小學(xué)六年級奧數(shù)-第十二章-抽屜原理

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第三章抽屜原理知識要點1. 抽屜原理的一般表述(1)假設(shè)有 3 個蘋果放入2 個抽屜中， 必然有一個抽屜中至少有2 個蘋果。 它的一般表述為：第一抽屜原理：(mn 1) 個物體放入n 個抽屜，其中必有一個抽屜中至少有(m1) 個物體。(2) 若把 3 個蘋果放入 4 個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。它的一般表述為：第二抽屜原理：(mn 1) 個物體放入n 個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有(m1) 個物體。2. 構(gòu)造抽屜的方法常見的構(gòu)造抽屜的方法有：數(shù)的分組、染色分類、圖形的分割、剩余類等等。例 1( 第十一屆“華羅庚金杯”邀請賽試題) 自制的一副玩具牌共計52張( 含四種牌：紅

2、桃、紅方、黑桃、黑梅，每種牌都有1 點，2點， 13 點牌各一張 ) ，洗好后背面朝上放。一次至少抽取張牌， 才能保證其中必定有2 張牌的點數(shù)和顏色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有 3 張牌的點數(shù)是相鄰的 ( 不計顏色 ) ，那么至少要取張牌。點撥對于第一問， 最不利的情況是兩種顏色都取了1 13 點各一張， 此時再抽一張， 這張牌必與已抽取的某張牌的顏色與點數(shù)都相同。點撥對于第二問，最不利的情況是：先抽取了1， 2， 4， 5， 7，8， 10， 11， 13 各 4 張，此時再取一張，這張牌的點數(shù)是3，6，9，12中的一張，在已抽取的牌中必有3 張的點數(shù)相鄰。解(1)13 ×

3、2 127( 張 )(2)9 ×4 1 37( 張 )例 2證明： 37 人中， (1) 至少有 4 人屬相相同； (2) 要保證有 5 人屬相相同，但不保證有6人屬相相同，那么人的總數(shù)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？點撥可以把 12 個屬相看做12 個抽屜，根據(jù)第一抽屜原理即可解決。解(1)因為 37÷123 1，所以，根據(jù)第一抽屜原理，至少有3 1 4( 人 ) 屬相相同。(2) 要保證有 5 人的屬相相同的最少人數(shù)為4×12 1 49( 人 )不保證有6 人屬相相同的最多人數(shù)為5×12 60( 人)所以，總?cè)藬?shù)應(yīng)在49 人到 60 人的范圍內(nèi)。例 3有一副撲克牌共

4、54 張，問：至少摸出多少張才能保證：(1) 其中有 4 張花色相同？(2)四種花色都有？點撥首先我們要弄清楚一副撲克牌有2 張王牌， 四種花色， 每種有 13 張。(1) 按最不利原則先取出2 張為王牌， 再取 4 張均不同花色， 再連續(xù)取兩次4 張也均不同花色，這時必能保證每一花色都有3 張，再取 1 張即可達到要求。(2) 仍需按最不利原則去取牌，先是2 張王學(xué)習(xí)必備歡迎下載牌，接著依次把三種花色的牌全部取出13×3，這時假設(shè)仍是沒有四種花色，再取 1 張即可。解 (1)2 4×3 1 15( 張)答：至少摸15 張牌才能保證其中有4 張牌花色相同。(2)213

5、15;3 1 42( 張)答：至少摸出42 張牌才能保證四種花色的牌都有。例 4 學(xué)校買來紅、黃、藍三種顏色的球，規(guī)定每位學(xué)生最多可以借兩種不同顏色的球。那么至少要來幾名學(xué)生借球，就能保證必有兩名學(xué)生借的球的顏色完全相同？點撥 根據(jù)題中“最多可借兩種不同顏色的球” ，可知最多有以下 6 種情況：把以上 6 種借球情況看做6 個“抽屜”，只要借球人數(shù)超過6，就可以知道他們中間至少有兩人借的球的情況完全相同。比6 大的最小整數(shù)是7。解 借球有 6 種情況， 看做 6 個抽屜， 所以至少要來 7 名學(xué)生借球， 才能保證有兩名學(xué)生借的球的顏色完全相同。例 5 從前面 30 個自然數(shù)中最少要取出幾個數(shù)，

6、才能保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù)，其中較大的數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)？點撥 把 1 30 這 30 個自然數(shù)分成下面 15 組： 1 ， 2， 4， 8， 16 ， 3 ， 6，12， 24 ， 5 ，10， 20 ， 7 ， 14， 28 ， 9 ，18 ， 11 ， 22 ，13 ， 26 ， 15 ， 30 ， 1 7 ， 19 ，21 ，23， 25)， 27，29，在這15 組中，每組中的任意兩個數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，故可把這15 組看做 15 個抽屜，至少要取出16 個數(shù)才能達到題目的要求。解由于 1 30 這 30 個自然數(shù)可分成 15 組： 1 ， 2， 4， 8， 16 ， 3 ， 6，1

