交通流理論第四章

1、第四章 跟馳理論與加速度干擾本章將主要討論單車(chē)道情況下的車(chē)輛跟馳現(xiàn)象，介紹跟馳理論，建立相應(yīng)的跟馳理論 模型，最后簡(jiǎn)要介紹一下加速度干擾問(wèn)題。跟馳理論是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法研究在限制超車(chē)的單車(chē)道上，行駛車(chē)隊(duì)中前車(chē)速度的變化 引起的后車(chē)反應(yīng)。車(chē)輛跟馳行駛是車(chē)隊(duì)行駛過(guò)程中一種很重要的現(xiàn)象，對(duì)其研究有助于理 解交通流的特性。跟馳理論所研究的參數(shù)之一就是車(chē)輛在給定速度 u 下跟馳行駛時(shí)的平均 車(chē)頭間距 s ，平均車(chē)頭間距則可以用來(lái)估計(jì)單車(chē)道的通行能力。在對(duì)速度間距關(guān)系的研 究中，單車(chē)道通行能力的估計(jì)基本上都是基于如下公式：C 1000 u/s（4 1）式中： C 單車(chē)道通行能力（ veh/h ）；u 速度（

2、 km/h ）；s 平均車(chē)頭間距（ m）。研究表明，速度間距的關(guān)系可以由下式表示：s u u2（4 2）式中系數(shù) 、 、 可取不同的值，其物理意義如下：車(chē)輛長(zhǎng)度， l ；反應(yīng)時(shí)間， T ；跟馳車(chē)輛最大減速度的二倍之倒數(shù)。附加項(xiàng) u2 保證了足夠的空間， 使得頭車(chē)在緊急停車(chē)的情況下跟馳車(chē)輛不與之發(fā)生碰 撞， 的經(jīng)驗(yàn)值可近似取為 0.023s 2/ 英尺。一般情況下是非線性的，對(duì)于車(chē)速恒定（或近似恒定）、車(chē)頭間距相等的交通流， 的近似計(jì)算公式可取為：110.5a fal（4 3）式中： a f 、 al 分別為跟車(chē)和頭車(chē)的最大減速度。跟馳理論除了用于計(jì)算平均車(chē)頭間距以外， 還可用于從微觀角度對(duì)車(chē)輛

3、跟馳現(xiàn)象進(jìn)行 分析，近似得出單車(chē)道交通流的宏觀特性?？傊?，跟馳理論是連接車(chē)輛個(gè)體行為與車(chē)隊(duì)宏 觀特性及相應(yīng)流量、穩(wěn)定性的橋梁。第一節(jié) 線性跟馳模型的建立單車(chē)道車(chē)輛跟馳理論認(rèn)為，車(chē)頭間距在100125m以?xún)?nèi)時(shí)車(chē)輛間存在相互影響。分析跟馳車(chē)輛駕駛員的反應(yīng)，可將反應(yīng)過(guò)程歸結(jié)為以下三個(gè)階段：感知階段：駕駛員通過(guò)視覺(jué)搜集相關(guān)信息，包括前車(chē)的速度及加速度、車(chē)間距離（前 車(chē)車(chē)尾與后車(chē)車(chē)頭之間的距離，不同于車(chē)頭間距） 、相對(duì)速度等；決策階段：駕駛員對(duì)所獲信息進(jìn)行分析，決定駕駛策略；控制階段：駕駛員根據(jù)自己的決策和頭車(chē)及道路的狀況，對(duì)車(chē)輛進(jìn)行操縱控制。 線性跟馳模型是在對(duì)駕駛員反應(yīng)特性分析的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化得到

4、的。、線性跟馳模型的建立跟馳模型實(shí)際上是關(guān)于反應(yīng)一刺激的關(guān)系式，用方程表示為：反應(yīng)=刺激(4 4)式中 為駕駛員對(duì)刺激的反應(yīng)系數(shù)，稱(chēng)為靈敏度或靈敏系數(shù)。駕駛員接受的刺激是指其前 面引導(dǎo)車(chē)的加速或減速行為以及隨之產(chǎn)生的兩車(chē)之間的速度差或車(chē)間距離的變化；駕駛員 對(duì)刺激的反應(yīng)是指根據(jù)前車(chē)所做的加速或減速運(yùn)動(dòng)而對(duì)后車(chē)進(jìn)行的相應(yīng)操縱及其效果。線性跟馳模型相對(duì)較簡(jiǎn)單，圖4 1為建立線性跟馳模型的示意圖。n車(chē)停 車(chē)位置圖41線性跟馳模型示意圖圖中各參數(shù)意義如下：S(t) Xn(t) Xni(t) t時(shí)刻車(chē)輛間的車(chē)頭間距；d1 T un 1(t)反應(yīng)時(shí)間T內(nèi)n 1車(chē)行駛的距離;xn 1 (t)t時(shí)刻n 1車(chē)的

