第三章敘述統(tǒng)計量

1、第三章敘述統(tǒng)計量1. 某地區(qū)的牛奶經(jīng)銷站負(fù)責(zé)人為了要瞭解牛奶在此地區(qū)銷售的遠(yuǎn)景，特別觀察最近 50 天的銷售記錄，其銷售量如下：23、60、79、32、 57、 74、52、 69、 81、 33、71、77、81、95、40、65、91、 81、 60、55、 53、 76、 15、75、88、26、91、81、67、56、 42、 73、84、 55、 65、 72、89、60、43、96、 35 、 67、 18、 82、 69、 74、 62、 83、 86、 64試求 (1) 平均數(shù)， (2) 中位數(shù)， (3) 眾數(shù)， (4) 變異係數(shù)。50xi解： (1)平均數(shù) xi 1= 322

2、3/ 50= 64.4650(2) 先將上表作排序，如下表15 18 23 26 32 33 35 40 42 4352 53 55 55 56 57 60 60 60 6264 65 65 67 67 69 69 71 72 7374 74 75 76 77 79 81 81 81 8182 83 84 86 88 89 91 91 95 96因全部 50 項，所以中間兩個數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)，即第 50/ 2= 25 項與 50/2+1=26 項兩個位置之?dāng)?shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。而中位數(shù)Me= (67+ 69)/ 2= 68(3)求眾數(shù)由上表發(fā)現(xiàn)81 出現(xiàn)次數(shù)最多，即知81 為眾數(shù)。(4)

3、先求標(biāo)準(zhǔn)差利用未分組標(biāo)準(zhǔn)差之公式( xix)2xi2(xi )2 / nsn 1=n=20.7231變異係數(shù). .s100%=20.723C Vx100% 32.15%64.46精品文檔你我共享2. 有 75 位選手參加某次高爾夫球比賽，成績(桿數(shù) ) 如下：桿數(shù)666768697071727374人數(shù)361322168241試求 (1) 平均數(shù)， (2) 中位數(shù)， (3) 眾數(shù)， (4) 變異係數(shù)，(5) 全距， (6) 標(biāo)準(zhǔn)差。解：(1) 平均數(shù)66367668136922701671872273474175= 5200/ 75= 69.33(2) 中位數(shù)因全部 75 項，所以中間數(shù)值即為

4、中位數(shù)，即第 (75+1)/ 2= 38 項，由表可知 69 為中位數(shù)。(3)眾數(shù)由表發(fā)現(xiàn)69 出現(xiàn)次數(shù)最多，即知69 為眾數(shù)。(4)變異係數(shù) cv100% = 1.47100% 2.12%69.33(5) 全距 R=74- 66= 8(6) 標(biāo)準(zhǔn)差= 1 N(xi)2 fi = 1 3( 66 69.33) 2. (74 69.33) 2N i 175= 1.473. 某商學(xué)院企管系甲班有女生35 人且知統(tǒng)計學(xué)期末考平均成績?yōu)?6 分，標(biāo)準(zhǔn)差7 分，而男生有16 人其統(tǒng)計學(xué)期末考平均成績?yōu)?2 分，標(biāo)準(zhǔn)差為8 分，試求全班之平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差。解：由題意知：x女 =86， s女 =7； x男

5、=82， S男 =8腹有詩書氣自華由標(biāo)準(zhǔn)差公式sxi2nx 2xi2(n1)s2nx 2n172+35 862 =260526所以可知xi2女(n女1)s女2n女 x女2 =34x2男(n男1)s男2n男 x男2=1582+16822 =108544i全班之平均成績xn女x女n男x男35 86 1682n女n男5184.75全班成績之標(biāo)準(zhǔn)差s(260526108544)51(84.75) 250=7.434. 有 26 個銷售量如下：97888211585908896869798778195416592855576521064757825試求全距、四分位距、第一四分位數(shù)Q1、第二四分位數(shù)Q2

