高中數(shù)學(xué)(人教A版選修2-2)課時(shí)作業(yè) 2.1.1 合情推理

1、課時(shí)提升作業(yè)(十四)合情推理一、選擇題(每小題3分，共18分)1.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，按這種規(guī)律往下排，那么第36個(gè)圓的顏色應(yīng)是()A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【解析】選A.由題干圖知，圖形是三白二黑的圓周而復(fù)始相繼排列，是一個(gè)周期為5的三白二黑的圓列，因?yàn)?6÷5=7余1，所以第36個(gè)圓應(yīng)與第1個(gè)圓顏色相同，即白色.2.已知數(shù)列an滿足a0=1，an=a0+a1+a2+an-1(n1)，則當(dāng)n1時(shí)，an等于()A.2nB.n(n+1)C.2n-1D.2n-1【解析】選C.a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a

2、1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，猜想n1時(shí)，an=2n-1.3.給出下列三個(gè)類比結(jié)論：類比ax·ay=ax+y，則有ax÷ay=ax-y；類比loga(xy)=logax+logay，則有sin(+)=sinsin；類比(a+b)2=a2+2ab+b2，則有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則知ax÷ay=ax-y，故正確；根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算法則知：sin(+)sinsin，不正確；根據(jù)向量的運(yùn)算法則知：(a+b)2=a2+2a·b+

3、b2，正確.4.設(shè)n棱柱有f(n)個(gè)對(duì)角面，則(n+1)棱柱的對(duì)角面的個(gè)數(shù)f(n+1)等于()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解題指南】因?yàn)檫^(guò)不相鄰兩條側(cè)棱的截面為對(duì)角面，過(guò)每一條側(cè)棱與它不相鄰的一條側(cè)棱都能作對(duì)角面，可作(n-3)個(gè)對(duì)角面，n條側(cè)棱可作n(n-3)個(gè)對(duì)角面，由于這些對(duì)角面是相互之間重復(fù)計(jì)算了，所以共有n(n-3)÷2個(gè)對(duì)角面，從而得出f(n+1)與f(n)的關(guān)系.【解析】選C.因?yàn)檫^(guò)不相鄰兩條側(cè)棱的截面為對(duì)角面，過(guò)每一條側(cè)棱與它不相鄰的一條側(cè)棱都能作對(duì)角面，可作(n-3)個(gè)對(duì)角面，n條側(cè)棱可作n(n-3)個(gè)對(duì)角面，由于這

4、些對(duì)角面是相互之間重復(fù)計(jì)算了，所以共有n(n-3)÷2個(gè)對(duì)角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).比如：他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A.289B.1024C.1225D.1378【解析】選C.觀察三角形數(shù)：1，3，6，10，記該數(shù)列為an，則a1=1，a2=a1+2，a3=a2+

5、3，an=an-1+n.所以a1+a2+an=(a1+a2+an-1)+(1+2+3+n)an=1+2+3+n=，觀察正方形數(shù)：1，4，9，16，記該數(shù)列為bn，則bn=n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.6.(2014·棗莊高二檢測(cè))將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為()135791113151719212325272931A.809B.853C.785D.893【解析】選A.前20行共有正奇數(shù)1+3+5+39=202=400個(gè)，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是2×40

6、5-1=809.二、填空題(每小題4分，共12分)7.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為12，則它們的體積比為_.【解析】=·=×=.答案：8.(2014·石家莊高二檢測(cè))設(shè)n為正整數(shù)，f(n)=1+，計(jì)算得f(2)=，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般的結(jié)論為_.【解析】由前四個(gè)式子可得，第n個(gè)不等式的左邊應(yīng)當(dāng)為f(2n)，右邊應(yīng)當(dāng)為，即可得一般的結(jié)論為f(2n).答案：f(2n)9.(2014·杭州高二檢測(cè))對(duì)于命題“如果O是線

7、段AB上一點(diǎn)，則|·+|·=0”將它類比到平面的情形是：若O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，有SOBC·+SOCA·+SOBA·=0，將它類比到空間的情形應(yīng)為：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有_.【解析】根據(jù)類比的特點(diǎn)和規(guī)律，所得結(jié)論形式上一致，又線段類比平面，平面類比到空間，又線段長(zhǎng)類比為三角形面積，再類比成四面體的體積，故可以類比為VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0三、解答

8、題(每小題10分，共20分)10.平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊.(2)三角形的面積S=×底×高.(3)三角形的中位線平行于第三邊且第于第三邊的.請(qǐng)類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論.【解析】由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為：(1)四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積.(2)四面體的體積V=×底面積×高.(3)四面體的中位面平行于第四個(gè)面且面積等于第四個(gè)面的面積的.11.在平面幾何中研究正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時(shí)，我們有真命題：邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一

