2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第四節(jié) 橢圓 教案

1、1第四節(jié)第四節(jié)橢圓橢圓核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合橢圓的定義，考查應(yīng)用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)結(jié)合橢圓的定義，考查應(yīng)用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)2結(jié)合橢圓的定義結(jié)合橢圓的定義、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、幾何圖形幾何圖形，會(huì)求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)會(huì)求橢圓方程及解與幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)理清主干知識(shí)理清主干知識(shí)1橢圓的定義橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1，f2的距離的和等于的距離的和等于常數(shù)常數(shù)(大于大于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓的點(diǎn)的軌跡叫做

2、橢圓這兩個(gè)定這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距焦距集合集合 pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中，其中 a0，c0，且，且 a，c 為常數(shù)為常數(shù)(1)若若 ac，則集合，則集合 p 為橢圓為橢圓(2)若若 ac，則集合，則集合 p 為線段為線段(3)若若 ab0)，3所以所以c1，ca13，c2a2b2，解得解得 a29，b28.故橢圓故橢圓 c 的方程為的方程為x29y281.4(求參數(shù)求參數(shù))橢圓橢圓 x2my21 的焦點(diǎn)在的焦點(diǎn)在 y 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則倍，則 m_.解析解析

3、：橢圓橢圓 x2my21 可化為可化為 x2y21m1，因?yàn)槠浣裹c(diǎn)在因?yàn)槠浣裹c(diǎn)在 y 軸上軸上，所以所以 a21m，b21，依題依題意知意知1m2，解得，解得 m14.答案答案：14二、易錯(cuò)點(diǎn)練清二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1(忽視橢圓定義中忽視橢圓定義中 2a|f1f2|) 到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn) f1(2,0)和和 f2(2，0)的距離之和為的距離之和為 4 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡是是()a橢圓橢圓b線段線段c圓圓d以上都不對(duì)以上都不對(duì)答案：答案：b2(忽視對(duì)焦點(diǎn)位置的討論忽視對(duì)焦點(diǎn)位置的討論)若橢圓的方程為若橢圓的方程為x210ay2a21，且此橢圓的焦距為且此橢圓的焦距為 4，則實(shí)則實(shí)數(shù)數(shù)a_.解析：解析：

4、當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，軸上時(shí)，10a(a2)22，解得，解得 a4；當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，軸上時(shí)，a2(10a)22，解得，解得 a8.答案答案：4 或或 83(忽視橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件忽視橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件)已知點(diǎn)已知點(diǎn) p 是橢圓是橢圓x25y241 上上 y 軸右側(cè)的一點(diǎn)軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以且以點(diǎn)點(diǎn)p 及焦點(diǎn)及焦點(diǎn) f1，f2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于為頂點(diǎn)的三角形的面積等于 1，則點(diǎn)，則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_(kāi)解析解析：設(shè)設(shè) p(x，y)，由題意知由題意知 c2a2b2541，所以所以 c1，則則 f1(1,0)，f2(1,0)由題由題意可得點(diǎn)意可得點(diǎn) p 到到

5、 x 軸的距離為軸的距離為 1，所以所以 y1，把把 y1 代入代入x25y241，得得 x152，又又 x0，所以所以 x152，所以，所以 p 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為152，1或或152，1.答案答案：152，1或或152，1考點(diǎn)一考點(diǎn)一橢圓定義的應(yīng)用橢圓定義的應(yīng)用4考法考法(一一)利用定義求軌跡方程利用定義求軌跡方程例例 1(2021濟(jì)南調(diào)研濟(jì)南調(diào)研)已知兩圓已知兩圓 c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動(dòng)圓動(dòng)圓 m 在在圓圓c1內(nèi)部且和圓內(nèi)部且和圓 c1相內(nèi)切，和圓相內(nèi)切，和圓 c2相外切，則動(dòng)圓圓心相外切，則動(dòng)圓圓心 m 的軌跡方程為的軌跡方程為()a.x264y2481b

