特征值二次型

1、特征值二次型特征值二次型 本章提要本章主要介紹了矩陣的特征值和特征向量、矩陣的對(duì)角化、二次型和它的標(biāo)準(zhǔn)形以及 正定二次型的判定。整個(gè)內(nèi)容可分四部分：預(yù)備知識(shí)：（1）向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度。（2）正交向量組，施密特正交法。（3）正交矩陣及其它的性質(zhì)。特征值和特征向量：（1）特征值、特征向量的定義。（2）特征值、特征向量的求法：用特征方程求特征向量, 用特征矩陣方程組求特征向量。（3）特征值、特征向量的性質(zhì)。矩陣的對(duì)角化：（1）相似矩陣的定義及相似矩陣的特征值、特征向量。（2）矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件，矩陣對(duì)角化的方法。（ 3）實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化。二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形：（1）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)的定義。（

2、2）二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的方法：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；用配方法化二次型為 標(biāo)準(zhǔn)形。（3）正定二次型及其判定方法。4.6.2 方法應(yīng)用舉例1. 求方陣的特征值與特征向量 . ? -1?例 1 求矩陣 A =-4?11300 的特征根及特征向量 . ? 2? ?解: A 的特征方程為-1- 入13-入 0002-入A -入 E =-41=（入-2）（入-1 ） 2=0解得特征根 入1=2入2=入3=1.對(duì)應(yīng)于入1=2,由齊次方程組（A -2E ） X =0 得? -3? -4 ? ? ? 11100 ? ? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? 0x 2=0 ? ? ? ? ? 0? ? ? ?

3、x 3? ? ? ? 0? ?解得特征向量? 0?n =0? ? ? ? 0? ?于是k 1 n 1 （k 1是不為零的任意常數(shù)）是 A對(duì)應(yīng)于入1=2的全部特征向量.對(duì)應(yīng)于入仁入2=1,由齊次方程組（A -E ） X =0 得? -2? -4 ? ? ? 10 ? ? x 1 ? ? 0?1200x 2=0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? x 3 ? ? ? ? 0? ?解得特征向量 n 2? 1? ? ?=2 ? ? ? ? -1 ? ?于是k 2 n 2 (k 2是不為零的任意常數(shù))是 A對(duì)應(yīng)于入2=入3=1的全部特征向量 2. 將方陣對(duì)角化的方法 : (1) 一般矩陣對(duì)角化 . 例

4、 2 將矩陣? 4? A =-3? ?-36-5-60?0 ?1? ?對(duì)角化 .解:由4-入6-5-入-6001-入=-（ 入-1）（入 +2） =02|A - 入 E |=-3-3解得特征值 入1=-2,入2=入3=1.對(duì)入 1=-2, , （A +2E ） X =0 得? 6? -3? ? ? -36-3-60 ? x 1?0? ?0x 2=0 ? ?3?x 3?0?解得基礎(chǔ)解系為n仁-111, 即為A對(duì)于入仁-2的特征向量對(duì)入2=入3=1,由齊 次方程組 (A -E ) X =0 得?3? -3? ? ? -36-6-610 ? x 1?0? ?0x 2=0 ? ?0?x 3? ?0?0

5、, n 3=0T解得基礎(chǔ)解系為 n 2=-2向量1, 即為A對(duì)應(yīng)于 入2=入3=1的特征T容易驗(yàn)證向量 n1, n2, n 3線性無關(guān), 所以取可逆矩陣 ? -1?P =( n 1 n 2n 3) =1?1?-2? -1則有 P AP =0?0010-2100 ? 0. ? 1? ?0 ?1? ?0 ?(2) 實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化 .例 3 將實(shí)對(duì)稱矩陣 ? 2A =2? ? ? -225-4-2 ? -4 ? 5? ?對(duì)角化 .解 : 由特征方程? 2-入?|A - 入 E |=2? ? ? -225-入-4-2 ?2-4=-（ 入-10）（入-1） =0? 5-入? ?解得特征值 入1=10,

6、入2=入3=1.對(duì)入1=10,由齊次方程組（A -10E ） X =0? -8? 2 ? ? ? -22-5-4-2 ? ? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? -4x 2=0? ? ? ? ? -5? ? ? ? x 3? ? ? ? 0? 232?. ? 3?TT?1解得基礎(chǔ)解系n 1=-? 2? ? 1卩1=-? 3?對(duì)于 入2=入3=1,由齊次方程組(A -E ) X =0 得? 1? 2? ? ? -224-4-2 ? ? x 1 ? ? 0? ? ? ? ? -4x 2=0 ? ? ? ? 4? ? ? ? x 3? ? ? ? 0?1, n 3=-2T解得基礎(chǔ)解系 n 2=21

7、0, 即為A對(duì)應(yīng)于 入2=入3=1的特征向量.T將其正交化，由施密特正交法，令a 2=n 2=21Ta 3= n 3-(n 3, a 2) ( a 2, a 2)a22?-225? 4? ?=1+0=1?. ? ?5? ? ? 0? ?1? ? 5?再將其標(biāo)準(zhǔn)化得卩2為此求得正交矩陣?2 = ? 5? 1? 2 , 卩=-3? ? 5? ? 35T5354? . 35 ?132323250152 ? ? 35? 5? 354? ? 35?使得? 10? -1P AP =0?00100? 0. ? 1? ?3. 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形方法 :(1) 正交變換法 . 例 4 化二次型22f (x 1,

8、 x 2, x 3) =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3 標(biāo)準(zhǔn)形 , 并給出所用的正交變換 .解: 二次型的矩陣為 ? 2?A =2? ? ? -225-4? -4 ? 5? ?由例 3 可得一正交變換-2 ?x 1? ?x =-?2? ?x 3?132323250152 ? ?35 ? ? y 1 ? 5? ? ?y 2, ? ? ? 35 ? 4? y 3? 35?在該變換作用下 , 有f (x 1, x 2, x 3) =10y 1+y 2+y 3.222(2) 配方法 .例 5 用配方法化二次型2f (x 1, x 2, x 3) =x 1

9、+4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3 為標(biāo)準(zhǔn)形 , 并求出所作的可逆線性變換 . 解: 首先進(jìn)行配方f (x 1, x 2, x 3) =x 1+4x 1(x 2+x 3) +4x 2x 3=x 1+4x 1(x 2+x 3) +4(x 2+x 3) -4(x 2+x 3) +4x 2x 3=(x 1+2x 2+2x 3) -4x 2-4x 2x 3-4x 3=(x 1+2x 2+2x 3) -4(x 2+22222222212x 3) -3x 32令? y 1=? y 2=? y 3=x 1+2x 2+2x 31x 2+x 32x 322得標(biāo)準(zhǔn)形f (x 1, x 2, x 3) =y 1-4y 2-3y 3并得所作的可逆變換為? x 1=?x 2=? x 3=y 1-2y 2-y 31y 2-y 3例 6 判定矩陣2y 34. 判定正定二次型 : 用定理 4.5.1, 定理 4.5.2 及推論進(jìn)行判定1?A =1?11231?3 ?6? ?的正定性 .解: 由于 A 的順序主子式12=1>0, 12313=1>0 61>0,所以