5、位置；Xjt) t時(shí)刻n車(chē)的位置；T 反應(yīng)時(shí)間或稱(chēng)反應(yīng)遲滯時(shí)間；d2 n 1車(chē)的制動(dòng)距離；d3 n 車(chē)的制動(dòng)距離；從圖中可以得到：L停車(chē)安全距離。s(t)xn (t) xn 1(t) d1 d2 L d3(45)d1un 1(t) Tun 1(t T) Txn 1(t T) T(46)假設(shè)兩車(chē)的制動(dòng)距離相等，即 d2 d3 ，則有s(t)xn(t) xn 1(t)d1 L(47)由式 (4 5) 和式 (4 6)可得xn(t)xn1 (t) xn 1(tT) T L(4 8)兩邊對(duì) t 求導(dǎo),得到xn(t)xn 1(t) xn1(t T) T(4 9)也即xn 1(tT)xn(t)xn 1(t

6、) n1,2,3,(410)或?qū)懗蓌n 1(t)xn (t T)xn 1(t T) n1,2,3,(411)1其中T 1 。與式 (4 4) 對(duì)比,可以看出式 (4 11) 是對(duì)刺激反應(yīng)方程的近似表示：刺激為兩車(chē)的相對(duì)速度；反應(yīng)為跟馳車(chē)輛的加速度。式(49) 是在前導(dǎo)車(chē)剎車(chē)、兩車(chē)的減速距離相等以及后車(chē)在反應(yīng)時(shí)間T 內(nèi)速度不變等假定下推導(dǎo)出來(lái)的。實(shí)際的情況要比這些假定復(fù)雜得多，比如刺激可能是由前車(chē)加速引起 的，而兩車(chē)在變速行駛過(guò)程中駛過(guò)的距離也可能不相等。為了考慮一般的情況，通常把式 (4 10) 或式 (4 11) 作為線性跟馳模型的形式，其中不一定取值為 T 1 ，也不再理解為靈敏度或靈敏系

7、數(shù)，而看成與駕駛員動(dòng)作強(qiáng)度相關(guān)的量，稱(chēng)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)，量綱為 s 1二、車(chē)輛跟馳行駛過(guò)程的一般表示跟馳理論的一般形式可用傳統(tǒng)控制理論的框圖表示，見(jiàn)圖42a。式(4 11)所示的線性跟馳模型表示為圖42b,圖中駕駛員行為由反應(yīng)時(shí)間和反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)代替。完善的跟馳理論應(yīng)包括一系列方程，以便建模描述車(chē)輛及道路的動(dòng)態(tài)特性、駕駛員的生理心理特性 以及車(chē)輛間的配合。跟馳車(chē)輛速度第二節(jié)穩(wěn)定性分析本節(jié)討論方程(410)所示線性跟馳模型的兩類(lèi)波動(dòng)穩(wěn)定性：局部穩(wěn)定性和漸進(jìn)穩(wěn)定性。局部穩(wěn)定性：關(guān)注跟馳車(chē)輛對(duì)它前面車(chē)輛運(yùn)行波動(dòng)的反應(yīng)，即關(guān)注車(chē)輛間配合的局部行為。漸進(jìn)穩(wěn)定性：關(guān)注車(chē)隊(duì)中每一輛車(chē)的波動(dòng)特性在車(chē)隊(duì)中的表現(xiàn)，即

8、車(chē)隊(duì)的整體波動(dòng)特性，如車(chē)隊(duì)頭車(chē)的波動(dòng)在車(chē)隊(duì)中的傳播。、局部穩(wěn)定性根據(jù)研究，針對(duì) C T (、T參數(shù)的意義同前)取不同的值，跟馳行駛兩車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況可以分為以下四類(lèi)：a) 0 C e 1(0.368)時(shí)，車(chē)頭間距不發(fā)生波動(dòng)；b) e 1 C 12時(shí)，車(chē)頭間距發(fā)生波動(dòng)，但振幅呈指數(shù)衰減；c) C 12時(shí)，車(chē)頭間距發(fā)生波動(dòng)，振幅不變；d) C /2時(shí),車(chē)頭間距發(fā)生波動(dòng)，振幅增大。對(duì)于C e1的情況，利用計(jì)算機(jī)模擬的辦法給出了相關(guān)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化曲線(其中反應(yīng)時(shí)間T 1.5s，C e 10.368)，如圖43。模擬過(guò)程中假定頭車(chē)的加速和減速性能是理想的，頭車(chē)采取恒定的加速度和減速度。圖中實(shí)線代表頭車(chē)運(yùn)動(dòng)參