6、.y264x2481c.x248y2641dx264y2481解析解析設(shè)圓設(shè)圓 m 的半徑為的半徑為 r，則，則|mc1|mc2|(13r)(3r)168|c1c2|，所以所以 m 的軌跡是以的軌跡是以 c1，c2為焦點(diǎn)的橢圓為焦點(diǎn)的橢圓，且且 2a16,2c8，故所求的軌跡方程為故所求的軌跡方程為x264y2481.答案答案d考法考法(二二)求解求解“焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題問(wèn)題例例 2橢圓橢圓 c：x2a2y21(a1)的左的左、右焦點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，p 為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一為橢圓上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)點(diǎn)， pf1， pf2的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為 m， n， o 為坐

7、標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 四邊形四邊形 ompn 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 2 3， 則則pf1f2的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是()a2( 2 3)b42 3c. 2 3d 22 3解析解析如圖，由于如圖，由于 o，m，n 分別為分別為 f1f2，pf1，pf2的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以 ompf2，onpf1，且，且|om|12|pf2|，|on|12|pf1|，所以四邊形所以四邊形 ompn 為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以 ompn 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為2(|om|on|)|pf1|pf2|2a2 3，所以所以 a 3，又知，又知 a2b2c2，b21，所以所以 c2a212，所以，所以|f1f2|2c2 2，所以

8、所以pf1f2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 2a2c2 32 22( 2 3)，故選，故選 a.答案答案a考法考法(三三)利用定義求最值利用定義求最值例例 3設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) p 是橢圓是橢圓 c：x28y241 上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，f 為橢圓為橢圓 c 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)定點(diǎn) a(2,1)，則則|pa|pf|的取值范圍是的取值范圍是_解析解析如圖所示如圖所示， 設(shè)設(shè) f是橢圓的左焦點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)， 連接連接 af， pf， 則則 f(2,0)，5|af| 4212 17.|pf|pf|2a4 2，|pa|pf|pa|2a|pf|2a|af|4 2 17，|pa|pf|pa|2a|pf|2a(|pf|pa|)

9、2a|af|4 2 17.|pa|pf|的取值范圍是的取值范圍是4 2 17，4 2 17 答案答案4 2 17，4 2 17 方法技巧方法技巧橢圓定義應(yīng)用的類型及方法橢圓定義應(yīng)用的類型及方法求方程求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義，便可直通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角焦點(diǎn)三角形問(wèn)題形問(wèn)題利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中的定義、正弦定理或余弦定理，其中|pf1|pf2|2a 兩邊

10、平方是常用技兩邊平方是常用技巧巧求最值求最值抓住抓住|pf1|與與|pf2|之和為定值之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求可聯(lián)系到利用基本不等式求|pf1|pf2|的最的最值；利用定義值；利用定義|pf1|pf2|2a 轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1(多選多選)(2021日照模擬日照模擬)已知已知 p 是橢圓是橢圓x29y241 上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，且，且 cosf1pf213，則，則()apf1f2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 12bspf1f22 2c點(diǎn)點(diǎn) p 到到 x 軸的距離為軸的距離為2 1

11、05dpf1pf22解析解析： 選選 bcd由橢圓方程知由橢圓方程知 a3， b2， 所以所以 c 5， 所以所以|pf1|pf2|6， 于是于是pf1f2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 2a2c62 5，故，故 a 選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)錯(cuò)誤；在在pf1f2中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cosf1pf2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|2|pf1|pf2|cosf1pf2，所以所以 20362|pf1|pf2|23|pf1|pf2|，解得，解得|pf1|pf2|6，故故 spf1f212|pf1|pf2|sinf1pf21262 232 2

12、，故，故 b 選項(xiàng)正確；選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) p 到到 x 軸的距離為軸的距離為 d，則，則 spf1f212|f1f2|d122 5d2 2，解得，解得 d2 105，故，故 c 選選項(xiàng)正確；項(xiàng)正確；6pf1pf2|pf1|pf2|cosf1pf26132，故，故 d 選項(xiàng)正確選項(xiàng)正確2(2021惠州調(diào)研惠州調(diào)研)已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的短軸長(zhǎng)為的短軸長(zhǎng)為 2，上頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 a，左頂點(diǎn)為左頂點(diǎn)為 b，左左、右焦點(diǎn)分別是右焦點(diǎn)分別是 f1， f2， 且且f1ab 的面積為的面積為2 32， 點(diǎn)點(diǎn) p 為橢圓上的任意一點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)， 則則1|pf1|1|pf2|的