6、、第三四分位數(shù) Q3 。解：先將資料由小到大排序10 25 41 52 55 64 65 75 76 77 78 81 82 85 85 86 88 88 90 9295 96 97 97 98 115(1) 全距為 115-10= 105(2) 四分位距為 105 26.25 4(3)第一四分位數(shù)的所在位置為1 266.5 ，不為整數(shù)，故取第74個位置的數(shù)值，即 Q1 = 65。(4)第二四分位數(shù)即中位數(shù)的所在位置為113 ，為整數(shù)，故262取第 13 與第 14 個位置的數(shù)值之平均，即Q2 =82 85 = 83.5。2精品文檔你我共享(5) 第三四分位數(shù)的所在位置為32619 5，不為整

7、數(shù)，故取第4.20 個位置的數(shù)值，即Q3=92 。5. 全班 50 人參加考試成績是鐘型分佈，平均分?jǐn)?shù)72 分，標(biāo)準(zhǔn)差 8分試問：(1)全班約有多少人不及格？(2)全班約有多少人超過90 分？(3)有一位學(xué)生成績 75分請問他排前幾名？解：x 72 ， s= 8(1)P( X 60)P( X726072 )P(Z1.5)0.06688850×0.0668= 3.34 ，所以約有3 個人不及格。(2)P( X 90)P( X729072 )P(Z2.25)0.01228850×0.0122=0.61 ，所以沒有人超過90 分。(3)P( X 75)P( X727572 )P(

8、Z0.375)0.353858850×0.35385=17.6925 ，所以為第18 名。6. 有一次數(shù)分配表如下：組別次數(shù)30.25-30.75430.75-31.25231.25-31.75832.25-32.752433.25-33.751434.25-34.75634.75-35.252試求 (1) 平均數(shù)， (2) 中位數(shù)， (3) 眾數(shù)， (4) 標(biāo)準(zhǔn)差， (5) 變異係數(shù)，腹有詩書氣自華(6) 偏態(tài)係數(shù)。解：組別組界組中點 (xi )次數(shù) (fi )f i xifi xi2130.25-30.7530.541223721230.75-31.25312621922331.

9、25-31.7531.582527938432.25-32.7532.52478025350533.25-33.7533.51446915711.5634.25-34.7534.562077141.5734.75-35.25352702450總計nf if i xifi xi2= 60= 1962= 64234(1)f i xi1962。平均數(shù) x32.7n60(2)總次數(shù) n= 60 ，故中位數(shù)位置在第60/ 2= 30 項，而第 30 項落於第 4組 (32.25-32.75) 。所以利用分組後之中位數(shù)公式得：nn130142中位數(shù)Me Lh =32.25+0.5 =32.58 。24f(

10、3) 由次數(shù)分配表知，眾數(shù)組在32.25-32.75 這一組中 (組次數(shù) 24為最多 )，此時利用分組後眾數(shù)之公式：金氏插補(bǔ)法：Mo Lmof 1hmo =32.25+140.5 =32.568f 1f 1814克如伯比率法：精品文檔你我共享MoLmof0f 124 80.5 =32.5582 f0f 1hmo =32.25+f 1224814皮爾生法： xMo3( xMe )首先必須先求出此次數(shù)分配的平均數(shù)及中位數(shù)，由(1) 可知中位數(shù) Me=32.58 且利用分組後的求法得出平均數(shù) xfixi196232.7n60Mo= x3( xMe )32.73( 32.732.58 ) = 32.3

11、4(4)s4(30.532.7) 2. 2(3532.7)2591.139(5)cvs100%1.139 100% 3.483%x32.7(6)偏態(tài)係數(shù) Sk3( xMe )3( 32.732.58 )s0.3161.1397. 某高中期末考，某班學(xué)生50 人，數(shù)學(xué)科平均成績?yōu)?6 分，標(biāo)準(zhǔn)差 7 分；英文科平均成績?yōu)?0 分，標(biāo)準(zhǔn)差為8.5 分。試比較該班級在數(shù)學(xué)科與英文科兩科目上的成績表現(xiàn)。解：數(shù)學(xué)及格人數(shù)的比例P(XM60)X M766076P(Z2.286)0.989P()77英文及格人數(shù)的比例P(X E60)X E806080P( Z2.353)0.991 ，由 此P()8.58.5

