相似矩陣及特征值和特征向量的性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、相似矩陣及特征值和特征向量的性質(zhì)相似矩陣及特征值和特征向量的性質(zhì)(xngzh)第一頁，共23頁。反身性) 1 (.本身相似與AA.,1AAAEEA故這是因為對稱性)2(.,相似與則相似與若ABBA.,)(,1111ABBPPAAPPBPBA故所以使得則存在可逆矩陣若這是因為傳遞性)3(.,相似與則相似與相似與若CACBBA.,)(,;,;,;11111CAAPQPQCAPQPQCBQQCAPPBQPCBBA故即所以使得則存在可逆矩陣若這是因為相似(xin s)矩陣與相似(xin s)變換的性質(zhì) 第1頁/共23頁第二頁，共23頁。證明證明(zhngmng)相相似似與與BAAPPPEPBE11PA

2、EP1PAEP1.AE BAPPP 1,使得使得可逆陣可逆陣., 1 . 2 . 4的特征值亦相同與從而式相同的特征多項與則相似與階矩陣若定理BABABAn4.2.2、 特征值和特征向量的性質(zhì)特征值和特征向量的性質(zhì)(xngzh)第2頁/共23頁第三頁，共23頁。推論推論 若若 階方陣階方陣A A與對角陣與對角陣n n 21.,21個特征值個特征值的的即是即是則則相似相似nAn 第3頁/共23頁第四頁，共23頁。證明證明(zhngmng)使使設(shè)有常數(shù)設(shè)有常數(shù)mxxx,21. 02211 mmpxpxpx則則 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 類推類推(

3、litu)之，之，有有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk.,., 2 . 2 . 421212121線性無關(guān)則各不相等如果向量依次是與之對應(yīng)的特征個特征值的是方陣設(shè)定理mmmmppppppmA第4頁/共23頁第五頁，共23頁。把上列各式合寫成矩陣把上列各式合寫成矩陣(j zhn)形式，得形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆從從而而該該矩矩陣陣該該行行列列式式不不等等于于不不相相等等時時當(dāng)當(dāng)各各式式列列陣陣的的行行列列式式為為范范德德蒙蒙行行上上式式等等號號左左端端第第二二個個矩矩., 0,

4、i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21線性無關(guān)線性無關(guān)所以向量組所以向量組mppp第5頁/共23頁第六頁，共23頁。注意注意(zh y).屬于屬于(shy)不同特征值的特征向量是線性無關(guān)不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合組合(zh)仍是屬于這個特征值的特征向量仍是屬于這個特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一個特征值

5、具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值一個特征向量不能屬于不同的特征值第6頁/共23頁第七頁，共23頁。 即即有有的的特特征征向向量量的的的的屬屬于于特特征征值值同同時時是是如如果果設(shè)設(shè)因因為為,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由由于于, 0 x則則.與定義矛盾與定義矛盾推論推論 如果如果(rgu)n階方陣階方陣A有有n個互不相同的特征個互不相同的特征值，則值，則A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量第7頁/共23頁第八頁，共23頁。. |,)(, 11121AanaAnniiniiiniiijn證明個特征值的方陣是設(shè)例,)(

6、)(,|)(22111212222111211中出現(xiàn)即只能在中出現(xiàn)元素的連乘積的項只能在主對角線上與其中的特征多項式為，階方陣設(shè)證nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAEfAn第8頁/共23頁第九頁，共23頁。,)(122111nnnnnnaaaA的項為和的特征多項式中所以|,|) 1(|)0(0AAfAn得的特征多項式中令在|,|) 1(AAn為的特征多項式中常數(shù)項所以. |,111Aaniiniiinii關(guān)系可得由多項式的根與系數(shù)的第9頁/共23頁第十頁，共23頁。注 (1)方陣A的主對角線的元素之和稱為A的跡。此例表明(biomng)A的所有特征值之和為A的跡，而A的所有特征值之

7、積為|A|。(2)由此容易得到：方陣A可逆的充要條件是A的所有特征值都不為零。第10頁/共23頁第十一頁，共23頁。例例 證明：若證明：若 是矩陣是矩陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 x .)1(是任意常數(shù)是任意常數(shù)的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆時可逆時當(dāng)當(dāng) AA 證明證明(zhngmng) xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再繼續(xù)施行上述步驟再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特對應(yīng)于對應(yīng)于是是且且的特征值的特征值是矩陣是矩陣故故mmmmAxA 第11頁/共23頁第十

