2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)北師大版必修5學(xué)案：1.3.1 第1課時(shí)　等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式 Word版含解析

1、§3等比數(shù)列31等比數(shù)列第1課時(shí)等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的定義 填一填一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比通常用字母表示公比答一答1對(duì)等比數(shù)列的定義中“從第2項(xiàng)起”和“比是同一個(gè)常數(shù)”這兩點(diǎn)如何理解？提示：通過列舉反例來分析我們知道一個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)沒有前一項(xiàng)，所以強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起”；“比是常數(shù)”和“比是同一個(gè)常數(shù)”的意義不一樣，如數(shù)列1,5,3,7中，5是常數(shù)，是常數(shù)，是常數(shù)，比都是常數(shù)，但是很明顯該數(shù)列不是等比數(shù)列，所以強(qiáng)調(diào)“比是同一個(gè)常數(shù)”，這是等比數(shù)列定義的核心知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)

2、列的通項(xiàng)公式 填一填設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則通項(xiàng)公式是：ana1qn1.答一答2等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的方法有哪些？提示：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法：(1)歸納猜想(將來用數(shù)學(xué)歸納法證明)(2)累乘法：···qn1，即ana1qn1.(3)迭代(遞推)法：anan1qan2q2an3q3an(n1)qn1a1qn1.1對(duì)于正確理解等比數(shù)列的定義，還應(yīng)注意以下幾方面：由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不能為0.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”均為同一常數(shù)，即比值相等，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時(shí)還要注意公比是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)

3、之比，防止前后次序顛倒如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列這時(shí)可以說此數(shù)列從第2項(xiàng)起或從第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比盡管是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，但卻是不同的常數(shù)，這時(shí)此數(shù)列不是等比數(shù)列常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定是等比數(shù)列如常數(shù)列是各項(xiàng)都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)不為0時(shí)，它是等比數(shù)列，且公比q1.2等比數(shù)列的增減性(1)當(dāng)a1>0，q>1或0<q<1，a1<0時(shí)，等比數(shù)列an是遞增數(shù)列(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，

4、a1>0時(shí)，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列(3)當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列an是常數(shù)列(4)當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列an是擺動(dòng)數(shù)列類型一等比數(shù)列的判斷與證明 【例1】下面四個(gè)數(shù)列：(1)1,1,2,4,8,16,32,64；(2)在數(shù)列an中，2，2；(3)常數(shù)列a，a，a，；(4)在數(shù)列an中，q(q為常數(shù)，q0)，其中nn.其中是等比數(shù)列的是_(只填序號(hào))【思路探究】利用定義法判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列需從以下三個(gè)方面把握：(1)從第二項(xiàng)起；(2)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比；(3)同一個(gè)常數(shù)【解析】(1)1，2，不符合“同一”，故其不是等比數(shù)列(2)不一定是等比數(shù)列，當(dāng)數(shù)列an只有3項(xiàng)時(shí)，an是等比數(shù)列；

5、當(dāng)數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)超過3時(shí)，不一定符合“每一”(3)不一定是等比數(shù)列當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)都為0時(shí)，它就不是等比數(shù)列，當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)均不為0時(shí)，它是等比數(shù)列(4)等比數(shù)列的定義用式子的形式表示出來就是：在數(shù)列an中，對(duì)任意nn，有q(q為常數(shù)，q0)，那么an是等比數(shù)列【答案】(4)規(guī)律方法 由等比數(shù)列的定義可知，一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，要看這個(gè)數(shù)列各相鄰兩項(xiàng)的比是否為同一個(gè)常數(shù)q，即對(duì)任意nn，是否有q(q0)注意：不能用特殊值法，即由得數(shù)列an為等比數(shù)列是錯(cuò)誤的下面各數(shù)列一定是等比數(shù)列的是(填序號(hào))1，2，4，8；1,2,3,4；x，x，x，x；，.解析：根據(jù)等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列，不是等比數(shù)列，中

6、x可能為0，故不一定是等比數(shù)列【例2】已知數(shù)列的首項(xiàng)a15，前n項(xiàng)和為sn，且sn12snn5(nn)，證明an1是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【思路探究】要證an1是等比數(shù)列，只需證常數(shù)(不為零)即可，而an1與an可由sn1sn與snsn1得到【解】由sn12snn5知，sn2sn1n4(n2)兩式相減，得sn1sn2(snsn1)1，即an12an1，從而an112(an1)(n2)當(dāng)n1時(shí)，s22s16，即a1a22a16.又a15，所以a211，滿足a212(a11)故對(duì)于任意的nn，都有an112(an1)又a15，則a110，從而2.所以數(shù)列an1是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比

