2020年高中數(shù)學新教材人教A版必修第2冊練習十三余弦定理正弦定理應用舉例--距離問題89

1、-1 - 課時素養(yǎng)評價十三 余弦定理、正弦定理應用舉例一一距離問題 基礎練 （25 分鐘 50 分） 一、選擇題（每小題 4 分，共 16 分） 1.（2019 諸暨高一檢測）如圖所示，設 A, B 兩點在河的兩岸，一測量者在 A 的同側，在所在 的河岸邊選定一點 C,測得 AC 的距離為 50 m,Z ACB=45 , / CAB=105，貝 U A, B 兩點間的距離為 （ ） A. 50 m B.50 m 25乎 2 C.25 m D. m 【解析】 選 A.由題意知，在 ABC 中，AC=50 m / ACB=45，/ CAB=105，所以/ CBA=180 -45 -105 =30

2、,所以由正弦定理可得, 2 50X AC sin/-A CB 2 =5ogm). 某人從 A 處出發(fā)，沿北偏東 60行走 3 km 到 B 處，再沿正東方向 A.4 km C.7 km 行走 2 km 到 C 處，則 A, C 兩地距離為 2.（2019 蘇州高一檢測 B.6 km D.9 km f - 7 -2 - 【解析】選 C.如圖所示，由題意可知 AB= , BC=2 / ABC=150 , 由余弦定理得 AC=27+4- 2X3 X 2X cos 150 =49, 所以 AC=7,所以 A, C 兩地距離為 7 km. 3. 臺風中心從 A 地以每小時 20 千米的速度向東北方向移動

3、，離臺風中心 30 千米內(nèi)的地區(qū)為 危險區(qū)，城市 B 在 A 的正東 40 千米處，B 城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為 （ ） A.0.5 小時 B.1 小時 C.1.5 小時 D.2 小時 【解析】選 B.設 t 小時后，B 市恰好處于危險區(qū)內(nèi)，則由余弦定理得：（20t） 2+402- 2X 20t X 40cos 7 2 2 :2 .;2 4 45 =30 .化簡得：4t-8lt+7=0，所以 ti+t2=2 , t it2=. 從而|八 U: i九 4. 如圖，某炮兵陣地位于 A 點，兩觀察所分別位于 C, D 兩點已知 ACD 為正三角形，且 DC=、 km,當目標出現(xiàn)在 B 點時，測得

4、/ CDB=45，/ BCD=75，則炮兵陣地與目標的距離是 （ ） A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km 【解析】 選 C. / CBD=180 - / BCD-/ CDB=60 .在厶 BCD 中由正弦定理得 -3 - CDsinlS- J6 + sin60 2 BD= = 在厶 ABD 中，/ ADB=45 +60 =105 , 由余弦定理，得 AB=AD+BD-2AD BDcos 105 卜f I 2 丿 3 2 4 =3+ +2X x _ x =5+2 I 所以 AB=l 2.9（km）. 答：炮兵陣地與目標的距離約為 2.9 km. 二、填空題（每

5、小題 4 分，共 8 分） 5九章算術中記載了一個“折竹抵地”問題， 2019 年第 1 號臺風“帕布”（熱帶風暴級） 登陸時再現(xiàn)了這一現(xiàn)象，不少大樹被大風折斷 某路邊一樹干被臺風吹斷后 （如圖所示，沒有 完全斷開），樹干與地面成 75角，折斷部分與地面成 45角，樹干底部與樹尖著地處相距 10 米，則大樹原來的高度是 _ 米（結果保留根號）. 【解析】如圖所示，設樹干底部為 0,樹尖著地處為 B,折斷點為 A,則/AOB=75 , / ABO=45 , 所以/ OAB=60 . 0A AB 10 由正弦定理知， 10 15壬 + 5禺 33 所以 OA= 米，AB= 米， （5J2 + 5J

6、6） 所以 OA+AB= 米 -4 - 答案：（5 J +5 ） 6.（2019 寧德高二檢測）一艘船以每小時 20 km 的速度向東行駛，船在 A 處看到一燈塔 B 在 北偏東 60,行駛 2 h后，船到達 C 處，看到這個燈塔在北偏東 15,這時船與燈塔的距離 為 _ km.-5 - B, 在貨輪南偏東 60 .求: A 處與 D 處的距離. 燈塔 C 與 D 處之間的距離. 【解析】由題意，畫出示意圖，如圖所示 (1)在厶 ABD 中, 由已知/ ADB=60，/ DAB=75 , 則 B=45 .北 H 【解析】由題意知， ABC 中，AC=20 2=40, / BAC=30 , /

