(完整word版)高一數(shù)學(xué)必修一典型題例

1、飛躍教育例 1 求下列函數(shù)的定義域：f (x)：f(x) 3x 2:f(x) . x 1一 .x 22 x分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定+如果只給出解析式y(tǒng) f (x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)x的集合解：Tx-2=0，即 x=2 時，分式無意義，x 2而x 2時，分式有意義，.這個函數(shù)的定義域是x | x 2.x 22 3x+20，即 XV-2時，根式3x 2無意義，3而3x20，即xf時，根式3x 2才有意義,這個函數(shù)的定義域是x|xI-T當(dāng)x 10 且 2 x 0，即卩x1且x:2時,根式.x 1和分式1同時有意義，2 x這個函數(shù)的

2、定義域是x|x1且x2另解：要使函數(shù)有意義，必須：x 1 0 x12x 0 x2這個函數(shù)的定義域是：x|x1且x 2強(qiáng)調(diào)：解題時要注意書寫過程，注意緊扣函數(shù)定義域的含義由本例可知，求函數(shù)的定義域就是根據(jù)使函數(shù)式有意義的條件，布列自變量應(yīng)滿足的不等式或不等式組，解不等式或不等式組就得到所求的 函數(shù)的定義域.例 2 已知函數(shù)f (x)=3x2-5x+2，求 f(3), f(-2), f(a+1).飛躍教育解：f(3)=3x32-5X3+2=14;f(-2)=3x(-、2)2-5X(-,2)+2=8+52;f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a.例 3 下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y x

3、是同一個函數(shù)？y Vx2；y Vx3；y Jx22解：y x=x(x 0) ,y 0，定義域不同且值域不同，不 是；y3x3=x(x R) ,y R，定義域值域都相同，是同一個函 數(shù)；y x2= |x|=x，x 0,yo;值域不同，不是同一個函數(shù)xx 0例 4 下列各組中的兩個函數(shù)是否為相同的函數(shù)？yi(X 3)(x 5) y x 5(定義域不同)x 3y1x 1、x 1y2.(x 1)(x 1)(定義域不同)f1(x)( 2x 5)2f2(x) 2x 5(定義域、值域都不同)0(x 0)例 1 已知f(x)f (1)2;(x 0)f( 1) 0; f (0)fff(1) 1x1(x 0)例

4、2 已知 f(x)=x21g(x)=x 1求 fg(x)解：fg(x)= (、x 1)21=X+2、x例 3 求下列函數(shù)的定義域:飛躍教育f (x)八4 x21f(x)X23X4|x 1 2飛躍教育解：要使函數(shù)有意義，必須：4 x21即:函數(shù)f(x)八4 x21的定義域為：.3, 3疋義域為：x|x1 或 1x0例 4 若函數(shù)y一.ax2ax1的定義域是 R，求實數(shù) a 的取值范Va圍f(x)f(x)時J|x 2| 313.3X72要使函數(shù)有意義，必須：x 3 或 3 x 1 或 x 4二定義域為： x|x 3 或3要使函數(shù)有意義，必須：函數(shù)的定義域為：x|x4要使函數(shù)有意義，必須：x23x

5、4 0 x4 或 x1x 1 2 0 x3 且 x 13 x 1 或 x 4x 01x 010 x1x11x1,1021 -xR 且 x 0, 1,1才要使函數(shù)有意義，必須:x 23 03x 70即x 3 二定義域為：小R7- 3X 7 - 3飛躍教育解：定義域是 R, ax2ax丄0 恒成立，飛躍教育a 0a24a10ay f(x1) f(x -)的定義域.44解：要使函數(shù)有意義，必須:函數(shù)y f(x丄)f(x1)的定義域為:44求用解析式 y=f(x)表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況：1若 f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;2若 f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0

6、 的實數(shù)集;3若 f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或 等于 0 的實數(shù)集合；4若 f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使 各部分式子都有意義的實數(shù)集合；5若 f(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合 實際問題.例 6 已知 f(x)滿足2f(x)f(1) 3x,求f(x)；xT已知2f(x) f (1) 3xx，將中 x 換成1得2f(i)f(x)-,xxxX2-得3 f (x) 6x -x二f (x)2x -.x二等價于例 5 若函數(shù)y f(x)的定義域為1 ,1,求函數(shù)x|；飛躍教育例 7 設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x 2)f(2 x