9、數(shù)的變化，虛線 代表跟馳車(chē)輛運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，其中的“速度變化”是指頭車(chē)和跟馳車(chē)輛分別相對(duì)于初始 速度的變化值，即每一時(shí)刻的速度與初始速度之差。圖44中給出了另外四個(gè)不同 C值的車(chē)頭間距變化圖，C分別取阻尼波動(dòng)、恒幅波動(dòng)和增幅波動(dòng)幾種情況的值。圖43頭車(chē)加速度波動(dòng)方式及對(duì)兩車(chē)運(yùn)動(dòng)的影響距間頭車(chē)對(duì)于一般情況下的跟馳現(xiàn)象(不一定為車(chē)隊(duì)啟動(dòng)過(guò)程或剎車(chē)過(guò)程) 初始速度和最終速度分別為 u1和u2,那么有，如果跟馳車(chē)輛的° xf (t T)dt u2 u1(412)式中:Xf (t T)跟馳車(chē)輛的加速度。從方程(410)我們得到0Xl(t) Xf (t)dts也即s 0 xi (t) Xf (t

10、)dtu1-(413)式中：Xi(t)、Xf(t)分別為頭車(chē)和跟馳車(chē)輛的速度；s 車(chē)頭間距變化量。1C e時(shí)，車(chē)頭間距以非波動(dòng)形式變化，從式 (4 13)可知車(chē)速?gòu)腢i變?yōu)閁2時(shí)其變 化量為s。如果頭車(chē)停車(chē)，則最終速度 u2 0，車(chē)頭間距的總變化量為 u1 / ，因此跟 馳車(chē)輛為了不發(fā)生碰撞， 車(chē)間距離最小值必須為 u1 / ，相應(yīng)的車(chē)頭間距為U1 / l ( l為 車(chē)輛長(zhǎng)度)。為了使車(chē)頭間距盡可能小，應(yīng)取盡可能大的值，其理想值為 (eT) 1。二、漸進(jìn)穩(wěn)定性在討論了方程(4 10)所示線性跟馳模型的局部穩(wěn)定性之后，下面通過(guò)分析一列運(yùn)行的車(chē)隊(duì)(頭車(chē)除外)來(lái)討論其漸進(jìn)穩(wěn)定性。描述一列長(zhǎng)度為N的車(chē)

11、隊(duì)的方程為(假設(shè)車(chē)隊(duì)中各駕駛員反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)值相同)：Xn 1(t T) Xn (t) Xn 1 (t) n 1,2,3,N (414)無(wú)論車(chē)頭間距為何初始值， 如果發(fā)生增幅波動(dòng)，那么在車(chē)隊(duì)后部的某一位置必定發(fā)生碰撞， 方程(4 14)的數(shù)值解可以確定碰撞發(fā)生的位置。 下面我們分析判斷波動(dòng)是增幅還是衰減 的標(biāo)準(zhǔn)，也即漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)研究，一列行駛的車(chē)隊(duì)僅當(dāng)C T < 0.50.52 (一般取0.5 )時(shí)才是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即車(chē)隊(duì)中車(chē)輛波動(dòng)的振幅呈衰減趨勢(shì)。漸進(jìn)穩(wěn)定性的判定標(biāo)準(zhǔn)把兩個(gè)參數(shù)確定的區(qū)域 分成了穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩部分，如圖45所示。由此可知，C T e1保證局部穩(wěn)定性的同時(shí)也確保了漸進(jìn)

12、穩(wěn)定性。0.51.01.52.0反應(yīng)時(shí)間（s）圖45漸進(jìn)穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)榱苏f(shuō)明車(chē)隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，下面我們通過(guò)圖示給出兩組利用計(jì)算機(jī)模擬得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。圖46給出了一列8輛車(chē)組成的車(chē)隊(duì)中相鄰車(chē)輛車(chē)頭間距與時(shí)間的關(guān)系，分別取C 0.368,0.5,0.75 。頭車(chē)n 1的初始波動(dòng)方式與圖 4 3所示情況相同，即先緩慢減速再加速至初始速度（加速度絕對(duì)值相等），因此加速度對(duì)時(shí)間的積分為零。t 0時(shí)車(chē)頭間距均為21m第一種情況 C 0.368（1/e），為非波動(dòng)狀態(tài)。第二種情況C 0.5 （即漸進(jìn)穩(wěn)定性的限值），此時(shí)出現(xiàn)高阻尼波動(dòng)，這說(shuō)明即使是在漸近穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)的極限處，波動(dòng)振幅也將隨著波動(dòng)在車(chē)隊(duì)的傳播而