7、B=180 -30 -(90 +15 )=45 , ACsinZ-BAC 由正弦定理得, 1 40X2 BC=川山 2 V迄 2 JL =20、 (km), JL 20 km. 所以船與燈塔的距離為 答案：20 - 三、解答題（共 26 分） 7.（12 分）海上某貨輪在 A 處看燈塔 B,在貨輪北偏東 75，距離為 12 n mile ;在 A 處看 燈塔 C，在貨輪的北偏西 30，距離為 8、 n mile ;貨輪向正北由 A 處航行到 D 處時看燈塔 -6 - ABsin45o 由正弦定理，得 AD= 八山 =24（n mile）. 答：A 處與 D 處之間距離為 24 n mile.

8、在厶 ADC 中，由余弦定理，得 CDUAEJ+AC2-2AD ACcos 30 =242+（8 2-2X 24X8 宀=（8）2, 答：燈塔 C 與 D 處之間的距離為 8 n mile. 【加練固】 如圖所示，若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹 C, D（CD 與河岸平行 選取岸邊兩點 A,B（AB 與河岸平行），測得數(shù)據(jù)：AB=6 m / ABD=60 , / DBC=90 試求 C, D 間的距離. 【解析】/ ABC=/ ABD+Z DBC=60 +90 =150 ,所以/ C=18C -150 =30 , / ADB=180 -75 -60 =45 . AB.sinZ-ABD 由

9、余弦定理得 JAD+AB2 - 2AD.AB.cosZDAB BD= =3+3 .在 Rt BDC 中, BD CD= =6+6 , 即 CD 的長為（6+6、J） m. 8.（14 分）（2019 眉山高一檢測）如圖，某海輪以 30 海里/小時的速度航行，在 上油所以 CD=& J （n mile） ）之間的距離, Z DAB=75 . ABD 中， 由正弦定理得 AD= sinZ-ADB A 點測得海面 0,海輪改 HT -7 - 井 P 在南偏東 60,向北航行 40 分鐘后到達 B 點，測得油井 P 在南偏東 為北偏東 60的航向再行駛 80 分鐘到達 C 點，求 P, C 間

10、的距離.-8 - 40 60 【解析】在厶 ABP 中，AB=3(K =20, / APB=30，/ BAP=120 , 由正弦定理得 20吟 ABsin/-BAP 1 BP= 3 心 = 2 =20 80 由已知/ PBC=90，所以 PC= =、一 ，7 =20、（海里）. 答：P, C 間的距離為 20 海里. 能力練 （15 分鐘 30 分） 1.（4 分）如圖所示為起重機裝置示意圖 貨物與岸的距離 AD 為（ ） 15 A.30 m B. m C. 15 m D.45 m k 1 A 1東 在厶 BPC 中，BC=301. 在厶 OCD 中,由題意易得/ COD=3 , OD=20

11、x CD=60(x-2). 由余弦定理，得 cD=OD+Od2OD OCcos/ COD 所以 3 602(x-2) 2=(20 x) 2+(60 I ) 2-2X 20 xX 60 X cos 30 .解得 x=3 或 x=,因為 x1 ,所以 x=3. 所以快艇駛離港口 B 后，至少要經(jīng)過 3 小時才能和考察船相遇 1 10 2 + 1 -2X 解得J (km/h). -14 - 【加練固】-15 - 變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險? 【解題指南】 船繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險，取決于 A 到直線 BC 的距離與 38n mile 的 大小，于是我們只要先求出 AC 或 AB 的大小，再計算出 A 到 BC 的距離，將它與 38n mile 比 較大小即可. 【解析】在厶 ABC 中，BC=3Q B=30 , / ACB=135，所以/ BAC=15 , BC AC 由正弦定理，得 5y；， 30 AC 即十門=汕刊）， 所以 AC=60cos 15 =60cos(45 -30) =60(cos 45 cos 30 +sin 45 sin 3