2020高考數(shù)學(xué)刷題首秧單元測(cè)試四數(shù)列文含解析

1、單元質(zhì)量測(cè)試(四) 時(shí)間：120 分鐘 滿(mǎn)分：150 分 第I卷(選擇題，共 60 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分) 1. 等差數(shù)列 的的前n項(xiàng)和為S,且 S= 6, a3= 0,則公差d=( ) A. 1 B . 1 C . 2 D . - 2 答案 D 5+ d= 2, 解析由S3= 6,知a1 + d= 2 ；由a3= 0,知a + 2d = 0，聯(lián)立* 解得d = a+ 2d= 0, 2 .故選 D. 2. 在等差數(shù)列an中，a3+ a9= 27 a6, S表示數(shù)列的前n項(xiàng)和，貝U S1=( ) A. 18 B . 99 C . 198 D . 2

2、97 答案 B 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)得 2a6= 27 a6,所以a6 = 9，又 Sn= 11a6= 99故選 B. 1 5 3. 在等比數(shù)列 an 中，a1 = 2, a4= ，若 ak= 2 ，貝U k =( ) A. 5 B . 6 C . 9 D . 10 答案 D 34 1 2 解析 設(shè)該數(shù)列的公比為 q,則由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得， q3= =-,- q= 2；, a1 4 3 答案 B 1 所以數(shù)列Xn的周期為 2,故X2018= X2=.故選 B. k k1 小一 5 -3k = ag = 2 q = 2 =26, -2 k 1 = 6,. k = 10. 4.在數(shù)列Xn中

3、，若 X1= 1, 1 Xn+ 1=刁1, 則 X2018=( ) 解析將X1= 1代入Xn+1 = xn+ 1 1 2,再將X2代入Xn+1 = Xn+ 1 5. 已知公差不為零的等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn, a10= S,則S =( ) 39 A. 4 B . 5 C . 8 D . 10 答案 A 4X3 8x7 解析 由 aio= S4得 ai + 9d = 4a + 2d= 4ai + 6d,即卩 ai= dz0.所以 S3= 8ai+ 2d S? 36d 36d =8a1+28d=36d,所以 a;= a;+8d =麗=4.故選 A 6. (2018 甘肅天水檢測(cè))已知數(shù)列an的前

4、n項(xiàng)和為 S,a= 1,S= 2an+1,則 S=( ) n 1 A. 2 B . 3n 1 2 答案 an+1= S+1 S,所以 Sn= 2an+1= 2( S+1 S)，所以 Sr1 = 3，所以數(shù)列 S是 S 2 3 3 以S = a1 = 1 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列，所以 S = -n 1.故選 D. 7. 數(shù)列an中，a = 60, an+1 = an+ 3，則 | +1 a2| + |a3| =( ) A. 495 B . 765 C . 1080 D . 3105 答案 B 解析 由 a1 = 60, an+1 = an + 3 可得 an= 3n 63,貝U a21 =

5、 0, |a1| + | a2| + | a30| = (a1+ a2+ + a2o) + (a21 + + a3o) = S30 2$o= 765.故選 B. & (2018 安徽淮南模擬)已知&中，an= n2+入n,且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù) 入的 取值范圍是( ) A. ( 2,+) B . 2,+) C. ( 3,+) D . 3, +m) 答案 C 解析 / an是遞增數(shù)列， ? n N*, an+1an,.( n+ 1)2+ 入(n+ 1) n2+ 入 n,化簡(jiǎn)得 入 (2n + 1) , 入 3 .故選 C. 9. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若a70, a80，

6、則下列結(jié)論正確的是( ) A. S7SB B . S50 D . &50 答案 C 解析 因?yàn)楣罘橇愕牡炔顢?shù)列具有單調(diào)性 (遞增數(shù)列或遞減數(shù)列)，由已知可知該等差 數(shù)列an是遞減的，且 3最大，即Sw 3對(duì)一切n N 恒成立.可見(jiàn) A 錯(cuò)誤；易知a16a150, 正確. 解析 因?yàn)?S6= S5 + a16S5, B 錯(cuò)誤; 15 Si5= (a1+ a15) = 15a80. 10. (2018 福建漳州調(diào)研)九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著， 書(shū)中有如下問(wèn)題：“今 有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何? 其意思：“共有五頭鹿，人以爵次進(jìn)行分配