13、衰減，即波動(dòng)被阻尼。第三種情況C 0.75，圖中很好地說(shuō)明了波動(dòng)的不穩(wěn)定性。時(shí)間（s）卩距間頭車(chē)圖4 7中（C 0.80 ）給出了 9輛車(chē)組成的車(chē)隊(duì)中每一輛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡，采用的坐標(biāo)系是移動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)的速度與車(chē)隊(duì)的初始速度u致。t 0時(shí)，所有的車(chē)輛都以速度u行駛，車(chē)頭間距均為12mt頭車(chē)在t 0時(shí)開(kāi)始以4km/h/sec的減速度減速2s,速度從u 變成u 8km/h，之后又加速至原速度 u。C 0.80，所以頭車(chē)的這種速度波動(dòng)將在車(chē)隊(duì)中 不穩(wěn)定地傳播。從圖中可以看到，在頭車(chē)發(fā)生第一次波動(dòng)后大約 24s時(shí)，第7輛與第8輛車(chē)之 間的車(chē)間距離變?yōu)榱?，即?chē)頭間距等于車(chē)輛長(zhǎng)度，此時(shí)即發(fā)生碰撞。圖47

14、 9輛車(chē)車(chē)隊(duì)的漸進(jìn)穩(wěn)定性（C=0.80）三、次最近車(chē)輛的配合跟馳行駛的車(chē)輛除了受最近車(chē)輛（直接在其前面的車(chē)輛）的影響之外，還會(huì)受次最近 車(chē)輛（在其前面的第二輛車(chē)）的影響，這種影響也可以列入模型中，那么跟馳模型可以寫(xiě) 成如下形式：Xn2（t T）iXni（t） Xn 2（t）2【Xn（t） Xn2（t）（415）式中：1、2分別為跟馳車(chē)輛駕駛員對(duì)最近車(chē)輛和次最近車(chē)輛刺激的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)。為了確定次最近車(chē)輛的影響程度，研究人員專(zhuān)門(mén)做了三車(chē)跟馳實(shí)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 的分析，認(rèn)為在車(chē)輛跟馳行駛過(guò)程當(dāng)中，只有最近車(chē)輛對(duì)跟馳車(chē)輛有明顯的影響，次最近 車(chē)輛的影響可以忽略不計(jì)。第三節(jié)穩(wěn)態(tài)流分析滿足局部穩(wěn)定性和漸

15、進(jìn)穩(wěn)定性要求，即不發(fā)生恒幅和增幅波動(dòng)的交通流為穩(wěn)態(tài)流。本節(jié)將利用單車(chē)道車(chē)輛跟馳模型討論穩(wěn)態(tài)流的特性，針對(duì)不同的交通流狀態(tài)對(duì)跟馳模型進(jìn)行 必要的擴(kuò)充和修正，并由此推導(dǎo)相應(yīng)的速度一間距（或速度一密度）、流量一密度關(guān)系式。一、線性跟馳模型分析為了討論方便，重寫(xiě)式（410）如下：Xn1(t T) Xn(t)Xni(t)n 1,2,3,(4佝運(yùn)動(dòng)過(guò)程中車(chē)隊(duì)將從一種穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一種隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)，為了使兩種穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián) 系起來(lái)，現(xiàn)假定在t 0時(shí)每一輛車(chē)的速度為 ，車(chē)頭間距為s1。頭車(chē)在t 0時(shí)速度開(kāi)始 改變（加速或減速），在一段時(shí)間t后其最終速度變?yōu)閡2。取C T 0.47，交通流是穩(wěn) 定的，因此車(chē)隊(duì)中每一

16、輛車(chē)的速度最終都將達(dá)到速度u2。在速度由u1向u2轉(zhuǎn)變的同時(shí)，車(chē)頭間距也從S1變化到s2,由式（413）得S2S11(U2山)(417)車(chē)頭間距是交通流密度 k的倒數(shù)，于是由方程（417）得到速度一密度關(guān)系式：444k2k1（u2 u1）（418）由此可知，式（4 17）和（4 18）把一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)和另外一個(gè)隨機(jī)穩(wěn)定狀態(tài)聯(lián)系了起來(lái)，建立了包含車(chē)輛跟馳微觀參數(shù)在內(nèi)的宏觀交通流變量之間的關(guān)系。對(duì)于停車(chē)流，U20 ,相應(yīng)的車(chē)頭間距稱(chēng)為車(chē)輛的有效長(zhǎng)度（或稱(chēng)為停車(chē)安全距離） 密度。給定kj ,對(duì)于任意交通狀態(tài)，速度為S0由車(chē)輛長(zhǎng)度和車(chē)輛間的相對(duì)距離構(gòu)成，通常 ，用L表示。對(duì)應(yīng)于s0的密度k j被稱(chēng)作阻塞