13、取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：由已知得由已知得 2b2，故，故 b1，a2c2b21.f1ab 的面積為的面積為2 32，12(ac)b2 32，ac2 3.由由聯(lián)立解得，聯(lián)立解得，a2，c 3.由橢圓的定義知由橢圓的定義知|pf1|pf2|2a4，1|pf1|1|pf2|pf1|pf2|pf1|pf2|4|pf1| 4|pf1| 4|pf1|24|pf1|，又又 2 3|pf1|2 3，1|pf1|24|pf1|4，11|pf1|1|pf2|4，即即1|pf1|1|pf2|的取值范圍是的取值范圍是1,4答案：答案：1,4考點(diǎn)二考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例例 1過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)( 3，

14、5)，且與橢圓，且與橢圓y225x291 有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x220y241bx22 5y241c.y220 x241dx24y22 51解析解析法一：定義法法一：定義法橢圓橢圓y225x291 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為(0，4)，(0,4)，即，即 c4.由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，2a 30 2 54 2 30 2 54 2，解得解得 a2 5.由由 c2a2b2，可得，可得 b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y220 x241.故選故選 c.法二：待定系數(shù)法法二：待定系數(shù)法7設(shè)所求橢圓方程為設(shè)所求橢圓方程為y225kx29k

15、1(k9)， 將點(diǎn)將點(diǎn)( 3， 5)的坐標(biāo)代入的坐標(biāo)代入， 可得可得 5 225k 3 29k1，解得解得 k5，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y220 x241.故選故選 c.答案答案c例例 2如圖，已知橢圓如圖，已知橢圓 c 的中心為原點(diǎn)的中心為原點(diǎn) o，f(5,0)為為 c 的左焦點(diǎn)，的左焦點(diǎn)，p 為為 c 上一點(diǎn)上一點(diǎn)， 滿足滿足|op|of|且且|pf|6， 則橢則橢圓圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x236y2161b.x240y2151c.x249y2241dx245y2201解析解析由題意可得由題意可得 c5，設(shè)右焦點(diǎn)為，設(shè)右焦點(diǎn)為 f，連接連接 pf

16、(圖略圖略)，由，由|op|of|of|知，知，pfffpo，ofpopf，pffofpfpoopf，fpoopf90，即，即 pfpf.在在 rtpff中，由勾股定理，中，由勾股定理，得得|pf| |ff|2|pf|2 102628，由橢圓的定義，得由橢圓的定義，得|pf|pf|2a6814，從而從而 a7，a249，于是于是 b2a2c2492524，橢圓橢圓 c 的方程為的方程為x249y2241，故選，故選 c.答案答案c方法技巧方法技巧求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的 2 種常用方法種常用方法定義法定義法根據(jù)橢圓的定義，確定根據(jù)橢圓的定義，確定 a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓

17、方程的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程待定系待定系數(shù)法數(shù)法若焦點(diǎn)位置明確若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出結(jié)合已知條件求出 a，b；若焦點(diǎn)位若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在置不明確，則需要分焦點(diǎn)在 x 軸上和軸上和 y 軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為為ax2by21(a0，b0，ab)針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1若直線若直線 x2y20 經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()8a.x25y21b.x24y21c.x25y21 或或x24y251d以上答案都不

18、正確以上答案都不正確解析：解析：選選 c直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0,1)，(2,0)，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，軸上時(shí)，c2，b1，所以，所以 a25，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25y21；當(dāng)焦點(diǎn)在；當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，軸上時(shí)，b2，c1，所，所以以 a25，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y25x241.2一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)焦點(diǎn) f1，f2在在 x 軸上軸上，p(2， 3)是橢圓上一點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且且|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為成等差數(shù)列，則橢圓的方程為()a

19、.x28y261bx216y261c.x28y241dx216y241解析解析：選選 a設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)由點(diǎn)由點(diǎn) p(2， 3)在橢圓上知在橢圓上知4a23b21.又又|pf1|，|f1f2|，|pf2|成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則|pf1|pf2|2|f1f2|，即，即 2a22c，ca12，又，又 c2a2b2，聯(lián)立得，聯(lián)立得 a28，b26.所以橢圓方程為所以橢圓方程為x28y261.考點(diǎn)三考點(diǎn)三橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)考法考法(一一)求橢圓的離心率求橢圓的離心率例例 1(1)(2021武漢模擬武漢模擬)已知橢圓方程為已知橢圓方程為x2