7、)且f (x)=0 的兩實根平方和為 10,圖象過點(0,3),求f(x)的解析式.解：設(shè)f(x) ax2bx c(a 0),T圖象過點(0,3),二有 f(0)=c=3,故 c=3;又 f(x)滿足f(x 2)f(2 x)且f(x)=0 的兩實根平方和為 10,二得對稱軸 x=2 且x12x22(x1x2)22x1x2= 1 0 ,2即2且厶10，a=1, b=-4，f(x)x24x 32a a a四、練習(xí)：1.設(shè)f(x)的定義域是3,2,求函數(shù)f(,x 2)的定義域-解：要使函數(shù)有意義，必須：3, x 2. 2得：1, x 2. 2/ x 0/. 0 . x 220 x 6 4.2二函數(shù)f

8、C、x 2)的定域義為：x|0 x 6 4,22 .已知 f(x)是一次函數(shù)，且 ff(x)=4x1,求 f(x)的解析式+解：設(shè) f(x)=kx+b 貝卩 k(kx+b)+b=4x 1k24(k 1)b1、 f(x)2x3或f(x)2x 13.若f( X 1) x 2 x,求 f(x)解法一(換元法)：令 t=-X 1則 x=t21, t 1 代入原式有2 2f (t) (t 1)2(t 1) t 1f(x) x21(x 1)解法二(定義法)：x 2 x C.x 1)21飛躍教育 f(x 1) G-x 1)21、x 11飛躍教育f (x) x2 1(x 1)例 1 判斷下列對應(yīng)是否映射？有沒

9、有對應(yīng)法則?例 3 判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合 A 到集合 B 的映射?(1)設(shè) A=1，2, 3, 4，B=3，4, 5, 6, 7, 8,b rp 1*(是)(不(是)是映射的有對應(yīng)法則，對應(yīng)法則是用圖形表示出來的例 2 下列各組映射是否同一映射?9,acaeabbcgcbb飛躍教育對應(yīng)法則f:x 2x 1(2)設(shè)A N*, B 0,1，對應(yīng)法則f :x X 除以 2 得的余數(shù)飛躍教育（3）AN,B 0,1,2,f：x x 被 3 除所得的余數(shù)111（4）設(shè)X 1,2,3,4, Y 1,_,_,_f：x x 取倒數(shù)2 3 4（5）A x|x 2,xN, B N,f : x 小于 x 的最大

10、質(zhì)數(shù)例 1 某種筆記本每個 5 元，買 x 123,4個筆記本的錢數(shù)記為 y（元），試寫出以 x 為自變量的函數(shù) y 的解析式，并畫出這個函數(shù)的 圖像.解：這個函數(shù)的定義域集合是123,4，函數(shù)的解析式為y=5x，x 1,2,3,4.它的圖象由 4 個孤立點 A （1， 5） B （2，10） C（3，15） D（4，20）組成，如圖所示+例 2 國內(nèi)投寄信函（外埠），每封信函不超過 20g 付郵資 80 分， 超過 20g 而不超過 40g 付郵資 160 分，依次類推，每封 x g（00 時,值域為y|y(4ac b)；當(dāng) a0，.y x =(yfx -)222，xvx22 , + ）.（

11、此法也稱為配方法）函數(shù)y x丄的圖像為：x2. 二次函數(shù)比區(qū)間上的值（最值）:例 2 求下列函數(shù)的最大 最小值與值域:y x24x 1；y x24x 1,x3,4；y x24x 1,x 0,1;y x24x 1,x0,5；解：Ty x24x 1 （x 2）23，.頂點為（2,-3），頂點橫坐標(biāo)為 2.T拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域 R ,.x=2 時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是y|y -3 .2T頂點橫坐標(biāo) 2 3,4,fi3r i J2i11-2 -112 3 4 5 6 x-1/-2丿-37當(dāng) x0 時，則當(dāng)x2b-時，其最小值ymin2a(4ac b2).4a當(dāng) a0）時

12、或最大值（a0）時，再比較f（a）, f（b）的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?2若xoa,b,則a,b是在f（x）的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f（a）, f（b）的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（小）值；飛躍教育當(dāng)頂點橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端 點的位置關(guān)系進(jìn)行討論飛躍教育3. 判別式法（法）：判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數(shù)是否為 0 的討論.:,=(y+5)2+4(y 1)x6(y+1) 0再檢驗 y=1 代入求得 x=2由此可得Vx=2 時例 3 .求函數(shù)y2x2x54的值域方法一：去分母