17、 u，密度為k,式（4 18）可寫(xiě)為：u (k 1kj1)(419)將此公式與單車(chē)道交通試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果對(duì)比，如圖48,可以得出的估計(jì)值0.60s根據(jù)漸進(jìn)穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)：C T 0.5，可以得出T的上限約束為0.83s。從式（4 19）可以得到如下流量一密度關(guān)系式：q kukj(4 20)由于模型是線性的，并不能很合理地描述交通流流量和密度這兩個(gè)基本參數(shù)的變化特 征，圖49利用與圖4 8中相同的數(shù)據(jù)進(jìn)行了說(shuō)明。為了使結(jié)果更具客觀性，圖中應(yīng)用的 是標(biāo)準(zhǔn)化流量和標(biāo)準(zhǔn)化密度，直線為式（420）標(biāo)準(zhǔn)化后的圖示。所謂標(biāo)準(zhǔn)化，就是利用觀測(cè)或計(jì)算所得的絕對(duì)值與對(duì)應(yīng)的最佳值（最大值）相比，得到其相對(duì)值。標(biāo)準(zhǔn)化流量即

18、是用實(shí)際流量與最佳流量（最大流量）之比，標(biāo)準(zhǔn)化密度即是實(shí)際密度與最大密度（阻塞密度）之比。式（4 20）對(duì)流量和密度所要求的定性關(guān)系無(wú)法進(jìn)行解釋?zhuān)@引出了對(duì)線性 跟馳模型的修改。k/kj圖49標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖、非線性跟馳模型分析線性跟馳模型假定駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度與車(chē)間距離無(wú)關(guān)，即對(duì)給定的相對(duì)速度，不管車(chē) 間距離?。ㄈ?或10m）還是大（如幾百米），反應(yīng)強(qiáng)度都是相同的。實(shí)際上，對(duì)于給定的相 對(duì)速度，駕駛員的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該隨車(chē)間距離的減小而增大，這是因?yàn)轳{駛員在車(chē)輛間距較 小的情況相對(duì)于車(chē)輛間距較大的情況更緊張，因而反應(yīng)的強(qiáng)度也會(huì)較大。為了考慮這一因 素，我們可以認(rèn)為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)并非常量，而是

19、與車(chē)頭間距成反比的，由此得出如下的非線性跟馳模型。1 車(chē)頭間距倒數(shù)模型1 /s(t)1 /Xn (t) Xn1(t)(421)這里1是一個(gè)新參數(shù)，假定為常量。把式（4 21）帶入式（416）中，可得到如下的跟馳方程：(422)Xn 1(t T)1Xn(t) Xn1(t) n 1,2,3,-Xn(t) Xn 1(t)同前，我們假定這些參數(shù)是來(lái)自穩(wěn)態(tài)流的。方程通過(guò)積分得到速度一密度的如下關(guān)系:u 1 ln(kj / k)(423)及流量一密度的關(guān)系:q1k ln( kj / k)(424)1kj1。4 23)得到由此可知U 0時(shí)，車(chē)頭間距等于車(chē)輛的有效長(zhǎng)度，即：利用圖4 8和49中的數(shù)據(jù)，結(jié)合交通

20、流參數(shù)的穩(wěn)態(tài)關(guān)系式（式（24）我們可以得到圖410和411。用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分別為27.7km/h和142veh/km。經(jīng)推導(dǎo)，密度為 e 1kj時(shí)流量最大，為1e 1kj量即為通行能力，代入1可得此條件下的通行能力近似為和式（41和kj的值，該最大流601400veh/h。(km/h)45301510012060 802040k (veh/km)q/qk/kj圖4 11標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（參數(shù)由圖 4 10擬合）分析式（4 24）,在k 0時(shí)正切值dq/dk趨于無(wú)窮大（從圖411也能看出），這 是不合理的。實(shí)際上，低密度情況下的車(chē)頭間距很大，車(chē)輛間的跟馳現(xiàn)象已變得很微弱。除