9、點(diǎn)到各邊的距離之和是定值a，類比上述命題，請(qǐng)你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)面的關(guān)系的一個(gè)真命題，并給出簡(jiǎn)要的證明.【解題指南】利用類比推理時(shí)，正三角形可類比成正四面體，歸納出結(jié)論再給予證明.【解析】類比所得的真命題是：棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是定值a.證明：設(shè)M是正四面體P-ABC內(nèi)任一點(diǎn)，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個(gè)面的面積相等，故有：VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC=·SABC·(d1+d2+d3+d4)，而SABC=a2，VP-ABC=a3，

10、故d1+d2+d3+d4=a(定值).【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)=，先分別求f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)，然后歸納出一個(gè)一般結(jié)論，并給出證明.【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=.同理f(-1)+f(2)=，f(-2)+f(3)=.由此猜想：當(dāng)x1+x2=1時(shí)，f(x1)+f(x2)=.證明：設(shè)x1+x2=1，則f(x1)+f(x2)=+=.故猜想成立.一、選擇題(每小題4分，共16分)1.(2014·廈門高二檢測(cè))定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下圖中的(A)，(B)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是

11、()A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】選B.由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示，C表示，D表示，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.2.(2014·西安高二檢測(cè))已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】選B.依題意，由和相同的“整數(shù)對(duì)”分為一組不難得知，第n組“整數(shù)對(duì)”的和為n+1，且有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”.這樣前n組一共有個(gè)“整數(shù)對(duì)

12、”.注意到<60<.因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組的第5個(gè)位置，可得為(5，7).3.(2014·汕頭高二檢測(cè))觀察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，可以得出的一般結(jié)論是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2【解析】選B.可以發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是1，第二個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是2，故第n個(gè)式子的第一個(gè)數(shù)是n；第一個(gè)式子

13、中有1個(gè)數(shù)相加，第二個(gè)式子中有3個(gè)數(shù)相加，故第n個(gè)式子中有2n-1個(gè)數(shù)相加；第一個(gè)式子的結(jié)果是1的平方，第二個(gè)式子的結(jié)果是3的平方，故第n個(gè)式子應(yīng)該是2n-1的平方，故可以得到n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.4.(2014·臨沂高二檢測(cè))已知x>0，由不等式x+2=2，x+=+3=3，我們可以得出推廣結(jié)論：x+n+1(nN*)，則a=()A.2nB.n2C.3nD.nn【解析】選D.再續(xù)寫一個(gè)不等式：x+=+4=4，由此可得a=nn.二、填空題(每小題5分，共10分)5.已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式：+<2，+<2，+<2，根

14、據(jù)以上不等式的規(guī)律，請(qǐng)寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式_.【解析】觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個(gè)根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對(duì)正實(shí)數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m>0，n>0，則當(dāng)m+n=20時(shí)，有+<2.答案：若m>0，n>0，則當(dāng)m+n=20時(shí)，有+<26.在RtABC中，若C=90°，AC=b，BC=a，則ABC外接圓半徑r=.運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為a，b，c，則其外接球的半徑R=_.【解題指南】解題時(shí)題設(shè)條件若是三條線兩兩互相垂直，就要考慮到構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體.【解

15、析】(構(gòu)造法)通過(guò)類比可得R=.證明：作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長(zhǎng)分別為a，b，c的長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度是，故這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑是，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑.答案：【變式訓(xùn)練】在平面幾何里，有“若ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為SABC=(a+b+c)r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為R，則四面體的體積為_”.【解題指南】注意發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律總結(jié)出共性加以推廣，或?qū)⒔Y(jié)論類比到其他方面，得出結(jié)論.【解析】三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長(zhǎng)類比為四面體四個(gè)面的面

16、積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑.二維圖形中類比為三維圖形中的，得V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)R.答案：V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)R三、解答題(每小題12分，共24分)7.觀察下列等式：sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個(gè)猜想?并證明你的猜想.【解析】由可看出，兩角差為30°，則它們的相關(guān)形式的函數(shù)運(yùn)算式的值均為.猜想：若-=30°，則=30

17、76;+，sin2+cos2+sincos=，也可直接寫成sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=.下面進(jìn)行證明：左邊=+sincos(+30°)=+sin·(cos·cos30°-sinsin30°)=-cos2+cos2-sin2+sin2-=右邊.故sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=.8.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式.(3)求+的值.【解析】(1)f(5)=41.(2)因?yàn)閒(2)-f(1)=4=