短期平均固定成本短期平均成本SAT長期平均成本LAC短期平均可變成本短期邊際成本SMC長期邊際成本LMC經(jīng)濟學中在研究成本時,短期是指廠商不能根據(jù)所要達到的產(chǎn)量來調(diào)整其全部生產(chǎn)要素的時期.也就是說,企業(yè)在生產(chǎn)

4、投入中一部分生產(chǎn)要素,如:工人的工作,原料,燃料和輔助材料等可變成本,會隨著生產(chǎn)數(shù)量的多少而改變,而投入的機器,廠房,設(shè)備和管理人員的工資等生產(chǎn)要素為固定成本,在一定的時期不隨產(chǎn)量的變化而改變.短期總成本是固定成本與可變成本之和.而長期是指廠商根據(jù)所要達到的產(chǎn)量來調(diào)整全部生產(chǎn)要素的時期.因此,長期中一切生產(chǎn)要素都是可以凋整的.進行經(jīng)濟理論分析時,短期內(nèi),因不可調(diào)整的生產(chǎn)要素為固定成本,所研究的問題是怎樣確定產(chǎn)量,而使短期平均成本最低.在長期,因為所有生產(chǎn)要素都可進行調(diào)整,研究的問題是,怎樣根據(jù)市場需求確定的產(chǎn)量來凋整在短期內(nèi)不可凋整的生產(chǎn)要素,而使總成本最低?從這個意義上講,廠商在各種產(chǎn)量水平

5、上的最低總成本即為長期總成本.并在此基礎(chǔ)上研究長期平均成本與長期邊際成本的變化規(guī)律,特別是他們和短期平均成本與短期邊際成本的關(guān)系.經(jīng)濟理論中,常將成本的變動規(guī)律用橫坐標表示產(chǎn)量,縱坐標表示成本的成本曲線,這樣,長期成本與短期成本的關(guān)系就可表示為長期成本曲線與短期成本曲線關(guān)系的命題I,.如圖:(1)(2)(3),圖中曲線LTC,LAC,LMC分別表示長期總成本曲線,長期平均成本曲線,長期邊際成本曲線;曲線STC,SAC,sMC分別表示短期總成本曲線,短期平均成收稿日期】20031118f作者簡介】唐玉蘭(1956一),女,江蘇建湖人,深圳廣播電視大學副教授,主要從事經(jīng)濟學研究;唐群(1960一)

6、,女,江西豐城人.江西科技師范學院副教授,研究方向為經(jīng)濟學和微觀經(jīng)濟學;楊圣宏(1941一),男.江西南昌人,深圳職業(yè)技術(shù)學院教授,主要從事數(shù)學研究.一29企業(yè)經(jīng)濟2004年第2期總第282期本曲線,短期邊際成本曲線.TC0圖(2)長期平均成本LAC圖(3)長期邊際成本曲線LMC二,關(guān)于長期成本曲線與短期成本曲線關(guān)系數(shù)學證明(一)命題I的證明短期總成本c是由短期內(nèi)不能凋整的生產(chǎn)要素(如廠房,設(shè)備,管理人員等)的成本F,和隨產(chǎn)量Q變化的生產(chǎn)要素(如原材料,人工等)成本組成,所以,短期總成本可記為C=C(Q,Fo)1)式中F.是F在短期內(nèi)取的固定值.當Q變化時,(1)式表示短期總成本c隨產(chǎn)量Q變化

7、的短期總成本曲線.在長期中,一切生產(chǎn)要素都是可以調(diào)整的,總成本中除了短期內(nèi)隨產(chǎn)量Q變化的生產(chǎn)要素的成本外,在短期內(nèi)不能調(diào)整的生產(chǎn)要素成本F也可調(diào)整為不同的值,此時,總成本可記為C=C(Q,F)2)式中F是可調(diào)整的變數(shù),(2)式中F每凋整為一個固定值F.時,即得到(1)式確定的一條短期總成本曲,隨著F的調(diào)整值變化,(2)式表示一簇短期總成本曲線.問題是在長期中,生產(chǎn)廠商怎樣隨著由市場需求確定的產(chǎn)量Q,來調(diào)整短期內(nèi)不能凋整的生產(chǎn)要素的成本F值,而使總成本C最低?設(shè)生產(chǎn)廠商根據(jù)市場變化決定產(chǎn)量Q取定值Qo,此時總成本C隨F的調(diào)整而變化,得到C=C(Q.,F)3)為使總成本C取最小值,將(3)式對F求