21、了上述對(duì)模型的修改形式以外，我們還可以做另一種修改。 分析駕駛員的反應(yīng)過(guò)程，其反應(yīng)強(qiáng)度除和車(chē)頭間距有關(guān)外，還應(yīng)與車(chē)輛速度有關(guān)，高速時(shí)的反應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該比低速時(shí) 大，這同樣是由于速度高時(shí)駕駛員的緊張程度也高，反應(yīng)強(qiáng)度自然也大，由此得到如下的 跟馳模型。2.正比于速度的間距平方倒數(shù)模型 對(duì)反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)作如下修改：2 2Xn1（t T）/Xn（t） Xm（t）2為新參數(shù)，假定為常量。于是跟馳模型變?yōu)槿缦滦问剑篨n1（t T） 以建 門(mén)2區(qū)化）Xn 1 （t）n 1,2,3,（425）Xn（t） Xn 1（t）利用車(chē)頭間距和密度的倒數(shù)關(guān)系對(duì)此式積分，如果最大流量時(shí)的速度（最佳速度）取為1 1 e Uf,則

22、系數(shù)2為km，相應(yīng)地我們可以得到如下的穩(wěn)態(tài)方程：k / kU Ufem（4 26）和q Ufke k/km（4 27）式中Uf是自由流速度，即密度趨于零時(shí)的速度，km是最大流量時(shí)的密度（最佳密度）。為了更完整地說(shuō)明交通流速度在低密度下與車(chē)輛密度大小無(wú)關(guān)，速度一密度關(guān)系可以寫(xiě)成如下形式：U U f當(dāng)0k kf 時(shí)(428)和k kf1 11 1avc當(dāng)kkf 時(shí)(429)u u f expkm其中kf是車(chē)輛間剛要產(chǎn)生影響時(shí)的密度，超過(guò)此值交通流速度將隨著密度的增加而減小。 如果假定影響剛發(fā)生時(shí)的間距為120m那么kf的值近似為8veh/km。描述速度一密度關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停焊窳窒栔尉€性模型，就可

23、以近似地表示這種關(guān)系。3.格林希爾治模型格林希爾治線性模型為：u uf(1 k/kj)(430)式中：Uf 自由流車(chē)速；kj 阻塞密度。式（430）可以寫(xiě)成如下形式:Uf (1 L/S)(4對(duì)兩邊求導(dǎo)可得:(Uf L/S2)S(4對(duì)第（n 1）輛車(chē)引入反應(yīng)時(shí)間之后:Xn l(t T)Uf LXn(t) Xm(t)2Xn(t) Xn1(t)n 1,2,3,-反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)為:Uf LXn (t)Xn1(t(44.模型的統(tǒng)一表示總結(jié)上述的各種跟馳理論方程（包括線性模型），可以得到如下的通式:Xn1(t T) Xn (t)Xn1(t)(431)32)(4 33)34)35)其中的反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)取以下幾種

24、形式:1）常數(shù)，0 ;反比于車(chē)頭間距，1 /S ；正比于車(chē)速、反比于車(chē)頭間距的平方，反比于車(chē)頭間距的平方，uf L/S2。22U / S4 ）反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)可以看作下述一般形式的具體化:T)/Xn(t)Xn1(tN(4這里的al m是常數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定，I、m為指數(shù)且I 0、m 0。就穩(wěn)態(tài)流而言, 和式（436）給出了跟馳模型的基本形式。36)式(435)三、交通流基本參數(shù)關(guān)系式的一般表示將方程（435）對(duì)時(shí)間積分， 取式（4 36）的形式，可以得到:fm(u) a fl (S) b(437)式中：a, b積分常數(shù);u交通流的穩(wěn)態(tài)速度;S 穩(wěn)態(tài)車(chē)頭間距。fp（x）可由下式確定（pl 或 m )：p

25、1時(shí)，fp(x)x1 p(438)p1時(shí)，fp(x) ln x(439)積分常數(shù)的確定依賴(lài)于具體的m和1值（l 0，m0），而且與兩個(gè)邊界條件:(1)Sis時(shí)，u f Uf ； （2）S L時(shí)，u 0的滿足情況有關(guān)（各參數(shù)含義同前），下面分幾種情況進(jìn)行討論。（1） I 1，0 m 1的情況，兩邊界條件均滿足，積分常數(shù)a、b的值可由下式求 得：a fm（Uf）/fi（L）（4 40）bfm（Uf ）（2） I 1，m 1的情況，僅滿足第一個(gè)邊界條件，可得到積分常數(shù)b的值如下：b fm（Uf）（4 41）積分常數(shù)a的值可以通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。（3） I 1，0 m 1的情況，僅滿足第二個(gè)邊界