20、ay2b1，且，且 a，b，ab 成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，a，b，ab 成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()a.12b.33c.22d32(2)過(guò)橢圓過(guò)橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn) f 的直線過(guò)的直線過(guò) c 的上端點(diǎn)的上端點(diǎn) b，且與橢圓相交于點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn) a，若若 bf3 fa，則則 c 的離心率為的離心率為()a.13b33c.32d22解析解析(1)因?yàn)橐驗(yàn)?a，b，ab 成等差數(shù)列成等差數(shù)列，所以所以 2baab，即即 b2a，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?a，b，ab成等比數(shù)列成等比數(shù)列，b0，a0，所以所以 b2aab，即即 ba2，所以

21、所以 a2，b4，橢圓方程為橢圓方程為x22y2491，c 42 2，所以離心率所以離心率 e22.故選故選 c.(2)由題意可得由題意可得 b(0，b)，f(c,0)，由由 bf3 fa，得得 a43c，b3 ，又點(diǎn)又點(diǎn) a 在橢圓上，則在橢圓上，則43c2a2b32b21，整理可得整理可得169c2a289，e2c2a212，e22.故選故選 d.答案答案(1)c(2)d方法技巧方法技巧求橢圓離心率的求橢圓離心率的 3 種方法種方法(1)直接求出直接求出 a，c 來(lái)求解來(lái)求解 e.通過(guò)已知條件列方程組，解出通過(guò)已知條件列方程組，解出 a，c 的值的值(2)構(gòu)造構(gòu)造 a，c 的齊次式，解出的

22、齊次式，解出 e.由已知條件得出關(guān)于由已知條件得出關(guān)于 a，c 的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率于離心率 e 的一元二次方程求解的一元二次方程求解(3)通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率提醒提醒在解關(guān)于離心率在解關(guān)于離心率 e 的二次方程時(shí)的二次方程時(shí)， 要注意利用橢圓的離心率要注意利用橢圓的離心率 e(0,1)進(jìn)行根的取舍進(jìn)行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根否則將產(chǎn)生增根.考法考法(二二)求橢圓的離心率的范圍求橢圓的離心率的范圍例例 2(1)(2021湛江模擬湛江模擬)已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21 (ab0)，直線，直線

23、yx 與橢圓相交于與橢圓相交于 a，b兩點(diǎn)兩點(diǎn)，若橢圓上存在異于若橢圓上存在異于 a，b 兩點(diǎn)的點(diǎn)兩點(diǎn)的點(diǎn) p 使得使得 kpakpb13，0，則離心率則離心率 e 的取值范圍的取值范圍為為()a.0，63b63，1c.0，23d23，1(2)已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為 f，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)為 p，直線直線 l：4x3y0與橢圓與橢圓 c 相交于相交于 a，b 兩點(diǎn)若兩點(diǎn)若|af|bf|6，點(diǎn)點(diǎn) p 到直線到直線 l 的距離不小于的距離不小于65，則橢圓離則橢圓離心率的取值范圍是心率的取值范圍是()a.0，59b0，3210c.0，53

24、d13，32解析解析(1)設(shè)設(shè) p(x0， y0)， 直線直線 yx 過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)， 由橢圓的對(duì)稱性設(shè)由橢圓的對(duì)稱性設(shè) a(x1， y1)， b(x1，y1)，kpakpby0y1x0 x1y0y1x0 x1y20y21x20 x21.又又x20a2y20b21，x21a2y21b21，兩式做差，代入上式得，兩式做差，代入上式得 kpakpbb2a213，0，故，故 0b2a213，所以所以 e1b2a263，1.(2)如圖所示，設(shè)如圖所示，設(shè) f為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，連接連接 af，bf，則四邊形，則四邊形 afbf是平行四邊形，是平行四邊形，6|af|bf|af|af|2a，a3

25、.取取 p(0，b)，點(diǎn)點(diǎn) p 到直線到直線 l：4x3y0 的距離不小于的距離不小于65，|3b|16965，解得，解得 b2.c 94 5，0b0)上一點(diǎn)，則上一點(diǎn)，則|x0|a，ac|pf1|ac 等，建立不等關(guān)系，或者等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系題設(shè)條件有明顯的題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系幾何關(guān)系直接法直接法根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有 a，b，c 的的不等關(guān)系式不等關(guān)系式題設(shè)條件直接有不題設(shè)條件直接有不等關(guān)系等關(guān)系11考法考法(三三