7、（古代數(shù)學(xué)中“以爵次分之”這種表述，一般表 示等差分配，在本題中表示等差分配 ）”在這個(gè)問(wèn)題中，若大夫得“一鹿、 三分鹿之二”， 則簪裹得（ ） A. 鹿、三分鹿之一 B .一鹿 C.三分鹿之二 D .三分鹿之一 答案 B 解析 由題意可知，五人按等差數(shù)列分五鹿， 設(shè)大夫得的鹿數(shù)為首項(xiàng) ai,且ai = 1+ = 5 5X4 1 5 1 3，公差為d,貝U 5ai d= 5，解得d= 3,所以a3= ai + 2d=- + 2X - = 1，所以簪裹 3 2 3 3 3 得一鹿，故選 B. 11. （2018 襄陽(yáng)四校聯(lián)考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù) 中，有已知長(zhǎng)方形面積求一 邊的算法，其方法的

8、前兩步為： 1 1 1 1 （1）構(gòu)造數(shù)列 1, 2, 3, 4，匚； 2 3 4 n 號(hào)，得到一個(gè)新數(shù)列 a1, a2, a3, a，,an. a1a2 + a2a3 + a3a4 + an1an =( A. 1 2X3+ “ 2 “ “ 1 n n 1 n n 1 , =- = 故選 C. n 4 n 4 解析/ an是正項(xiàng)遞增的等比數(shù)列， 得 1 + (a2 a4)+ 入 q( a2 a4)= 0, 1 + 入 q= a10, q1, 由 1 + (a2 a4)+ 入(a3 a5)= 0, 4 1 a6 q , a6 + 入 a7= a6(1 + x q) = = 2 a4 a2 a4

9、a2 q 1 a6 將數(shù)列的各項(xiàng)乘以 C. ntn1)D nn+1) 4 4 答案 解析 依題意可得新數(shù)列為 n 6, 1 n n1 2 * 1 X；,所以 a1a2 + a2a3+-+ an 1an= + n 2 41X2 2 2 q 1 +1 2 1 = 2 = (q 1) + 2 + 2 q 1 q 1 2 1 2 W 1 7 + 2 = 4(q 10)，當(dāng)且僅當(dāng) q = -J2 時(shí)取等號(hào)， a6+入a7的最小值為 4.故選D. 第n卷（非選擇題，共 90 分） 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13. 設(shè)等比數(shù)列an的公比q= 2，前n項(xiàng)和為S,則一= _

10、 . a2 “4 15 答案 y 4 1 q ai 4 4 解析?4=一口=丄丄=2j22 = 125. a2 aiq q（1 q） 2x（i 2）2 1 * 14. 若數(shù)列an滿(mǎn)足an + an+1 = 2（ n N），且a = 1, S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，貝U & = 答案 6 解析 1 / 由 an+ an+1 = 2 = an+1 + an+ 2, 得 an+2= an,貝9 a1 = a3 = = = , = = = 1 =a20，所以 S21 = ai + (a2 + a3)+ (a4+as) + (a20 + a21)= 1 + 10 x ? = 6. 15. （201

11、8 江西吉安一中、九江一中等八所重點(diǎn)中學(xué) =1, an= n2+ 3n+2,則bn的前 2018 項(xiàng)和為 _ 16. （2018 河北邯鄲第一次模擬 ）已知數(shù)列an, bn 的前n項(xiàng)和分別為 S, Tn, bn an = 2n+ 1,且 s+ Tn= 2n+1+ n2 2，貝U 2Tn= _ . 答案 2n+ 2+ n（n+ 1） 4 解析 由題意知 Tn S= b1 a1+ b2 a2 + + bn an = n+ 2 +1 2,又 S+ Tn = 2 +1 + n2 2，所以 2Tn= Tn S+ S+ Tn= 22+ n（n+ 1） 4. 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分.解