13、得(y 1)x2+(y+5)x 6y 6=0由此得（5y+1）20.檢驗y 5時1562(5)（代入求V2 定義域 x| x2 且x 3x25x 6x2x 6方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)綜上所述，函數(shù)y的值域為 y| y(X 2)(x 3)(x 2)(x 3)飛躍教育判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式解題中要注意二次項系數(shù)是否為 0 的討論.x25xx2x 66的值域為 y| y 1 且 y說明：此法是利用方程思想來處理函數(shù)問題，一般稱判別式法.飛躍教育4. 換元法例 4 .求函數(shù)y 2x 4 1 x的值域解：設(shè)t . 1 x則 t 0 x=1t2代入得y f (t)2 (1 t

14、2) 4t 2t24t 22(t 1)245. 分段函數(shù)例 5 .求函數(shù) y=|x+1|+|x-2|的值域.解法 1 :將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：2x 1(x1)3( 1 x 2)，畫出它的圖象(下圖)，由圖2x 1( x 2)象可知，函數(shù)的值域是y|y 3.解法 2：T函數(shù) y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點 x 到兩定點-1, 2的距離之和，二易見 y 的最小值是 3,.函數(shù)的值域是3, + .如圖兩法均采用“數(shù)形結(jié)合”，利用幾何性質(zhì)求解，稱為幾何法或圖 象法.說明：以上是求函數(shù)值域常用的一些方法(觀察法、配方法、判 別式法、圖象法、換元法等)，隨著知識的不斷學(xué)習(xí)和經(jīng)驗的不斷積 累，

15、還有如不等式法、三角代換法等.有的題可以用多種方法求解， 有的題用某種y31O2x -1 O 12-1 Ox 12-1 O 12 x飛躍教育方法求解比較簡捷，同學(xué)們要通過不斷實踐，熟悉和掌飛躍教育握各種解法，并在解題中盡量采用簡捷解法是減函數(shù).解：函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5,其中y f(x)在區(qū)間-5，-2)，1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2，1)，3，5上是增函數(shù).說明：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的， 對于單獨的一點，由 于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單 調(diào)性問題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)， 對于

16、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上 也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點例 2 證明函數(shù)f(x) 3x 2在 R 上是增函數(shù).證明：設(shè),X2是 R 上的任意兩個實數(shù)，且X1VX2，則f(xjf區(qū))=(3XJ+2)-(3X2+2)=3(X1X2),由x1x2X，得x1x20 ,于是f (x1)f (x2)0,即f (x1)f (x2).例 1如圖6 是定義在閉區(qū)間5上的函數(shù)yf(x)的圖象，根據(jù)說出y f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在 單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y f(x)是增函y-5，,171圖象-5曠

17、3 ，每一 數(shù)還飛躍教育f(x) 3x 2在 R 上是增函數(shù).例 3 證明函數(shù)f(x)1在(0,+ )上是減函數(shù).x證明：設(shè)X-X2是(0,+ )上的任意兩個實數(shù)，且X!0,又由Xi0 ,于是f (Xi)f (X2)0,即卩f (Xi)f (X2)1 f(X)-在(0,+)上是減函數(shù).X例 4.討論函數(shù)f(X) X22aX 3在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.解：Tf(X) X22ax 3 (x-a)23 a2，對稱軸Xa 若a 2,則f(x) x22ax 3在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若2 a 2則f(x) x22ax 3在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù)，在a,2內(nèi)是增函 數(shù)若a 2,則f(x) x22ax

18、3在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).i. 函數(shù)單調(diào)性的證明例 i .判斷并證明函數(shù)f(x) x3的單調(diào)性證明：設(shè)XiX2則32f(Xi)f(X2)XiX2(XiX2)(Xi2 2XiX2X2)22 ,X2、23X22XiX2 XiX20,XiXix2x2(xiT)40,-f(Xi)f(X2) 0即f(Xi)f(X2)(注：關(guān)鍵f(Xi)f(X2)0的判斷)飛躍教育-f(x) X3在 R 上是增函數(shù).2. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷對于函數(shù)y f(u)和u g(x)，如果u g(x)在區(qū)間(a,b)上是具有單調(diào)性，當(dāng)x (a,b)時，u (m, n)，且y f(u)在區(qū)間(m, n)上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)