12、可知英文及格人數(shù)比例較多，成績較佳。8. 某商學(xué)院國貿(mào)系甲、乙、丙三個班級的經(jīng)濟(jì)學(xué)平均成績分別為73.5分、 75 分、 72.2 分，而甲班人數(shù) 42 人、乙班人數(shù) 45 人、丙班人數(shù) 47 人，試求全部學(xué)生的總平均成績。腹有詩書氣自華解：4273.545754772.242454773.5489. 最近一項電信特考共有 1000 人報考，要錄取的平均分?jǐn)?shù)為 175 分，而投考人分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差90 人，已知投考人11 分，現(xiàn)有一位投考人分?jǐn)?shù)是220 分，請問他是否可以考上。解：設(shè) T 表可考上的最低分?jǐn)?shù)P( ZT 175)900.09 P( Z 1.34 )111000T1751.3411T=1

13、89.74， 220>189.74 ，故可考上。10. 設(shè)某一觀察值的Z 值為 2，標(biāo)準(zhǔn)差為22，且此觀測值為32，請問該組資料的平均數(shù)為何？32x12解： 2x2211. 試述何謂變異係數(shù)，並敘述其統(tǒng)計意義。解：全距、四分位差、平均絕對差及標(biāo)準(zhǔn)差都帶有與原始資料相同的單位，這些都是所謂的絕對分散度之衡量統(tǒng)計量，僅能表示一組統(tǒng)計資料的分散情形，但如果要比較兩組或兩組以上單位不同或雖然單位相同但其性質(zhì)差異甚大的統(tǒng)計資料，單用絕對分散度之衡量統(tǒng)計量不能判斷其分散程度到底哪一個大、哪一個小。這時需要用相對分散度之衡量統(tǒng)計量來作比較。所謂的相對分散度之衡量統(tǒng)計量即絕對分散度之衡量統(tǒng)計量與某一中央

14、趨勢之衡量統(tǒng)計量或其它適當(dāng)數(shù)量之比，常以百分比表示，精品文檔你我共享且它與原來的單位無關(guān)。一般最常用的相對分散度之衡量統(tǒng)計量是變異係數(shù)，通常以 cv 表示，變異係數(shù)乃標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)比值的百分?jǐn)?shù)，即：變異係數(shù)（ coefficient of variance）或 cvs 100% 。cv100%x12. 簡述平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)之意義及應(yīng)用上之差異。解： (1) 平均數(shù) 未分組資料的平均數(shù)各個資料數(shù)值總和除以資料的項數(shù)即平均數(shù)。令x1.x2 . xn 為任何統(tǒng)計資料的n 個數(shù)值， x 為平均數(shù)，則xx1 x2xnxinn 已分組資料的平均數(shù)f1 x1f 2 x2f k xkfi xif i xi

15、xf 2fkf inf 1其中 xi 為各組組中點，f i 為各組次數(shù)。(2) 中位數(shù) 未分組資料的中位數(shù)若資料項數(shù)為奇數(shù)，其中間位置即n1的數(shù)值為中位數(shù)；若2資料項數(shù)為偶數(shù)，則中間兩個數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)，即n 與2n1兩個位置之?dāng)?shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。2 已分組資料的中位數(shù)nn12Me Lh -(4)f腹有詩書氣自華nn22或Me Uh -(5)f在以上二式中Me =中位數(shù)L =中位數(shù)所在組之下限f =中位數(shù)所在組之次數(shù)h =中位數(shù)所在組之組距n1 =小於 L 各組之次數(shù)和U =中位數(shù)所在組之上限n2 =大於 U 各組之次數(shù)和n =總次數(shù)(3) 眾數(shù) 未分組資料的眾數(shù)在未分組的統(tǒng)計資料中尋找