26、條件，可以得到積分常數(shù)a、b具 有如下關(guān)系：b afi（L）（4 42）同樣a、b的值可以利用具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)擬合求得。（4） I 1，m 1的情況，兩邊界條件均不滿足，積分常數(shù)a、b的值只能通過(guò)具體 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合求得。利用式（437）、（ 4 38）、（4 39）、（ 440）、（4 41）、（442）以及穩(wěn)態(tài)流的特性，可以得到速度、密度和流量之間的關(guān)系。圖412、413包含了一些不同|、m值對(duì)應(yīng)的流量一密度關(guān)系曲線，其中的參數(shù)通過(guò)qn q/qmax和kn k/kj進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化。精選資料，!歡迎下載圖413標(biāo)準(zhǔn)流量與標(biāo)準(zhǔn)密度關(guān)系圖（利用式（4 34）和（4 35） ,m= 1 ）從圖中可以看

27、到，這些模型大部分與穩(wěn)態(tài)流的定性描述相一致，只要模型參數(shù)選擇適 當(dāng)，基本上可以用來(lái)擬合圖48的數(shù)據(jù)。式（435）和（4 36）所給的跟馳模型的一般形式中，|、m不一定必須取整數(shù)值，也可以取非整數(shù)值，例如曾經(jīng)有人提出過(guò)m 0.8、I 2.8的模型。實(shí)際上在早期的對(duì)穩(wěn)態(tài)流和車(chē)輛跟馳現(xiàn)象的研究中，各種各樣的I和m值都得到過(guò)。四、跟馳理論的不足以及相應(yīng)的新研究方向在先前所有的討論中，我們都假定駕駛員對(duì)于同一刺激采取相同的比率加速和減速， 即加速度的絕對(duì)值相等。但是，這一假設(shè)是不符合實(shí)際的，大多數(shù)車(chē)輛的減速性能要比加 速性能強(qiáng)，而且在交通比較擁擠時(shí)，跟馳車(chē)輛的駕駛員對(duì)前車(chē)減速的反應(yīng)強(qiáng)度要比加速的 反應(yīng)強(qiáng)

28、度大一些，這是出于行車(chē)安全的考慮。因此，對(duì)應(yīng)于前面車(chē)輛的加速或減速刺激， 即相對(duì)速度是正還是負(fù)或者車(chē)頭間距是增大還是減小，跟馳車(chē)輛的反應(yīng)具有不對(duì)稱(chēng)性。為 了在跟馳模型中反映出這種不對(duì)稱(chēng)性，我們可以把跟馳理論的基礎(chǔ)模型改寫(xiě)成如下形式：43)Xn1(t T) iXn(t) Xni(t)(4其中i 或，取決于相對(duì)速度是正還是負(fù)或者車(chē)頭間距是增大還是減小。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，的平均值要比高大約10%這使得在利用跟馳理論解釋跟馳現(xiàn)象時(shí)產(chǎn)生了一個(gè)特殊的困難，即在頭車(chē)加速至較高速度再減速至初始速度的循環(huán)過(guò)程中，不對(duì) 稱(chēng)性將阻止車(chē)輛減速至原來(lái)的速度。N次循環(huán)后，車(chē)頭間距將增大到一定值以至于一部分車(chē)輛從車(chē)隊(duì)中漂移。為了

29、解決這一困難，可以在模型中加一項(xiàng)松弛項(xiàng)，以考慮這種不對(duì)稱(chēng)性。遺憾的是，到目前為止還沒(méi)有這方面的成型理論，對(duì)此尚需進(jìn)一步的研究和探討。除此之外，跟馳理論還有一些不足。 我們上面通過(guò)對(duì)穩(wěn)態(tài)流分析，對(duì)跟馳理論的模型不斷進(jìn)行修正和擴(kuò)充，以使模型適合于各種不同的交通狀況。但是經(jīng)過(guò)近幾年的實(shí)驗(yàn)和進(jìn) 一步研究發(fā)現(xiàn)，流量一密度曲線在接近最大流的地方有明顯的間斷，流量突然下降。這說(shuō) 明流量一密度曲線具有不連續(xù)性，而以前的研究認(rèn)為該曲線是連續(xù)的，并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一問(wèn) 題。針對(duì)這一情況，現(xiàn)在有人提出了一種全新理論：突變理論。這種理論與傳統(tǒng)跟馳理論 的建模方法完全不同，該理論中第一次提出可以用“交點(diǎn)突變”的思想來(lái)解釋和描