19、y f(g(x)在區(qū)間(a,b)具有單調(diào)性的規(guī)律見下表：y f(u)增/減u g(x)增減增減y f(g(x)增減減增以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”證明：設(shè)x1, x2(a,b)，且x1x2Tu g(x)在(a,b)上是增函數(shù)，二g(xj g(x2),且g(xJ,g(X2)(m,n)Ty f (u)在(m, n)上是增函數(shù)，二f(g(xj) gg).所以復(fù)合函數(shù)y f(g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)一2設(shè)x1,x2(a,b)，且x1x2,Tu g(x)在(a,b)上是增函數(shù)，g(xj g(x2)，且g(xJ,g(X2)(m,n)Ty f (u)在(m, n)上是減

20、函數(shù)，f (g(x1) g(x2).所以復(fù)合函數(shù)y f(g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù).飛躍教育3設(shè)xX2(a,b)，且XiX2,Tu g(x)在(a,b)上是減函數(shù)，飛躍教育數(shù)二次函數(shù)u 2 x2區(qū)間(,0)上是減函數(shù)，在區(qū)間0,)上是增函當(dāng)u (,1)時，2 x2(,1),即2 x21,x當(dāng)u 1,)時，2 X21,)，即2 x21,1x1.二g(xj g(x2)，且g(xJ,g(X2)(m,n)Ty f (u)在(m,n)上是增函數(shù)，f(g(xi) g(x2).所以復(fù)合函數(shù)y f(g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù).設(shè)xX2(a,b)，且XiX2,Tu g(x)在(a,b)上是減函數(shù)

21、，二g(xj g(x2), 且g(xJ,g(X2)(m,n)Ty f (u)在(m, n)上是減函數(shù)，f(g(xi) g(x2).所以復(fù)合函數(shù)y f(g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)一例 2.求函數(shù)y 8 2(2 x2) (2 x2)2的值域，并寫出其單調(diào)區(qū)間解：題設(shè)函數(shù)由y 8 2u u2和u 2 x2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),函數(shù)u 2 x2的值域是(,2,在y 8 2u u29 (u 1)2(,2上的值域是(,9.故函數(shù)y 8 2(2 x2) (2 x2)2的值域是(,9.對于函數(shù)的單調(diào)性，不難知二次函數(shù)y 8 2u u2在區(qū)間(,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間1,)上是增函數(shù)；個y飛躍教育因此，本

22、題應(yīng)在四個區(qū)間（，1）, 1,0）,0,1）,1,）上考慮+1當(dāng)X （, 1）時，u 2 X2（,1）,而u 2 x2在（，1）上是增函數(shù)，y 8 2u u2在（,1）上是增函飛躍教育綜上所述，函數(shù)y 8 2（2 x2） （2 x2）2在區(qū)間（，1）、0,1）上是增函數(shù)；在區(qū)間1,0）、（,1上是減函數(shù).另外，本題給出的復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)，在討論具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性時，應(yīng)注意應(yīng)用其奇函數(shù)或偶函數(shù)的性質(zhì)， 以使解題過程簡數(shù)，所以，函數(shù)y 8 2（2 x2） （22當(dāng)x 1,0）時，u 2 x21,而u 2 x2在1,0）上是增函數(shù)，所以，函數(shù)y 8 2（2 x2） （23當(dāng)x 0,1）時，u

23、2 X2（1,而u 2 X2在0,1）上是減函數(shù)，所以，函數(shù)y 8 2（2 x2） （24當(dāng)x 1,）時，u 2 x2（而u 2 x2在1,）上是增函數(shù) 數(shù)，所以，函數(shù)y 8 2（2 x2） （2x2）2在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)一），y 8 2u u2在1,）上是減函數(shù)，x2）2在區(qū)間1,0）上是減函數(shù)），y 8 2u u2在（1,）上是減函數(shù),x2）2在區(qū)間0,1）上是增函數(shù)-，y 8 2u u2在（,1上是減函x2）2在區(qū)間1,）上是減函數(shù)+飛躍教育捷、清楚、具有條理性+例 1 某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過 1 年剩留的這種物質(zhì)是原來的 84%畫出這種物質(zhì)的剩留量隨時間變化的圖