26、)與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題例例 3如圖，焦點(diǎn)在如圖，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓軸上的橢圓x24y2b21 的離心率的離心率 e12，f，a 分分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，p 是橢圓上任意一點(diǎn)，則是橢圓上任意一點(diǎn)，則 pf pa的最大的最大值為值為()a1b2 3c4d4 3解析解析設(shè)設(shè) p 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)由題意知由題意知 a2，eca12，c1，b2a2c23.橢圓方程為橢圓方程為x24y231.2x02， 3y0 3.又又 f(1,0)，a(2,0)，pf(1x0，y0)， pa(2x0，y0)， pf pax20 x

27、02y2014x20 x0114(x02)2.當(dāng)當(dāng) x02 時(shí)，時(shí)， pf pa取得最大值取得最大值 4.故選故選 c.答案答案c方法技巧方法技巧與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍利用一元二次方程的判別式求最值或取

28、值范圍提醒提醒求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí)求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題時(shí)， 要結(jié)合圖形進(jìn)行分析要結(jié)合圖形進(jìn)行分析， 當(dāng)涉及頂點(diǎn)當(dāng)涉及頂點(diǎn)、 焦點(diǎn)焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1(多選多選)已知橢圓已知橢圓 c：16x225y2400，則下述正確的是，則下述正確的是()a橢圓橢圓 c 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10b橢圓橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0，3)和和(0,3)c橢圓橢圓 c 的離心率等于的離心率等于3512d若過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線若過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線 l

29、與橢圓與橢圓 c 交于交于 p，q，則，則|pq|325解析：解析：選選 acd16x225y2400，x225y2161，a5，b4，c3，eca35，長(zhǎng)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a10，故，故 a、c 正確，正確，b 錯(cuò)誤錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng) d，|pq|2b2a325，正確故選，正確故選 a、c、d.2已知橢圓已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)，直線，直線 l 過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為4，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓截截 l 所得的弦長(zhǎng)等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為所得的弦長(zhǎng)等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為()a.23b33c.53d63解析解析：選選 d直線直線

30、 l 的方程為的方程為 yxc，以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓截以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓截 l 所得的弦為所得的弦為 ab，ab2c， 設(shè)設(shè) ocab， 垂足為垂足為 c， 則則 oc|c|222c， 在在 rtoac 中中， oa2ac2oc2a212ab212c2a232c2c63ae63，故選故選 d.3已知已知 f1，f2分別是橢圓分別是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左的左、右焦點(diǎn)右焦點(diǎn)，若橢圓若橢圓 c 上存在點(diǎn)上存在點(diǎn) p 使使f1pf2為鈍角，則橢圓為鈍角，則橢圓 c 的離心率的取值范圍是的離心率的取值范圍是()a.22，1b12，1c.0，22d0，12解析：解析：選選 a設(shè)設(shè)

31、 p(x0，y0)，由題易知，由題易知|x0|a，因?yàn)?，因?yàn)閒1pf2為鈍角，所以為鈍角，所以pf1pf2x20y20有解有解，即即 c2(x20y20)min，又又 y20b2b2a2x20，x20b2，又，又 b2a2c2，所以，所以 e2c2a212，解得，解得 e22，又，又 0e0，n0，mn)，a(x1，y1)，b(x2，y2)是橢圓上的兩點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn)，把點(diǎn)把點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)代入橢圓方程，代入橢圓方程，得得x21my21n1，x22my22n1，將兩式作差并整理得將兩式作差并整理得 x1x2 x1x2 m y1y2 y1y2 n0，記弦記弦 ab 的中點(diǎn)為

32、的中點(diǎn)為 m(x0，y0)，若若 x1x2，則，則 y1y2 y1y2 x1x2 x1x2 nm，即即y1y2x1x2y0 x0nm，從而從而 kaby0 x0nm，即，即 kabkomnm.應(yīng)用體驗(yàn)應(yīng)用體驗(yàn)1已知橢圓已知橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn) f(3，0)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) f 的直線交的直線交 e 于于 a，b 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，若若ab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則，則 e 的方程為的方程為()a.x245y2361b.x236y2271c.x227y2181dx218y291解析：解析：選選 d設(shè)設(shè) ab 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為 m(1，1)，則則 kabkomb2

