2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第5節(jié) 第1課時 橢圓及其性質(zhì) 教案

1、1第五節(jié)第五節(jié)橢圓橢圓最新考綱1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡單應用1橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點 f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距(2)集合 pm|mf1|mf2|2a， |f1f2|2c， 其中 a， c 為常數(shù)且 a0， c0.當 2a|f1f2|時，m 點的軌跡為橢圓；當 2a|f1f2|時，m 點的軌跡為線段 f1f2；當 2ab0)y2a

2、2x2b21(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點a1(a，0)，a2(a，0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b，0)，b2(b，0)離心率eca，且 e(0，1)a，b，c 的關(guān)系c2a2b2常用結(jié)論21點 p(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系(1)點 p(x0，y0)在橢圓內(nèi)x20a2y20b21(2)點 p(x0，y0)在橢圓上x20a2y20b21(3)點 p(x0，y0)在橢圓外x20a2y20b212焦點三角形如圖，橢圓上的點 p(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的pf1f2叫做焦點三角形設(shè) r1|pf1|

3、，r2|pf2|，f1pf2，pf1f2的面積為 s，則在橢圓x2a2y2b21(ab0)中：(1)當 r1r2時，即點 p 的位置為短軸端點時，最大；(2)sb2tan2c|y0|， 當|y0|b 時， 即點 p 的位置為短軸端點時， s 取最大值，最大值為 bc.(3)ac|pf1|ac(4)|pf1|aex0，|pf2|aex03橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，其中 a 是斜邊長，a2b2c24已知過焦點 f1的弦 ab，則abf2的周長為 4a5橢圓中點弦的斜率公式若 m(x0，y0)是橢圓x2a2y2b21(ab0)的弦 ab(ab 不平行 y 軸)的中點，則有

4、kabkomb2a2，即 kabb2x0a2y06弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長|ab| 1k2|x1x2| （1k2）（x1x2）24x1x2311k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2(k 為直線的斜率)一、思考辨析(正確的打“” ，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個定點 f1， f2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓 ()(2)橢圓上一點 p 與兩焦點 f1，f2構(gòu)成pf1f2的周長為 2a2c(其中 a 為橢圓的長半軸長，c 為橢圓的半焦距)()(3)橢圓的離心率 e 越大，橢圓就越圓()(4)關(guān)于 x，y 的方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓()

5、答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1若 f1(3，0)，f2(3，0)，點 p 到 f1，f2距離之和為 10，則 p 點的軌跡方程是()a.x225y2161b.x2100y291c.y225x2161d.x225y2161 或y225x2161a設(shè)點 p 的坐標為(x，y)，因為|pf1|pf2|10|f1f2|6，所以點 p 的軌跡是以 f1，f2為焦點的橢圓，其中 a5，c3，b a2c24，故點 p 的軌跡方程為x225y2161.故選 a.2設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 f1，f2，過點 f2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點p，若f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()a.22b

6、.212c2 2d. 21d法一：設(shè)橢圓方程為x2a2y2b21(ab0)，依題意，顯然有|pf2|f1f2|，則b2a2c，即a2c2a2c，即 e22e10，又 0eb0)因為橢圓的一個焦點為f(1， 0)， 離心率 e12， 所以c1，ca12，a2b2c2，解得a2c2，b23，故橢圓的標準方程為x24y231.第第 1 課時課時橢圓及其性質(zhì)橢圓及其性質(zhì)考點 1橢圓的定義及應用橢圓定義的應用主要有兩個方面一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為 o，f 是圓內(nèi)一定點，m 是圓周上一動點，把紙片折疊使

7、 m 與 f 重合，然后抹平紙片，折痕為 cd，設(shè) cd 與 om 交于點 p，則點 p 的軌跡是()5a橢圓b雙曲線c拋物線d圓(2)f1， f2是橢圓x29y271 的兩個焦點， a 為橢圓上一點， 且af1f245，則af1f2的面積為()a7b.74c.72d.7 52(1)a(2)c(1)由題意可知，cd 是線段 mf 的垂直平分線，|mp|pf|，|pf|po|pm|po|mo|(定值)又|mo|fo|，點 p 的軌跡是以 f，o 為焦點的橢圓，故選 a.(2)由題意得 a3，b 7，c 2，|f1f2|2 2，|af1|af2|6.|af2|2|af1|2|f1f2|22|af1

8、|f1f2|cos 45|af1|24|af1|8，(6|af1|)2|af1|24|af1|8.|af1|72，saf1f212722 22272.本例(1)應用線段中垂線的性質(zhì)實現(xiàn)了“|pf|po|”向定值的轉(zhuǎn)化；本例(2)把余弦定理與橢圓的定義交匯在一起，借助方程的思想解出|af1|，從而求得af1f2的面積教師備選例題設(shè) f1，f2分別是橢圓x225y2161 的左、右焦點，p 為橢圓上任意一點，點 m的坐標為(6，4)，則|pm|pf1|的最小值為_5由橢圓的方程可知f2(3， 0)， 由橢圓的定義可得|pf1|2a|pf2|.|pm|pf1|pm|(2a|pf2|)|pm|pf2|