7、2， 24 ， 5 ，10， 20 ，7 ， 14，28 ， 9 ，18 ， 1 ，22 ，13 ，26 ，15 ，30 ，17 ，19 ， 29 ?？闯?15 個抽屜， 因此至少要取 16 個數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù)， 其中較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)。例 6邊長為 1 的正方形中，任意給定13 個點，其中任意三點都不共線。試說明其中至少有 4 個點，以此4 點為頂點的四邊形面積不超過1。4點撥把正方形分成四個相同的小正方形，如下圖，可作為四個抽屜。解把正方形平均分成四個相同的小正方形，每個正方形的面積為1， 134×3 1，故413 個點至少有4 個點在同一個小正方形，以此4

8、點為頂點的四邊形的面積不超過小正方形的面積，即不超過原正方形面積的1。4例 7 平面上給定六個點，沒有三點共線。每兩點用一條紅線段或黃線段連接起來，試說明由這些線段圍成的三角形中，至少有一個三角形，它的三條邊同色。學(xué)習(xí)必備歡迎下載點撥連彩線的方法很多，如果一一畫圖證結(jié)論，不可取，故用抽屜原理解決。解因為有六個點， 每個點都要引出五條線段， 據(jù)抽屜原理， 任意一點引五條線段中至少有三條線段同色，不妨設(shè)是紅色 ( 如右圖紅色線段為實線，藍色線段為虛線 ) ，這時三角形 a2a3a4 會出現(xiàn)兩種顏色情況。(1) 若a2 a3 ，a3a4， a2a4 中有任意一條線段為紅的，那么這條紅線段與它的兩個端

9、點與a1引出的兩條線段組成一個紅三角形。(2)若 a2a3 ，a3a4， a2a4 中沒有一條線段是紅色的，則a2a3a4 為一個藍色三角形。綜上所述，無論(1) 還是 (2)，題目結(jié)論都成立。說明可證明若把兩種顏色連線換成人與人之間的相識或不相識關(guān)系， 6 人之間至少有 3 人互相認(rèn)識或不認(rèn)識。就可以解決實際問題：結(jié)果解題技巧利用抽屜原理解決實際問題時，要按以下三個步驟思考：1. 確定把什么當(dāng)做“抽屜”；2. 確定把什么當(dāng)做“物體”；3. 如果條件滿足“抽屜少、物體多”就能根據(jù)抽屜原理得出結(jié)論。要學(xué)會構(gòu)造抽屜。 有時在不同的題目中， 相同的對象， 有時當(dāng)做“抽屜”， 有時當(dāng)做“物體”，到底誰

10、當(dāng)做抽屜，要因題而異，靈活應(yīng)用。構(gòu)造抽屜的方法有：數(shù)的分組，染色分類，圖形分割，剩余類等等。競賽能級訓(xùn)練A 級1. 要在 30 米長的水泥臺上放16 盆花，不管怎么放，至少有幾盆之間的距離不超過2 米？2. 幼兒園買來不少小熊、小兔、小狗玩具，每位小朋友都分到其中一、二或三種。某班有40 人，他們當(dāng)中至少有幾人擁有的玩具相同？3. 在一個邊長為 1 的正三角形內(nèi)隨意放置 10 個點，試說明其中至少有兩個點之間的距離不超過 1。34. 用黑、紅兩種顏色將一個長9、寬 3 的矩形中的邊長為1 的小正方形隨意涂色，試證必有兩列涂色情況一樣。5. 從整數(shù) 1，2，3， 199，200 中任選 101

11、個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其中的一個是另一個的倍數(shù)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載6. 在 10×10 方格紙的每個方格中， 任意填入 1，2，3，4 四個數(shù)之一。 然后分別對每個 2×2 方格中的四個數(shù)求和。在這些和數(shù)中，至少有多少個和相同？7.從八個連續(xù)自然數(shù)中任意選出五個，其中必有兩個數(shù)的差等于4，試分析之。8.任意給定七個自然數(shù)，說明其中必有四個數(shù)，它們的和為4 的倍數(shù)。9.從 3， 6， 9， 81， 84 這些數(shù)中，任意選出 16 個數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的和等于90，試說明之。10.任意給定七個不同的自然數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和或差是10 的倍數(shù)，試說明之。1

12、1.能否在10 行 10 列的方格中的每個空格處分別填上1， 2， 3 這三個數(shù)，使大正方形的每行、每列及兩條對角線的各個數(shù)字和互不相同？12.能否把1 7 這七個數(shù)排成一圈， 使任意兩個相鄰數(shù)的差等于2 或 3？如果能， 請排出來；如果不能，請說明理由。13. 有一個矩形，它由三行若干列小格組成。對于這個矩形的小方格用兩種顏色涂色，至少有多少列才能保證其中必有兩列的涂色方法完全相同？14. 平面上給定六個點，沒有三個點在一條直線上，每兩點用一條紅色線段或藍色線段連接起來。試說明這些線段圍成的三角形中，至少有兩個同色三角形。15. 庫房里有一批籃球、排球、足球和手球，每人任意搬運兩個，至少有多