7、數(shù)列所以an16×2n1，則an3×2n1.規(guī)律方法 在由條件得出an112(an1)(n2)時(shí)，不能想當(dāng)然地得出數(shù)列an1是等比數(shù)列，這是因?yàn)榈仁絘n112(an1)僅對(duì)n2成立，只能表明數(shù)列an1從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列，因此必須驗(yàn)證2是否成立即便an112(an1)對(duì)任意的nn都成立，也不能直接判定數(shù)列an1為等比數(shù)列，還需指出a110才可得出結(jié)論已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，sn(an1)(nn)(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列解：(1)由s1(a11)，得a1(a11)，a1.又s2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)證明：當(dāng)n2時(shí)，an

8、snsn1(an1)(an11)，得，又，所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列類型二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 【例3】在等比數(shù)列an中，(1)若a427，q3，求a7；(2)若a218，a48，求a1和q；(3)若a5a115，a4a26，求a3.【思路探究】【解】(1)解法一：由a4a1·q3，得27a1·(3)3，得a11，故a7a1·q6(1)×(3)6729.解法二：a7a4·q327×(3)3729.(2)由已知得解得或(3)由已知得由得，故q或q2，當(dāng)q時(shí)，a116，a3a1q24；當(dāng)q2時(shí)，a11，a3a1q24.規(guī)律方法

9、 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1·qn1中有四個(gè)量a1，q，n，an，一般已知其中的三個(gè)可求得第四個(gè)，我們將這類問題歸結(jié)為公式的正用、逆用、變形使用問題當(dāng)然對(duì)于等比數(shù)列來說，可能有時(shí)計(jì)算起來方法不當(dāng)，會(huì)非常繁瑣，所以方法的選取非常重要一般來說，涉及到列出方程組的問題，大多采用兩式相比，消掉首項(xiàng)a1.在等比數(shù)列an中，a1a310，a4a6，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為(a)aan24nban2n4can2n3dan23n解析：設(shè)公比為q，由得故因此，an8×()n124n.類型三等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問題 【例4】有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)和第四個(gè)

10、數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)和為12，求這四個(gè)數(shù)【思路探究】本題由給出的條件，設(shè)出各數(shù)，列出相應(yīng)的方程可解得，但在設(shè)四個(gè)數(shù)時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的對(duì)稱性設(shè)出，可簡(jiǎn)化解題過程【解】解法一：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為ad，a，ad，由已知得，解得：或，故所得四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a，a，aq(a0)，由已知得，解得或，所求的四個(gè)數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.解法三：設(shè)四個(gè)數(shù)分別為x，y,12y,16x，由條件知或，故所求四數(shù)為：0,4,8,16或15,9,3,1.規(guī)律方法 合理地設(shè)出所求數(shù)是解決這類問題的關(guān)鍵，一般地，三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為，a

11、，aq；三數(shù)成等差數(shù)列可設(shè)為ad，a，ad.三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)解：設(shè)所求的三個(gè)數(shù)分別為ad，a，ad，則由題設(shè)，得解此方程組，得或所求的三個(gè)數(shù)均為正數(shù)，不合題意，舍去所求的三個(gè)數(shù)分別為3,5,7.易錯(cuò)警示系列混淆基本公式致誤基本量法是求解數(shù)列各個(gè)量的最基本方法，而基本公式的正確記憶則是關(guān)鍵【例5】已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，s4b410.求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式【錯(cuò)解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1b12，得a423d，b42q4，s486

12、d. .所以an3n1，bn2()n.【錯(cuò)解分析】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式錯(cuò)記為bnb1qn，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤【正解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，s486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nn.已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a1，a1，a4，則an(b)a4×nb4×n1c4×nd4×n1解析：由題意得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，故a14，a26，所以q，an4×n1.一、選擇題1設(shè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，則它的第四項(xiàng)是(a)a1b.c.d.解析：a1，a2，則q，a

13、4a1·q3·1.2下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是(c)1，2,4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.abcd解析：由等比數(shù)列的定義判斷，中若x0，則不是等比數(shù)列3已知等比數(shù)列an中，a132，公比q，則a6等于(b)a1 b1c2 d.解析：由題知a6a1q532×51，故選b.二、填空題4在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5等于84.解析：設(shè)an的公比為q，則a23q，a33q2，33q3q221，q2或q3(舍去)，a3a4a5a1(q2q3q4)3(4816)84.5等比數(shù)列an中，an>0，且a5a69，則log3a2log3a92.解析：由題意得a5a6a1q4·a1q