8、二頁，共23頁。可可得得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可可逆逆時時當(dāng)當(dāng)A., 1111的的特特征征向向量量對對應(yīng)應(yīng)于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩陣陣故故 AxA第12頁/共23頁第十三頁，共23頁。的特征值。是證明的特征值，是如果例)()(,)(10AxaxaaxArr,)(10rrxaxaaxXA由于的特征向量，是對應(yīng)于的特征值，是設(shè)證,)(10rrAaAaEaA所以XAaAXaEXaXArr10)(故有XaXaXarr10X)(從定義(dngy)出發(fā)省略不講了第13頁/共23頁第十四頁，共23頁。的特征向量。對應(yīng)于也是的特征向量的對應(yīng)于并且的特征值，是方陣

9、所以)()()()(AXAA*|AAA例例 設(shè)設(shè) 是是可可逆逆方方陣陣 的的特特征征值值，證證明明是是的的特特征征值值。,*XAAXAAXAXXA，得兩邊左乘將的特征向量，是對應(yīng)于的特征值，是設(shè)證,|*XAXAEAAA，所以因為XAXA|*所以.|*的特征值是即AA第14頁/共23頁第十五頁，共23頁。例例5 5 設(shè)設(shè)A是是 階方陣，其特征多項式為階方陣，其特征多項式為n 0111aaaAEfnnnA .的特征多項式的特征多項式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE 。的特征向量是不相同的與但一般地有相同的特征值，與此例說明注意TTAAAA第15頁/共23頁第十六頁，共

10、23頁。的兩個不同的特征值，階方陣是，設(shè)例An216，對應(yīng)的特征向量分別為21的特征向量。不是證明：A21的特征向量，則有的屬于特征值是假設(shè)A22)()(A21212121AA即,222111AA由題設(shè)知證明證明(zhngmng)（用反證法）（用反證法） 從定義出發(fā)(chf)省略不講了第16頁/共23頁第十七頁，共23頁。212211所以0)()(2211于是12因因為為 ，屬屬于于不不同同的的特特征征值值，故故它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)，0021，因此有互異矛盾，但這與由此得2121的特征向量。不是所以A21 第17頁/共23頁第十八頁，共23頁。1231,3,5001, ,AxyzAx y

11、z例 設(shè)，已知 的特征值為，求的值.|AAAA解：根據(jù) 的所有特征值之和為 的跡， 得全體特征值的積為，有29,215,yyx., 7, 4為任意實數(shù)就行的最后一行可得觀測解得zAyx第18頁/共23頁第十九頁，共23頁。知知由由可逆可逆故故因為因為0)3det( ., 0det EAAA解解,3的的一一個個特特征征值值是是A .A113從從而而是是的的一一個個特特征征值值即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATT,det,det,det,(det)AAAA 216404于于是是但但因因此此.34|1有一個特征值為故AAA., 0det,2, 0A3Edet :4 的一

12、個特征值求滿足條件階方陣設(shè)例AAEAAAT第19頁/共23頁第二十頁，共23頁。的特征值。，試求滿足設(shè)方陣?yán)鼳EAAA0232,XAXXA則的特征向量，是對應(yīng)于的特征值，是設(shè)解，得由已知0232EAAEXAXXAXEAA23)23(22XXX2320)23(2X?；颍室驗?10X第20頁/共23頁第二十一頁，共23頁。);det()det(,)1(BABA 則則相似相似與與;,)2( 11相似相似與與且且也可逆也可逆則則可逆可逆且且相似相似與與若若 BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似與與則則是一多項式是一多項式而而相似相似與與若若BfAfxfBA相似矩陣相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂的性質(zhì)，除了課堂(ktng)(ktng)內(nèi)介紹的以外，還有：內(nèi)介紹的以外，還有：第21頁/共23頁第二十二頁，共23頁。相似相似(xin s)(xin s)變換與相似變換與相似(xin s)(xin s)變換矩陣變換矩陣這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算運算(yn sun)，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進(jìn)行運算之等價的對角