24、象，并 從圖象上求出經(jīng)過多少年，剩量留是原來的一半（結(jié)果保留 1 個有效 數(shù)字）一分析：通過恰當(dāng)假設(shè)，將剩留量 y 表示成經(jīng)過年數(shù) x 的函數(shù)，并 可列表、描點、作圖，進(jìn)而求得所求解：設(shè)這種物質(zhì)量初的質(zhì)量是 1，經(jīng)過 x 年，剩留量是 y.經(jīng)過 1 年，84%=0.841;經(jīng)過 2 年，84%=0.842;一般地，經(jīng)過 x 年，剩留量y=0.84x根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系式可以列表如下:xo123456y1o.0.0.0.0.0.847159504235用描點法畫出指數(shù)函數(shù) y=0.84x 的圖象從圖上看出 y=0.5 只需 x答：約經(jīng)過 4 年，剩留量是原來的一半+剩留量剩留量飛躍教育評述：指數(shù)函數(shù)

25、圖象的應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn) 例 2 （課本第 81 頁）比較下列各題中兩個值的大?。?.725，1.73；0.80.1，0.80.2；1.703，0.931解：利用函數(shù)單調(diào)性11.725與1.73的底數(shù)是 1.7， 它們 看成函數(shù) y=1.7x，當(dāng) x=2.5 和 3 時的 值；因為 1.71，所以函數(shù) y=1.7x在 R 函數(shù)，而 2.53，所以，1.72.51.73；20.80.1與0.80.2的底數(shù)是 0.8，它 可以看成函數(shù) y=0.8x，當(dāng) x=-0.1 和-0.2 時的函數(shù)值；因為 00.8-0.2，所以，0.80.11；0.93.10.93.112.826267*-18x =

26、 0.9xx16x=171.20.8-06-i0202050525*-0.20.52.53.5-0.4小結(jié)：對同底數(shù)幕大小的比較用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性， 必須要 明確所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值； 對不同底數(shù)是幕的 大小的比較可以與中間值進(jìn)行比較.們fx =0.8x們1208-06【丨以飛躍教育例 1 求下列函數(shù)的定義域、值域：1y 0.4刁y 3穴y 2x1分析：此題要利用指數(shù)函數(shù)的定義域、 值域，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象.注意向?qū)W生指出函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量 x 的取值范圍+解(1)由 x-1 工 0 得XM1J 所以，0所求函數(shù)定義域為x|xM1x 1由，得 y

27、M1所以，所求函數(shù)值域為y|y0 且 yM1-說明：對于值域的求解，在向?qū)W生解釋時，可以令丄t，考察x 1指數(shù)函數(shù) y=0.4t,并結(jié)合圖象直觀地得到，以下兩題可作類似處理(2) 由 5x-1 0 得x匚5所以，所求函數(shù)定義域為x|x丄 +5由5x 1 0 得 y 1所以，所求函數(shù)值域為y|y 1 +(3)所求函數(shù)定義域為 R由2x0 可得2x+ 11所以，所求函數(shù)值域為y|y1-通過此例題的訓(xùn)練，學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域去求解指 數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，還應(yīng)注意書寫步驟與格式的規(guī)范 性.飛躍教育2x的單調(diào)區(qū)間，并證明解：設(shè)X1X21X22X2則上乜y112X22X11x2x2x

28、,21g 0)(X2X 2)2-X-IX2 X2Xi當(dāng)x1,x2,1時,Xi0這時(X2xj(x2X12) 0即上y1y2y1, 函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)X-I,x21,時,XiX22 0這時(x2x1)(x2x12) 0Xi即里y1y2y1,函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù) y 在,1上單調(diào)遞增，在1,上單調(diào)遞減-解法二、（用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）：設(shè)：u x22x對任意的1 X1X2，有U1U2，又 丁yu是減函數(shù)y1y2x22x2在1,）是減函數(shù)對任意的X-IX21，有U1U2，又Ty1u是減函數(shù)y1y2x22x2在1,）是增函數(shù).引申：求函數(shù)yx22xf的值域(0V2)飛躍教育飛躍教育小結(jié)：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷(

29、見第 8 課時)例 3 設(shè) a 是實數(shù)，f (x) ax2(x R)2x1試證明對于任意 a,f(x)為增函數(shù)；分析：此題雖形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行證明一還應(yīng)要求學(xué)生注意不同題型的解答方法.(1)證明：設(shè) mx R,且治 X2f (xi) f(X2)(ax2) (a2i1222(2xi2x2)xxxx221 21(211)(221)由于指數(shù)函數(shù) y=2x在 R 上是增函數(shù)，且X1X2,所以2x12x2即2x12x20 得2x1+10,2+10所以f(X1)f(X2)0 時，將指數(shù)函數(shù) y=2x的圖象向右平行移動 m 個單位長度，就得到函數(shù) y=2xm的圖象；當(dāng) m1）