13、少人搬運才能保證有 5 人搬運的球完全一樣？16. 在一個 3×4平方米的長方形盤子中，任意撒入5 個豆， 5 個豆中距離最小的兩個豆的最大距離是幾米？( 這時盤子的對角線長為5 米 )17. 某中學(xué) 1999 名學(xué)生去游故宮、 景山和北海三地， 規(guī)定每人至少去一處， 至多去兩地游覽，那么至少有多少人游的地方相同？18. 一個 3 行 7 列的 21 個小方格的長方形，每個小方格用紅或黃中的一種顏色涂色。證明：不論如何涂色， 一定能找到一個由小方格組成的長方形， 它的四個角上的小方格具有相同的顏色。B 級1. 某店有 126 箱蘋果， 每箱至少有 120 個蘋果， 最多有 144 個

14、蘋果。 現(xiàn)將蘋果個數(shù)相同的箱子作為一組。如果其中箱子數(shù)最多的一組有n 個箱子，那么押的最小值是多少？2. 在 1 ，2， n 中，任意取 10 個數(shù)，使得其中有兩個數(shù)的比值不小于2，且不大于 3。32求 n 的最大值。3. 把 1， 2，3， 1993，1994 ，1995 置于一個圓周上，請設(shè)計一種方法，使其相鄰數(shù)之間的差不超過 2。4. 從 1， 2，3， 1988，1989 這些自然數(shù)中，最多可取多少個數(shù)，其中每兩個數(shù)的差不等于 4?5. 四個人聚會， 每人各帶了兩件禮品，分贈給其余三個人中的兩人。試證明：四個人中至少有兩對，每對是互贈過禮品的。6. 一排長椅共有 90 個座位，其中一些

15、座位已經(jīng)有人就座了。這時，又來了一個人要坐在這排長椅上， 有趣的是， 他無論坐在哪個座位上都與已經(jīng)就座的某個人相鄰。原來至少有幾人學(xué)習(xí)必備歡迎下載已經(jīng)就座？7. 把 1， 2，3， 8，9，10 任意擺放在一個圓圈上，每相鄰的三個數(shù)組成一個和數(shù)。試說明其中至少有一個和數(shù)不小于17。8. 已知線段AB 的長是 1 米，在 AB上共有 11 個點，那么其中必有兩點之間的距離1 米。109. 從 1 到 1994 這些自然數(shù)中，任取 998 個不同的數(shù)。試證：其中必有兩個數(shù)，它們的差是997。10. 世界中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽滿分是42 分，有 450 名選手參加。 (1) 比賽結(jié)束后是否一定能找到12 人

16、，這 12 人所得的分?jǐn)?shù)相同？(2) 比賽結(jié)束后是否一定能找到11 人，這 11 人所得的分?jǐn)?shù)相同？為什么？11. 某人步行 10 小時， 走了其余每小時都走了整數(shù)千米。45 千米。已知他第一小時走了 5 千米，最后一小時走了 3 千米，證明在中間 8 小時當(dāng)中， 一定存在連續(xù)的兩小時， 這人至少要走 10 千米。12. 在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12 這 12個自然數(shù)中，任意選取8 個不同的數(shù)，其中必有兩對數(shù)，每對數(shù)的差是1。能力測試一、選擇題 ( 每題 6 分，共 30 分 )1. 一副撲克牌有 54 張，至少抽取 ( ) 張，才能保證其中必有一張“ A”。A.4

17、9B.50C.51D.522. 有紅、黃、藍、綠四色的小球各10 個，混合放在一個布袋里。一次摸出8 個小球，其中至少有()個小球的顏色是相同的。A.3B.2C.83. 某班的小圖書庫中有詩歌、 童話、小人書三類課外讀物， 規(guī)定每位同學(xué)最多可以借閱兩種不同類型的書。 至少有 ( ) 位同學(xué)來借閱圖書， 才一定有兩位同學(xué)借閱的書的類型相同。A.10B.8C.74.第三十一屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽于1990 年7 月在北京舉行， 全世界52 個國家的308 名選手參加了競賽。按組委會規(guī)定，每個國家的選手不得超過6 名，至少有()個國家派6 名選手參賽。A.50B.48C.455.某中學(xué)有10

18、位老師，每位至少與另外9 位中的7 位認(rèn)識， 我們必可從中找出()位，他們彼此認(rèn)識。A.6B.4C.5二、填空題 ( 每題 6 分，共 30 分 )1. 袋子里有 4 種不同顏色的小球， 每次摸出 2 個。要保證有 10 次所摸出的結(jié)果是一樣的，至少要摸 ( ) 次。2.從 1，2，3， 1994 這些數(shù)中最多可以選出()個數(shù)，使其中每兩個數(shù)的差不等于4。3. 某班有 27 名同學(xué)排成三路縱隊外出參觀，同學(xué)們都戴著紅色或白色的太陽帽。在9 個學(xué)習(xí)必備歡迎下載橫排中，至多有()排同學(xué)所戴的帽子的顏色順序不同。4. 任意給定四個自然數(shù)： a b c d，在 b a， c a， d a， c b，d b， d c 這六個差中，可保證有 ( )個是 3 的倍數(shù)。5.一副撲克牌共 54張( 其中 2 張王牌 ) ，至少從中抽