16、眾數(shù)可先依數(shù)值大小排列，其中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值即為眾數(shù)；若某一數(shù)值在全部統(tǒng)計資料中佔最大比例時，不必將資料排列也可找到眾數(shù)。 已分組資料的眾數(shù)在一次數(shù)分配表內(nèi)，眾數(shù)應(yīng)在次數(shù)最多的一組中，這一組通常被稱為眾數(shù)組 (Mode class)。眾數(shù)組的組中點即為眾數(shù)，這是最簡單求得眾數(shù)的方法。但眾數(shù)組的組中點會隨著組距及組界之變動而變動，非常不確定。眾數(shù)是次數(shù)曲線最高峰下面一點的數(shù)值。因此，如果能確知最高峰的位置就能確定眾數(shù)，但配合的曲線不一定能符合事實。又若資料呈對稱分配，眾數(shù)組的組中點即為眾數(shù)；若資料的分配呈偏態(tài)，則眾數(shù)組的組中點就不一定是眾數(shù)，所以求得的眾數(shù)也不能說是真正的眾數(shù)。求分組資料之眾數(shù)

17、的方法很多，一般最常見的有以下三種計算公式：(1) 金氏 (W.I. King) 插補(bǔ)法(2) 克如伯 (E. Czuber) 比率法(3) 皮爾生 (K. Pearson) 法精品文檔你我共享若論應(yīng)用上之差異：前面介紹的中央趨勢之衡量統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。這些統(tǒng)計量都各有其不同的優(yōu)缺點，因此在選用時，必須考量所用的測量尺度及用途。以測量尺度來看：中央趨勢之 類別資料 順序資料 等距資料 比率資料衡量統(tǒng)計量平均數(shù)不適用不適用適用適用中位數(shù)不適用適用適用適用眾數(shù)適用適用適用適用13. 簡述全距、四分位差、平均絕對差之意義及應(yīng)用上之差異。解： (1) 全距全距為測量分散度之最簡單的方法，計

18、算容易、意義明顯。日常生活中用全距的例子很多，例如，每日氣象報告中均可看到最高溫和最低溫；股價指數(shù)行情中也有最高價和最低價；尤其工廠品質(zhì)管制最常應(yīng)用全距作管制圖。但全距的缺點為易受極端值影響，未能考慮到全部資料的變動情形，很多時候是資料的全距相同，但中間部分?jǐn)?shù)值差異很大，因此用全距來衡量資料分散程度的結(jié)果並不可靠，它也會受抽樣以及樣本大小不同的影響，使用時必須考量資料本身的性質(zhì)。(2) 四分位差若將統(tǒng)計資料中數(shù)值特別大或特別小的去掉，只剩下中間部分的數(shù)值來測定分散度，就可以更正全距的缺點，其中最簡單常用的便是四分位差。四分位差是把資料去掉兩端最大值及最小值各 25%的觀察值只剩中間部分 50%

19、的觀察值，再求這 50% 資料的全距。通常先算出第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)。第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的差即所謂的四分位距，通常以符號 IQR ；而四分位距的一半則為四分位差，通腹有詩書氣自華常以符號QD 表示QDQ3Q12其中，Q1 為第一四分位數(shù)(First Quartile)Q3 為第三四分位數(shù)(Third Quartile)(3) 平均絕對差平均絕對差是簡單的分散度之衡量統(tǒng)計量，通常以MAD示，與全距和四分位差不同的是它將統(tǒng)計資料中每一個數(shù)值都考慮在內(nèi)，受極端值的影響又比較小，所以在樣本數(shù)不多時，常用平均絕對差來測定資料的分散情況。平均絕對差為一組統(tǒng)計資料各數(shù)值與某一中央趨勢之衡量統(tǒng)計

20、量( 通常為平均數(shù)或中表位數(shù) )差之絕對值的平均數(shù)。由於在計算平均絕對差時討論的是各數(shù)值與某一中央趨勢之衡量統(tǒng)計量的距離，不計正負(fù)號，因此牽扯到絕對值的計算使得公式的演算變得較為複雜。14. 試說明形狀之衡量統(tǒng)計量的種類及其意義。解：形狀之衡量統(tǒng)計量是衡量一組資料是否對稱，資料分佈形狀峰度有多高等的問題。最常用的是偏態(tài)係數(shù)及峰態(tài)係數(shù)。(1) 偏態(tài)係數(shù)所謂偏態(tài) (skewness)係指次數(shù)分配形態(tài)不對稱的程度。在對稱分配的統(tǒng)計資料中眾數(shù)、平均數(shù)與中位數(shù)在同一點上；次數(shù)分配如有偏斜則眾數(shù)、平均數(shù)及中位數(shù)分離。若次數(shù)分配向右偏斜則眾數(shù)、平均數(shù)及中位數(shù)之間的關(guān)係是：x Me Mo ；若次數(shù)分配向左偏斜