33、a2，而而 kabkmf0 1 3112，kom1，故故12(1)b2a2，故，故 a22b2，又又 a2b29，由由解得解得 a218，b29，故橢圓故橢圓 e 的方程為的方程為x218y291.2如果如果 ab 是橢圓是橢圓x2a2y2b21 的任意一條與的任意一條與 x 軸不垂直的弦，軸不垂直的弦，o 為橢圓的中心，為橢圓的中心，e 為橢圓的為橢圓的離心率，離心率，m 為為 ab 的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則 kabkom的值為的值為()ae1b1e14ce21d1e2解析：解析：選選 c易知易知 kabkomb2a2c2a21e21.二、創(chuàng)新考查方式二、創(chuàng)新考查方式領(lǐng)悟高考新動(dòng)向領(lǐng)悟高考新動(dòng)向

34、1阿基米德阿基米德(公元前公元前 287 年年公元前公元前 212 年年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用他利用“逼近法逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積若得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積若橢圓橢圓 c 的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在 y 軸上，且橢圓軸上，且橢圓 c 的離心率為的離心率為74，面積為，面積為 12，則橢，則橢圓圓c 的方程為的方程為()a.x29y2161bx23y241c.x218y2321dx24y2361解析：解析：選選 a由題意可得由題意可

35、得ab12，ca74，a2b2c2，解得解得 a4，b3，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在 y 軸上，軸上，所以橢圓方程為所以橢圓方程為x29y2161.2 (2021宜昌夷陵中學(xué)模擬宜昌夷陵中學(xué)模擬)“嫦娥四號(hào)嫦娥四號(hào)”探測(cè)器于探測(cè)器于 2019 年年 1 月在月球月在月球背面成功著陸背面成功著陸如圖所示如圖所示，假設(shè)假設(shè)“嫦娥四號(hào)嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)月球后，在月球附近一點(diǎn) p 變軌進(jìn)入以月球球心變軌進(jìn)入以月球球心 f 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在繞月飛行，之后衛(wèi)星在 p 點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以點(diǎn)第

36、二次變軌進(jìn)入仍以 f 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛繞月飛行，若用行，若用 e1和和 e2分別表示橢圓軌道分別表示橢圓軌道和和的離心率，則的離心率，則()ae1e2be1a20，c1c20，且，且 a1c1a2c2.令令 a1c1a2c2t，t0，則，則 a1tc1，a2tc2.所以所以1e1a1c1c1tc11tc1，1e2a2c2c2tc21tc2.15因?yàn)橐驗(yàn)?c1c20，t0，所以，所以tc1tc2，所以所以1e1e2.故選故選 a.3.如圖如圖，點(diǎn)點(diǎn) a，b 分別是橢圓分別是橢圓x225y2b21(0bb0)的離心率為的離心率為12，則，則()aa22b2b3a24b

37、2ca2bd3a4b解析：解析：選選 b因?yàn)闄E圓的離心率因?yàn)闄E圓的離心率 eca12，所以所以 a24c2.又又 a2b2c2，所以，所以 3a24b2.3已知焦點(diǎn)在已知焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓軸上的橢圓x210y2m1 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 8，則，則 m()a4b8c16d18解析：解析：選選 c橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上，則軸上，則 ma2.由長(zhǎng)軸長(zhǎng)由長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a8 得得 a4，所以，所以 m16.故故選選c.4已知橢圓已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左的左、右焦點(diǎn)分別為右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，離心率為離心率為33，過(guò)過(guò) f2的直的直線線l 交交 c 于于 a，b 兩

38、點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若af1b 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 4 3，則，則 c 的方程為的方程為()17a.x23y221bx23y21c.x212y281dx212y241解析：解析：選選 aaf1b 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 4 3，由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知 4a4 3，a 3，eca33，c1，b2a2c22，c 的方程為的方程為x23y221，故選，故選 a.5 (2021 年年 1 月新高考八省聯(lián)考卷月新高考八省聯(lián)考卷)橢圓橢圓x2m21y2m21(m0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 f1， f2， 上頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 a，若若f1af23，則，則 m()a1b 2c. 3d2解析：解析：選選 cc m21m21，