30、的圖像在直線 X=1 右側(cè)的部分翻折到飛躍教育飛躍教育1 lx 1直線 X=1 左側(cè)得到y(tǒng)1的圖像，是關(guān)于直線 X=1 對稱2推廣：對于有些復(fù)合函數(shù)的圖象，則常用基本函數(shù)圖象+變換方法作出：基本函數(shù)圖象+變換：即把我們熟知的基本函數(shù)圖象，通過平移、作其對稱圖等方法，得到我們所要求作的復(fù)合函數(shù)的圖象，如上例，這種方法我們遇到的有以下幾種形式：函數(shù)y=f(x)y=f(x+a)a0 時，向左平移 a 個單位；a0 時，向上平移 a 個單位；a0 時，向下平移|a| 個單位.y=f(-x)y=f(-x)與 y=f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱.y=-f(x)y=-f(x)與 y=f(x)的圖象關(guān)于 x

31、軸對稱.y=-f(-x)y=-f(-x)與 y=f(x)的圖象關(guān)于原點軸對稱.y=f(|x1)y=f(|x|)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，x 0 時函數(shù)即y=f(x)，所以 x0 時的圖象與 x 0 時 y=f(x)的圖象 關(guān)于 y軸對稱.飛躍教育y=|f(x)1vy f(x)y=|f(x) 1的圖象f(x), f(x) 0.是 y=f(x) 0 與 y=f(x)0 圖象的組合.y =fi(x)y=fi(x)與 y=f(x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱.以上是在高一階段我們看到的幾種函數(shù)圖象的變換，但隨著知識的增加，還會有許多較復(fù)雜的變換，以后再作研究例 3 探討函數(shù)y ax和y a%(a 0 且

32、 a 1)的圖象的關(guān)系，并證明關(guān)于 y 軸對稱+證：設(shè)P(xi,yi)是函數(shù)y ax(a 0 且 a 1)的圖象上任意一點 則y axi而卩(治，yj關(guān)于 y 軸的對稱點 Q 是(-治，y)二yiaxia( xi)即Q在函數(shù)yax的圖象上.由于 P 是任意取的，所以y ax上任一點關(guān)于 y 軸的對稱點都在y ax的圖象上.同理可證：y ax圖象上任意一點也一定在函數(shù)y ax的圖象上函數(shù)y ax和y ax的圖象關(guān)于 y 軸對稱.解：作出函數(shù)圖像，觀察分析討論，教師引導(dǎo)、整理例 4 已知函數(shù)2xy的定義域、值域求函數(shù)飛躍教育定義域為 R.由y2x得222x2y 2x10Tx R,0,即4y240,

33、二y21,又Ty 0,.解：由 owX2 1,解得-1 x 1/. f(x2)的定義域為1,1.評述：針對題目中函數(shù)關(guān)系抽象的特點，可將f(x)具體化，能有 助于對問題的理解與判斷.設(shè)f(X)=x(1X),它的定義域是0,1, 這時，f(x2)=Jx2(1 X2)的定義域是-1 , 1,由此可見，列舉實 例是處理抽象函數(shù)有關(guān)問題的有效方法.例 2 若函數(shù) f(x)=x2+bx+c 對任意實數(shù) x 都有 f(2+x)=f(2-x),那 么( )A.f(2)vf(1)vf(4)B.f(1)vf(2)vf(4)C.f(2)vf(4)vf(1)D.f(4)vf(2)vf(1)分析：此題解決的關(guān)鍵是將函

34、數(shù)的對稱語言轉(zhuǎn)化為對稱軸方程.解：由 f(2+x)=f(2-x) 可知：函數(shù) f(x)的對稱軸為 x=2,由二次函 數(shù) f(x)開口方向向，可得 f(2)最小，又 f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在 xv2 時，y=f(x)為減函數(shù)V0f(1) f(2)即 f(2) f(1) f(4).答案：A通過此題可將對稱語言推廣如下：(1)若對任意實數(shù) x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，則 x=a 是函數(shù) f(x)例 1 已知函數(shù)f(x)的定義域是0,1,則函數(shù)f(x2)的定義域是飛躍教育的對稱軸(2) 若對任意實數(shù) x,都有 f(a+x)=f(b-x) 成立，則 x 二電丄是 f(