21、則它們之間的關(guān)係是：x Me Mo 。次數(shù)分配的偏斜度愈大，三個中央趨勢之衡量統(tǒng)計量分離的愈遠(yuǎn)。 偏態(tài)係數(shù) (coefficient of skewness)3( xMe )Sks精品文檔你我共享其中， x 是樣本平均數(shù)，Me 是中位數(shù)， s 是樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(2) 峰度係數(shù)次數(shù)分配的高峰有高而狹，有低而闊等等，這種高峰的形態(tài)叫做峰度。在次數(shù)分配中有一種特殊的次數(shù)分配叫做常態(tài)分配 (Normal distribution) ，而常態(tài)分配的高峰叫做常態(tài)峰(Mesokurtic) ，若次數(shù)分配中較常態(tài)峰高而狹者叫做高狹峰(Leptokurtic) ，較常態(tài)峰低而闊者叫做低闊峰(Platkurtic)

22、 。峰度是指次數(shù)分配的高峰之高聳程度。判斷一組統(tǒng)計資料次數(shù)分配峰度的高低常以常態(tài)峰為標(biāo)準(zhǔn)。峰度雖為次數(shù)分配的特性之一，但用途不多，加上計算繁複，一般只要知道有此形狀之衡量統(tǒng)計量即可。峰度係數(shù)的定義為：(一般以 CK 或 ck 表示峰度係數(shù) )峰度係數(shù)( xi) 4N ，母體：CK4(xix) 4樣本：ckn4s15. 謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則在應(yīng)用上有何差異，用途為何？解： 謝比雪夫定理與經(jīng)驗法則之比較區(qū)間謝比雪夫定理經(jīng)驗法則( xs, xs)至少 0%約 68%( x2s, x2s)至少 75%約95%( x3s, x3s)至少 89%約99.7% Chebyshev 定理只能讓我們得到一個

23、限制，它是多少比例以上或多少比例以下，但它可適用於任何資料分配。 經(jīng)驗法則可較具體告訴我們約有多少比例的訊息，但它的限制條件便是只適用於常態(tài)分配或者近似於常態(tài)分配也可以。腹有詩書氣自華16. 試說明共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)間之意義與關(guān)係。解： (1) 若 cov(X, Y) 0，則 r XY0 ，表變數(shù) X，Y 具正線性相關(guān)。(2) 若 cov(X, Y) 0，則 rXY0 ，表變數(shù)X， Y 具負(fù)線性相關(guān)。(3) 若 cov(X, Y) 0，則 rXY0 ，表變數(shù)X， Y 不具線性相關(guān)。其中， cov(X, Y) 的值在 (- , )之間，故無法從數(shù)值大小判斷其相關(guān)程度；相關(guān)係數(shù)的值在 -1,1 之

24、間，故由 rXY 的大小及正負(fù)可知 X， Y 相關(guān)程度的大小及方向。17. 以下是一份教育年數(shù) (X)與月薪 (Y)間之調(diào)查數(shù)據(jù)，試計算其共變異數(shù) cov(X,Y)與樣本相關(guān)係數(shù)r XY 。i教育年數(shù) xi (年 )月薪 yi ( 千元 )11125212333112241541581861028711328122491753101126解：精品文檔你我共享xyxyx2y2112527512162512333961441089112224212148415416152251681818144643241028280100784113235212110241224288144576175390128928091126286121676總和 1183023779145010072cov(X,Y)( xix )( yi y)n11xiyin 1xi yin1(118)(302)377910923.933( xix)2( xi )22sx21xi21(118)14506.4n 1nn1910腹有詩書氣自華sy2( yiy) 21yi2(yi ) 2n1nn1105.733r =cov( X ,Y )23.933=23