39、bm，由，由f1af23，得，得f1ao6，tanf1ao1m33，解得，解得 m 3，故選，故選 c.6已知已知 f1，f2是橢圓是橢圓 c 的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，p 是是 c 上的一點(diǎn)若上的一點(diǎn)若 pf1pf2，且，且pf2f160，則則 c 的離心率為的離心率為()a132b2 3c.312d 31解析解析： 選選 d由題設(shè)知由題設(shè)知f1pf290， pf2f160， |f1f2|2c， 所以所以|pf2|c， |pf1| 3c.由橢圓的定義得由橢圓的定義得|pf1|pf2|2a，即即3cc2a，所以所以( 31)c2a，故橢圓故橢圓 c 的離心的離心率率eca231 31.故選故選

40、d.二、綜合練二、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度1橢圓以橢圓以 x 軸和軸和 y 軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程倍，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為為()a.x24y21by216x241c.x24y21 或或y216x241dx24y21 或或y24x21解析解析：選選 c由題意知由題意知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍倍，即即 a2b.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，所所18以若焦點(diǎn)在以若焦點(diǎn)在 x 軸上，則軸上，則 a2，b1，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y21；若焦點(diǎn)在；若焦點(diǎn)在

41、y 軸上，則軸上，則 a4，b2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x241，故選，故選 c.2 設(shè)設(shè) f1， f2分別是橢圓分別是橢圓x225y2161 的左的左、 右焦點(diǎn)右焦點(diǎn)， p 為橢圓上一點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)， m 是是 f1p 的中點(diǎn)的中點(diǎn)， |om|3，則，則 p 點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為()a4b3c2d5解析：解析：選選 a連接連接 pf2，由題意知，由題意知，a5，在，在pf1f2中，中，|om|12|pf2|3，|pf2|6，|pf1|2a|pf2|1064.故選故選 a.3與橢圓與橢圓 9x24y236 有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為

42、 2 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x22y241bx2y261c.x26y21dx28y251解析解析： 選選 b橢圓橢圓 9x24y236 可化為可化為x24y291， 可知焦點(diǎn)在可知焦點(diǎn)在 y 軸上軸上， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0， 5)，故可設(shè)所求橢圓方程為故可設(shè)所求橢圓方程為y2a2x2b21(ab0)，則，則 c 5.又又 2b2，即，即 b1，所以，所以 a2b2c26，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2y261.4直線直線 l 經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到若橢圓中心到 l 的距離為其短軸長(zhǎng)的的距離為其短軸長(zhǎng)

43、的14，則該橢則該橢圓的離心率為圓的離心率為()a.13b12c.23d34解析解析：選選 b不妨設(shè)直線不妨設(shè)直線 l 經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn) b(0，b)和一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn) f(c,0)，則直線則直線 l 的方程的方程為為xcyb1，即，即 bxcybc0.由題意知由題意知|bc|b2c2142b，解得，解得ca12，即，即 e12.故選故選 b.5(多選多選)設(shè)橢圓設(shè)橢圓x29y231 的右焦點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為 f，直線，直線 ym(0m 3)與橢圓交于與橢圓交于 a，b 兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)，則下述結(jié)論正確的是下述結(jié)論正確的是()a|af|bf|為定值為定值babf 的周長(zhǎng)的取值范圍

44、是的周長(zhǎng)的取值范圍是6,1219c當(dāng)當(dāng) m 2時(shí)，時(shí)，abf 為直角三角形為直角三角形d當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，時(shí)，abf 的面積為的面積為 6解析：解析：選選 ad設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 f，則，則|af|bf|，|af|bf|af|af|6 為定值，為定值，a 正確；正確；abf 的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為|ab|af|bf|，|af|bf|為定值為定值 6，|ab|的取值范圍是的取值范圍是(0,6)，abf 的周長(zhǎng)的取值范圍是的周長(zhǎng)的取值范圍是(6,12)，b 錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；將將 y 2與橢圓方程聯(lián)立，可解得與橢圓方程聯(lián)立，可解得 a( 3， 2)，b( 3， 2)，又又f( 6，0)，ba bf