12、答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 ） 17. （2018 云南統(tǒng)測(cè)） （本小題滿(mǎn)分 10 分）設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為S, a + a2 + a3 =26 , S6 = 728. （1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 4 月聯(lián)考）若& , bn滿(mǎn)足anbn 答案 1009 2020 解析 2 anbn= 1，且 an= n + 3n+ 2,. bn= 1 n2 + 3n+ 2 1 1 (n+ 2(n+ 1 = n+ 1 1 n+ 2 111111 bn的前 2018 項(xiàng)和為 2 3+ 34+45+ 1 2019 1 2020 1 2 2020 10101 1009 2020 = 2

13、020 （2） 求證：S2+1 SS+ 2= 4X3 n. 解（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由 728M 2X 26 得，&工 2$,.7工 1. G=a T 一 q = 26, 由已知得 6 S= ai(1 q = 728. 、 1 q .an = 2X3n 1 2 X F 1 一 3n h (2)證明：由(1)可得 S= = 3n 1. 1 3 .S+1= 3n+1 1, S+ 2= 3n+ 2 1 . S2+1 SS+ 2= (3 n+1 1)2 (3 n 1)(3 n+2 1) = 4X3n. 18. （2018 南昌一模）（本小題滿(mǎn)分 12 分）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為

14、 S,滿(mǎn)足 S =2a4 1, S? = 2a3 1. 求an的通項(xiàng)公式; 解（1）設(shè)an的公比為q,由 S S= a4,得 a4 2a4 2a3 = a4，所以 =2,所以 q= 2. a3 又因?yàn)?S3= 2a3 1，所以 a1 + 2a1 + 4a1= 8a1 1, 所以 a1= 1.所以 an= 2n 1. 1 2 (2)由(1)知，S= 口 = 2n 1, - 16 4 n 所以 bn= log .S +1 = 2log 22 = 8 2n, bn+1 bn= 2, b1= 8 2= 6，所以數(shù)列bn 是首項(xiàng)為 6，公差為一 2 的等差數(shù)列，所以 b2= 4, b3 = 2, b4

15、= 0，當(dāng)n5 時(shí)bn2n+ n+ 2 入對(duì)一切nN*恒成立，求實(shí)數(shù) 入的取值 范圍. 解 (1)因?yàn)?an+1 an= 2(bn+1 bn), bn = 3n + 5, 所以 an+1 an= 2( bn+1 bn) = 2(3 n+ 8 3n 5) = 6, 所以an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 a1= 1,公差為 6, 即 an= 6n 5. (2)因?yàn)?bn= 2n，所以 an+1 an= 2(2 n+1 2n) = 2n+1. 當(dāng) n2 時(shí)，an= (an an1) + (an an2) + (a2 aj + a1 = 2 + 2 1 + + 2 + 6 = 2 1+ 2 ； 當(dāng)n = 1 時(shí)

16、，a1= 6,符合上式，所以 an= 2 十1 + 2. 丄 n /口 2n+ n 1 n 由 入 an2 + n+ 2 入，得 入 + 1 = 2 + +1 . 若bn = n + 1 an+ 2 , Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，證明：Tn 1. 由 2S= an+ n 得 2S+1 = an+1 + n + 1, 所以 2S1 + 1 2Sn = an+ 1 an+ 1 , 則 2an+ 1 = an+ 1 an+ 1，所以 an = (an+ 1 1). 所以 an= an+1 1，即卩 an+1 an= 1, 所以an是以 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，n+1 n 1 n 又廠廠=尹三0,所以當(dāng)n= 1,2 Q I n 0 時(shí)，Qb 取得最大值 4 故 入的取值范圍為 22. (2018 河北唐山一模)(本小題滿(mǎn)分 前 n 項(xiàng)和，2S= an + n. (1)求an的通項(xiàng)公式； 12 分)已知數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，S 為其 1 1 1111 3 + n n+i = n+i 3X2 n 2 n+1 2 2 n+1 2 2所以an= n