35、x)2的對稱軸.例 3 求 f(x)=x2-2ax+2 在2, 4上的最大值和最小值.解：先求最小值.因為 f(x)的對稱軸是 x=a,可分以下三種情況：(1 )當(dāng) a 2 時，f(x)在2 , 4 上為增函數(shù)，所以f(x)mi n=f(2)=6-4a;(2)當(dāng) 2a 4 時，f(x)在2 , 4 上為減函數(shù)，所以f(x)mi n=f(4)=18-8a64a,(a2)綜上所述：f(x)mi n=22a ,(2a4) +188a,(a2)最 大 值 為f(2)與f(4)中較大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a(1)當(dāng) a3 時，f(2) f(4),則 f(x)max

36、=f(2)=6-4a;當(dāng) av3 時，f(2)vf,則 f(x)max二f(4)=18-8a.6 4a,(a 3)故 f(x)max=8 8a,(a 3)評述：本題屬于二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的飛躍教育系數(shù)含有參數(shù)，對稱軸是變動的，屬于“軸動區(qū)間定”，由于圖象開 口向上，所以求最小值要根據(jù)對稱軸 x=a 與區(qū)間2, 4的位置關(guān)系， 分三種情況討論；最大值在端點取得時，只須比較f(2)與 f(4)的大小，按兩種情況討論即可，實質(zhì)上是討論對稱軸位于區(qū)間中點的左、 右兩種情況.例 4 函數(shù) f(x)=x2-bx+c，滿足對于任何 x R 都有 f(1+x)=f(1-x), 且f(

37、0)=3,則 f(bx)與 f(cx)的大小關(guān)系是()A.f(bx) f(cx)C.f(bx)vf(cx)D.f(bx)f(cx)分析： 由對稱語言 f(1+x)=f(1-x) 可以確定函數(shù)對稱軸， 從而確 定 b 值，再由 f(0)=3,可確定 c 值，然后結(jié)合 bx,cx的大小關(guān)系及二 次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間使問題得以解決.解：Tf(1+X)=f(1-X)f(x)的對稱軸 x= =12二 b=2,又 f(0)=3,二 c=3,/. f(x)=x2-2x+3.(1) 當(dāng) x0 時，1v2xv3x,且 f(x)在1, +乂)上是增函數(shù)所以 f(2x)vf(3x),即 f(bx)vf(cx).(2)

38、當(dāng) xv0 時，12x3x,且 f(x)在(-乂,1 )上是減函數(shù)，所 以 f(2x)vf(3x)，即 f(bx)vf(c )(3) 當(dāng) x=0 時，2x=3x=1飛躍教育則 f(2x)=f(3x),即 f(bx)=f(cx)綜上所述，f(bx) f(cx).答案：A一、選擇題1、設(shè)集合 A 和集合 B 都是自然數(shù)集合 N,映射f：A B把集合 A 中的元素n映射到集合 B 中的元素2nn,則在映射f下，象 20 的原 象是(A)2(B)3(C)4(D)52、已知不等式為1x3327，則x的取值范圍(A)1x 3(B)1x 3(C)R(D) - x -212233、函數(shù)y 2x1在定義域上的單

39、調(diào)性為(A)在,1上是增函數(shù)，在1,上是增函數(shù)(B)減函(C)在,1上是減增函數(shù)，在1,上是減函數(shù)(D)增函數(shù)飛躍教育4、 函數(shù)f(x)的定義域為 A,函數(shù)y ff(x)的定義域為 B,1 x則(A)ABB(B)A B(C)ABB(D)A B5、 (不做)若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(0,1)，那么f(x 4)的反函數(shù)圖 象經(jīng)過點(A)(4, 1)(B)( 1, 4)(C)( 4, 1)(D)(1, 4)6、 下列式子或表格1y1 axloga(x 1)(a1)2y 2x，其中x 0,123,y 0,2,43x2y21x2y21(y 0)x12345y9089898595其中表示y是x的函數(shù)的是(A)(B)(C)(D)7、(不做)已知函數(shù)y f(x)的反函數(shù)f1(x)的定義域為0,1，那么函數(shù)y f(x m)(m R)的值域是(A) m,1 m( B) 1,0( C)0,1( D) R8 已知函數(shù)f (x)ax2(a3a)x1在(，1上遞增，則a的取值范圍是(A)a . 3( B).