45、(2 3，0)( 6 3， 2)66 2|c1c2|6，即，即 p 在以在以 c1(3,0)，c2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 10 的橢圓上，得點(diǎn)的橢圓上，得點(diǎn) p 的軌的軌跡方程為跡方程為x225y2161.答案答案：x225y216110設(shè)設(shè) f1，f2是橢圓是橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，p 為橢圓為橢圓 c 上的一個(gè)點(diǎn)，且上的一個(gè)點(diǎn)，且 pf1pf2，若，若pf1f2的面積為的面積為 9，周長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為 18，則橢圓，則橢圓 c 的方程為的方程為_(kāi)解析：解析：pf1pf2，pf1f2為直角三角形，為直角三角形，又知又知pf1f2的面積為的

46、面積為 9，12|pf1|pf2|9，得得|pf1|pf2|18.在在 rtpf1f2中，由勾股定理得中，由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，由橢圓定義知，由橢圓定義知|pf1|pf2|2a，(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|f1f2|2，即即 4a2364c2，a2c29，即即 b29，又知又知 b0，b3，21pf1f2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為 18，2a2c18，即，即 ac9，又知又知 a2c29，ac1.由由得得 a5，c4，所求的橢圓方程為所求的橢圓方程為x225y291.答案：答案：x225y29111已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)，點(diǎn)，點(diǎn) p 是

47、橢圓在第一象限上的點(diǎn)，是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，f1，f2分別為橢圓的左分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，o 是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò) f2作作f1pf2的外角的平分線的垂線，垂足為的外角的平分線的垂線，垂足為 a，若，若|oa|2b，則橢圓的離心率為則橢圓的離心率為_(kāi)解析：解析：如圖，延長(zhǎng)如圖，延長(zhǎng) f2a 交交 f1p 于點(diǎn)于點(diǎn) m，由題意可知，由題意可知|pm|pf2|，由橢圓定義可知由橢圓定義可知|pf1|pf2|2a，故有故有|pf1|pm|mf1|2a.連接連接 oa， 知知 oa 是是f1f2m 的中位線的中位線， |oa|12|mf1|a，由由|oa|2b，得，得 2ba，則，

48、則 a24b24(a2c2)，即即 c234a2，eca32.答案：答案：3212設(shè)橢圓設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，上、下頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為 a，b，直，直線線af2與該橢圓交于與該橢圓交于 a，m 兩點(diǎn)若兩點(diǎn)若f1af290，則直線，則直線 bm 的斜率為的斜率為_(kāi)解析解析：f1af290，a 2b，即橢圓方程為，即橢圓方程為x22b2y2b21.設(shè)設(shè) m(m，n)，a(0，b)，b(0，b)，且，且m22b2n2b21，即即 n2b2m22，kamkbmnbmnbmn2b2m2m22m212，又又 kam1，kbm12.答案

49、答案：1213(2020全國(guó)卷全國(guó)卷)已知橢圓已知橢圓 c：x225y2m21(0m0，由題意知，由題意知 yp0.由已知可得由已知可得 b(5,0)，直線，直線 bp 的方程為的方程為 y1yq(x5)，所以所以|bp|yp1y2q，|bq| 1y2q.因?yàn)橐驗(yàn)閨bp|bq|，所以，所以 yp1，將將 yp1 代入代入 c 的方程，解得的方程，解得 xp3 或或3.由直線由直線 bp 的方程得的方程得 yq2 或或 8.所以點(diǎn)所以點(diǎn) p，q 的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為 p1(3,1)，q1(6,2)；p2(3,1)，q2(6，8)|p1q1| 10，直線，直線 p1q1的方程為的方程為 y13

50、x，點(diǎn)，點(diǎn) a(5,0)到直線到直線 p1q1的距離為的距離為102，故故ap1q1的面積為的面積為12102 1052；|p2q2| 130，直線，直線 p2q2的方程為的方程為 y79x103，點(diǎn)，點(diǎn) a 到直線到直線 p2q2的距離為的距離為13026，故故ap2q2的面積為的面積為1213026 13052.綜上，綜上，apq 的面積為的面積為52.14已知橢圓已知橢圓x2a2y2b21(ab0)，f1，f2分別為橢圓的左分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)右焦點(diǎn)，a 為橢圓的上頂點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，直直線線 af2交橢圓于另一點(diǎn)交橢圓于另一點(diǎn) b.(1)若若f1ab90，求橢圓的離心率；，求橢圓的離心率；(2)若若af22f2b，af1 ab32，求橢圓的方程，