8、導數(shù),并令其為零,得到dF=dQo?dF+=0一'aF一Qo為定值.:0:04)一3O一設(shè)滿足(4)的解為:F=F(Qo)5)即產(chǎn)量為Q.時,生產(chǎn)廠商將F的值調(diào)整為F(Qo)時,總成本最小,最小值為C=C(Qo,F(Qo)當產(chǎn)量為Q.時,生產(chǎn)廠商將F的值調(diào)整為F(Q)時.此時得到表示為產(chǎn)量Q函數(shù)的長期總成本C=C(Q,F(Q)6)其中F(Q)滿足:=04')(6)式即為長期總成本曲線的方程.下面證明,長期總成本曲線(6)是短期總成本曲線簇(2)的包絡曲線.當Q=Q.時,容易驗證長期總成本曲線(6)與短期總成本曲線簇(2)中,F取滿足(4)式的定值F(Qo)的一條短期總成本曲線C

9、=C(Q,F(Qo)7)有公共點P(Qo,Co),其中Co=C(Qo,F(Qo)又長期總成本曲線(6)過點P的切線斜率為s)+')F(Q)滿足4')式.=0s',而短期總成本曲線(7)Et點P的切線斜率為K,:dc(e9)一IQ:IQ=%-I-?dF(Qo)F()為常數(shù),.?.dF(Qo)=0故,:Q=%9')顯然,=l.:%=l.:%Kl=K1故長期總成本曲線(6)和短期總成本曲線(7)在公共點P處有公切線,長期總成本曲線(6)與短期總成本曲線(7)相切.即證得長期總成本曲線(6)是短期成本曲線簇(2)的包絡一Q一關(guān)于長期成本曲線與短期成本曲線關(guān)系的理論分析和

10、數(shù)學證明曲線(二)命題II的證明通過(2)式表示的一簇短期總成本曲線.可得短期平均成本曲線簇.曲線c=通過(6)式表示的長期總成本曲線,可得長期平均成本=下面證明,長期平均成本曲線(11)是短期平均成本曲線簇(1O)的包絡曲線.當Q=Qo時,容易驗證長期平均成本曲線(11)與短期平均成本曲線簇中,取滿足(4)式的定值的一條短期平均成本曲線:l2)0l,有公共點s(Qo,-i:),其中一C(Qo,F(Qo)LoQo又長期平均成本曲線(11)過點S的切線斜率為=晶專Q'QQQ=QdQJQ:QnQj.KC(Qo,F(+Qo)一Qo0n式中K-為(8)式中長期總成本曲線(6)在點P處切線的斜率

11、.而短期平均成本曲線(12)過點的切線斜率為=晶)=專Q?_C(Q.F(】ldC(Q,F(Qo)IQdQIQ:%.K.2C(.,.Q.o.,.V.(.Q,.o.)一QoQo!專C(Q'F(式中K!為(9)式中短期總成本曲線(7)在點P處切線的斜率.由命題I的證明知K.=KKl(4故長期平均成本曲線(11)與短期平均成本曲線(12)在點處公切線,長期平均成本曲線(11)和短期平均成本曲線(12)相切.即證得長期平均成本曲線(11)是短期平均成本曲線簇(10)的包絡曲線.(三)命題III的證明由命題II的證明知,(11)式表示的長期平均成本曲線與(12)式表示的特定的一條短期平均成本曲線有切點S(Q.Co),其橫坐標表示的產(chǎn)量為Q.又邊際成本是成本對產(chǎn)量的變化率,由命題I.II的證明知,長期邊際成本為LMC=所以長期邊際成績曲線過點M1(Qo,),又由(8)式知,M即為點(Qo,K);而由與特定的短期平均成本曲線(12)對應的短期總成本曲線(7),可得對應的短期邊際成本為sMc=所以,對應的短期邊際成本曲線過點M(Qo,JQ:),又由(9)式知,Mz即為點(,K2).由命題I的證明知K-=K:,所以,點M.和M:點重合為點M.此即證得長期平均成本曲線與特定的某短期平均成本曲線的切點S,和長期邊際成本曲線與對應的短期邊際成本曲線的交