9、2a|mf2|2a，當且僅當 m，p，f2三點共線時取得等號，又|mf2| （63）2（40）25，2a10，|pm|pf1|5105，6即|pm|pf1|的最小值為5.已知 f1，f2是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的兩個焦點，p 為橢圓 c上的一點，且 pf1pf2，若pf1f2的面積為 9，則 b_3設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2，則r1r22a，r21r224c2，所以 2r1r2(r1r2)2(r21r22)4a24c24b2，所以 spf1f212r1r2b29，所以 b3.考點 2橢圓的標準方程定義法先根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義，并確定 a2，b2的值

10、，再結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件 2a|f1f2|.1.在abc 中，a(4，0)，b(4，0)，abc 的周長是 18，則頂點 c的軌跡方程是()a.x225y291(y0)b.y225x291(y0)c.x216y291(y0)d.y216x291(y0)a由|ac|bc|188108 知，頂點 c 的軌跡是以 a，b 為焦點的橢圓(a，b，c 不共線)設(shè)其方程為x2a2y2b21(ab0)，則 a5，c4，從而 b3.由 a，b，c 不共線知 y0.故頂點 c 的軌跡方程是x225y291(y0)2已知兩圓 c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2

11、y29，動圓在圓 c1內(nèi)部且和圓 c1相內(nèi)切，和圓 c2相外切，則動圓圓心 m 的軌跡方程為()a.x264y2481b.x248y2641c.x248y2641d.x264y24817d設(shè)圓 m 的半徑為 r，則|mc1|mc2|(13r)(3r)16，又|c1c2|816，動圓圓心 m 的軌跡是以 c1，c2為焦點的橢圓，且 2a16，2c8，則a8，c4，b248，故所求的軌跡方程為x264y2481.利用定義法求軌跡方程時，注意檢驗所求軌跡是否是完整的曲線，倘若不是完整的曲線，應對曲線中的變量 x 或 y 進行限制待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)， 再定量， 即首先確定焦點

12、所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于 a，b 的方程組如果焦點位置不確定，可設(shè)橢圓方程為 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式1.已知橢圓的中心在原點， 以坐標軸為對稱軸， 且經(jīng)過兩點32，52 ，( 3， 5)，則橢圓方程為_y210 x261設(shè)橢圓方程為 mx2ny21(m，n0，mn)由322m522n1，3m5n1，解得 m16，n110.橢圓方程為y210 x261.2過點( 3， 5)，且與橢圓y225x291 有相同焦點的橢圓的標準方程為_y220 x241法一：橢圓y225x291 的焦點為(0，4)，(0，4)，即 c4.由橢圓的定義知，2a （ 30）2（ 54）2 （ 30

13、）2（ 54）2，解得 a2 5.由 c2a2b2可得 b24，所求橢圓的標準方程為y220 x241.8法二：所求橢圓與橢圓y225x291 的焦點相同，其焦點在 y 軸上，且 c225916.設(shè)它的標準方程為y2a2x2b21(ab0)c216，且 c2a2b2，故 a2b216.又點( 3， 5)在所求橢圓上，（ 5）2a2（ 3）2b21，則5a23b21.由得 b24，a220，所求橢圓的標準方程為y220 x241.3設(shè) f1，f2分別是橢圓 e：x2y2b21(0b1)的左、右焦點，過點 f1的直線交橢圓 e 于 a，b 兩點若|af1|3|f1b|，af2x 軸，則橢圓 e 的

14、方程為_x232y21不妨設(shè)點 a 在第一象限，如圖所示af2x 軸，a(c，b2)(其中 c21b2，0b1，c0)又|af1|3|f1b|，由af13 f1b得 b5c3，b23 ，代入 x2y2b21得25c29b49b21.又 c21b2，b223.9故橢圓 e 的方程為 x232y21.(1)已知橢圓上兩點，常設(shè)方程為 mx2ny21(m0，n0，mn)；(2)橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為2b2a.考點 3橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的長軸、短軸、焦距求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，如：頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時要結(jié)合圖形進行分析(1)已知

15、橢圓x2m2y210m1 的長軸在 x 軸上，焦距為 4，則 m 等于()a8b7c6d5(2)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)，若長軸長為 6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程為_(1)a(2)x29y281(1)因為橢圓x2m2y210m1 的長軸在 x 軸上，所以m20，10m0，m210m，解得 6mb0)的左、右兩個焦點，若橢圓上存在點 p 使得 pf1pf2，則該橢圓的離心率的取值范圍是()a.55，1b.22，1c.0，55d.0，22bf1，f2是橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右兩個焦點，0e1，f1(c，0)，f2(c，0)，c2a2b2.設(shè)點

16、p(x，y)，由 pf1pf2，得(xc，y)(xc，y)0，化簡得 x2y2c2.聯(lián)立方程組x2y2c2，x2a2y2b21，整理得，x2(2c2a2)a2c20，解得 e22.又 0e1，22ebc0，a2b2c2)的左、右焦點分別為 f1，f2，若以 f2為圓心，bc 為半徑作圓 f2，過橢圓上一點 p 作此圓的切線，切點為 t，且|pt|的最小值不小于32(ac)，則橢圓的離心率 e 的取值范圍是_35，22因為|pt| |pf2|2（bc）2(bc)，而|pf2|的最小值為 ac，所以|pt|的最小值為 （ac）2（bc）2.依題意，有 （ac）2（bc）232(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以 ac2(bc)，所以 a