30、述交通 流參數(shù)的上述不連續(xù)性，有望解決傳統(tǒng)跟馳理論的不足。初步的研究表明，這一理論應(yīng)用 于交通流分析具備可行性。隨著科技的發(fā)展，道路和車(chē)輛技術(shù)水平也在不斷提高。為了進(jìn)一步提高道路的利用率和通行能力，現(xiàn)在又提出了智能化公路和車(chē)輛自動(dòng)駕駛的設(shè)想方案，并在做一些試驗(yàn)性的 研究和探索。所謂智能化公路和車(chē)輛自動(dòng)駕駛，就是在道路上開(kāi)設(shè)裝有導(dǎo)向設(shè)備(如導(dǎo)向 槽)的專(zhuān)門(mén)車(chē)道，車(chē)輛在配有特殊裝置的情況下可以進(jìn)入該車(chē)道進(jìn)行自動(dòng)行駛，無(wú)需駕駛 員手工操縱。車(chē)輛也可以隨意離開(kāi)該車(chē)道進(jìn)入普通車(chē)道，由駕駛員手工駕駛車(chē)輛行駛。傳 統(tǒng)的跟馳理論都是基于駕駛員手工操縱車(chē)輛進(jìn)行的研究，如果智能化公路和車(chē)輛自動(dòng)駕駛 技術(shù)在實(shí)用領(lǐng)域

31、取得突破性進(jìn)展，那么必將導(dǎo)致跟馳理論新的研究領(lǐng)域和發(fā)展方向。目前,智能化公路與車(chē)輛自動(dòng)駕駛技術(shù)的研究還處于實(shí)驗(yàn)室階段，但也取得了一些可喜成果，其 應(yīng)用前景是十分樂(lè)觀的。第四節(jié)加速度干擾本節(jié)簡(jiǎn)單介紹一下關(guān)于加速度干擾的問(wèn)題。分析駕駛員在路上的行車(chē)過(guò)程，任何人都 不會(huì)始終維持某一速度恒定不變，而是在一定速度范圍內(nèi)變化或擺動(dòng)。交通量較小時(shí)駕駛 員也會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象；交通量較大時(shí)雖然跟馳現(xiàn)象十分明顯，但是由于受交通控制信號(hào)的 影響，車(chē)輛速度更會(huì)出現(xiàn)擺動(dòng)。加速度干擾就是對(duì)車(chē)輛速度擺動(dòng)的描述，車(chē)速擺動(dòng)還涉及 到乘車(chē)舒適性的問(wèn)題，加速度干擾可以作為一個(gè)定量評(píng)價(jià)指標(biāo)。一、加速度干擾的計(jì)算其公式如下:來(lái)表示，我們

32、稱(chēng)為加速度(444)車(chē)輛速度擺動(dòng)的大小可用加速度對(duì)平均加速度的標(biāo)準(zhǔn)差 干擾，單位與加速度的單位一致1/2a 2dt式中：T 觀測(cè)總時(shí)間； a(t)t時(shí)刻加速度;a平均加速度。如果假定平均加速度為0，那么加速度干擾的公式變成如下形式:1/2a t 2dt(445)式中參數(shù)含義同上。如果加速度的觀測(cè)以連續(xù)的時(shí)間間隔t來(lái)取樣，那么相應(yīng)的計(jì)算公式如下:T各參數(shù)含義同上。相應(yīng)地如果平均加速度為1/22a(t) a t(446)o,則變?yōu)槿缦滦问?1/22a（t） t(4 47)參數(shù)含義同上。下面來(lái)推導(dǎo)加速度干擾計(jì)算的實(shí)用公式，實(shí)際應(yīng)用中一般采用如下公式形式: _ 1/2(448)1Tai a ti式中：

33、ai 第i觀測(cè)時(shí)間段的加速度（認(rèn)為各小時(shí)間段內(nèi)加速度值相等）ti 第i觀測(cè)時(shí)間段長(zhǎng)。其余參數(shù)含義同上，將此式進(jìn)行如下變換：1/2tiai1/2(449)Uititi這里 Ui為第i觀測(cè)時(shí)間段的速度，相應(yīng)地:2Uititi2Uiti2aUitiUi所以有將式（451）代入式（Uiti將此式代入式（4 49）2Ui(4 50)tiUitiUi4 50），并且利用T2a ti得到:2aUititiaititiai tiTti ,有:aT(4 51)2Uiti2弓午a2T2Uitia2T(452)2 1/2Ui 2atiu 2n：uTUo 2T ti T(4 53)式中：Ut 觀測(cè)總時(shí)段的末速度；Uo 觀測(cè)總時(shí)段的初速度；u速度的等分間距，ui ni u。此式適合于用坐標(biāo)紙對(duì)速度和加速度觀測(cè)值進(jìn)行繪圖計(jì)算。、加速度干擾的影響因素加速度干擾主要受三個(gè)